I.r.S FLUIDliS
Lorsque les Ibnctions u, v, w ont été obtenues, il resle à intégrer le syslème'simultané :
Les Ihéorèmes d'Helmhoîtz peuvent simplifier l'intégration . On peut chercher les surfaces lourbilionn aires (2 familles) et pour cela intégrer le système :
^ ' p <j r on a fait j '' ~" 2 \di dx)
Une famille de surfaces tourbillonnaires suffit, car les 3 fondions satisfaisant à la relation
(Sx^ dy^dz~ ■'
la théorie du dernier multiplicateur permet de déduire d'une première famille une seconde famille et cela par de simples quadratures.
On connaît alors deux intégrales du système (3) et le système (3) peut s'écrire
, en yerlu de l'équation de continuité déjà obtenue :
(ip^.i[pii>) d{(.v) j(H^y dt ■ dx ' dy ' dz
CORPS DEFORMABLKS, 3*1
la mélliodo du dernier muUiplicateur l'ournira une nouvelle intégrale du système 5.
On voit donc que la difiiculté de l'hilégration des problèmes de la dynamique des fluides comporte deus phases :
1" L'obtention des fonctions u, v, w;
2° La recherche d'une intégrale de l'équation aux dérivées partielles :
,h , (h . ih n
Quand il existe une fonction des forces, les équations intérieures de l'hydrodynamique admettent des intégrales premières qui ont été données en 1811 par Caucliy.
Envisageons, pour dcfiuir une particule à l'époque l, non Les
pas ses coordonnées actuelles x, y, z, mais ses coordonnées . '""s^^es
r 1 ji ^ intermédiaires
initiales x^, y^, So, ou trois fonctions a, b, c, de celles-ci; en de Cauchy.
posant U' = U — / — , nous pouvons déduire des équations
d'Euler celle-ci :
iU- da "^ dl- da' dt' (la '~ da \ d^x dx iPy (*!/ i ^ !^ ^^ équations aux
db '' di^ db ' di^ àb ~~ db variables de Lagrange
IP Te + *• de + if
.dz de'
" de
Nous ferons d'à
illcurs ;
242 INTÉGRALIÎS DE CATÎCHY.
Éliaiinons des éqnaUons (5) la fonction U ' par les idenlilôs -^TT =1—77 «1 ". c permutes
il vient (le signe S portant snr x, y, z)
, / d^x du (Px dx\ „ , , , , , .. .
S ( - , -, -T- — - .., ■ , - -77" r=; (a, IK c pcniintos) ce nui peut s cenre ydbdt^ da dt^da ilhj \ > > i / i i
d ^fd^x d:L drx d.r\ en faisant a = œ^,b — /j„,c=z„,cl posant comme d'habitude :
dtv.
dh '
du, de ■
dv, da'
lii. --''•
on remplacera -ir ■£ ■£ P^'' "' ^' '"' respectivement, et après «ne première intégration les équations obtenues s'écriront :
/"((m dx ihi dx\ g
\da db db da) "
°\dh de dedb} — -^"
/du dx^__^ du d£\ ___ ^KicJa da dcj--^^'
revenons aux variables d'Euler on aura :
COUPS IllÏFOnMABLK^
db dx dh à]j (i& ' itz de du (/)( dx , Au d»j au dz
ik dx de, dy de ' d:. dr.
etc., etc.;
moyennant lesquelles les équations précédentes s'écrivent en posant comme d'habiiude :
((/(' df du dm di> du-
~' ~ ihj dz,' "'"(/; dj:' ~'~d.r, dij
I\dbd^~Y<i\il)^'\'il^~d^' TkIbJ'T'^\,dhd7,~~dcdb)'-^" fdy dz du l'A , (dz 'Ix -h dx\ /dx du dx ihi'\ AdcTa^diiTc/'^'^Kirt da~da'diO'^^\dc Ta" Ta le J'^'^" rdy dz dy dz\ , fdz ilx dz dx\ / ds ^/ ''■^ %\ '\S rffc" É) daj+^i Un "db" Tlb dûj '^ ^'[Wi tb" Ib da) ^ ''"
et par conséquent en résolvant par rapport aux inconnuos
bi 1 on suppose :
on aura donc aussi :
2M AUTRE ASPECT UES THÉOUÈMES n'iIEUinOLTî:.
c'est le théorème de Lagrauge, contenu comme on le voit dans les intégrales de Cauchy.
Les théorèmes d'Helmholtz sont aussi renfermés dans ces équations, mais Cauchy ne les a pas aperçus.
Considérons en effet les courbes qui dans la position initiale du fluide avaient pour équations dilïérentielles :
ha ob oc oso ( gj^^5a2|5^.j 5g.
nous pourrons écrire les équations (6) ainsi : o„ û„ a„
on aura donc encore :
Donc les courbes qui ont pour équations :
dx dfi dz
sont à chaque instant formées des mômes particules, on d'autres termes les lignes tourbillonnaires sont des lignes fluides.
De plus l'équation :
Qç, û
iSs'o" oi'
en vertu des équations de cooliiuiité, se transforme; car en désignant par ch le volume transforme du volume primitif da db de :
CORPS BÉFOKMABLÏS.
odv = û„ da db de
~~ l>[a,b,c)" on a d'ailleurs :
On aura donc
soient, d'ailleurs, s^ et à^o les sections droites d'nn même lube toiirbillonnaire envisagé à deux époques, on aura :
l'égalilé ol^tenue s'écrira donc :
Q 0(7 = Qo luo
C'est la conservation de i'vitensité tourbillomuàre dans le temps.
— Chaque équation
<Pxdx (-nr
dl- (/(ï "^ da peut s'écrire
(t. rd.c d.v dji dy dz dsr\ ___ d . , j, .
Jl [dî ~da Jl Ja dl rfirj ~ d<i '' , u ..
Transformations de Welier et (le CLelisclt.
246 FOEMUt.lîS DE CLËIISCII.
Donc cil posanl :
/il^ '+■[■;-/( = S
et iiitégraiiL en supposaiiL toujours (ii = x,,, h — ijo, on aura :
.1» + (/« + lia - '
cll, + ° di^ M - ■
J.e in ,h
, rfS
(ft
Ces équations démontrent encore une fois le tiiéorème de Lagrauge.
Voici pour le cas d'un ûnido icomprcssible une nouvelle transformation de Glebsch.
B'après un théorème démontré dans la cincmatiquc des dôformatioirs on pourra poser ;
les équations de "Weber donnent alors
Nous savions déjà que nous pouvions avoir identiquement
ndx-^-vdy-]- wdi = S^-]-md'}(
Mais nous avons ici quelque chose de plus : m et ■} peuvent être supposés indépendants de t, seule la fonction o = S-|-^o peut renfermer t.
GORl'S DÉFORUABLES. 247
mn et 'fn sonl d'ailleurs, nous le savons, deux intégrales de surfaces tourbiilonnaires; en écrivant que w et ■!< sont deux surfaces fluides, nous aurons donc :
âo ,
dm dm <hi dm
" ~dx
Jl +"S + '.lj/+"rfî'
-iO
CCS équations jointes à l'équation du second ordre cn^, m, et'}
sont les équations de Glebsch aux trois fonctions inconnues
Propriétés dynamiques des tourbillons.
Rappel de formules connues de Green.
Si X, y, z dcsigûonl les coordonnées cartésiennes rectangles d'un point d'un volume D, l'intégration géométrique par parties nous a donné entre les deux intégrales do volume (étendues au domaine D),
àx S dx
et l'intégrale de surface (étendue à la surface limite du domaine D} :
(n désignant la direction de la normale, dirigée vers l'extérieur) la relation suivante déjà utilisée dans la démonstration d'un théorème de Stolccs :
CORPS RÉFOIHUBIES. 249
Ces formules supposent l'existeuce des dérivées parLielles de U et de V et la coiiiinuilé de U el V.
On peut évidemment les étendre au cas de fonctions U et V discontinues le long de certaines surfaces comprises dans le domaine D, il suffit alors d'envisager les deux faces de cette surface et d'ajouter à l'intégrale /uv cos {n x) d<» relative à la limite du corps, l'intégrale de même forme relative aux surfaces de discontinuités de l'une ou l'autre des fonctions V et U. Nous désignons plus habituellement par «i le sc7is intérieur de la normale, comme cas particulier de la formule précédente nous aurons aussi celles-ci :
-ft>-f^%-+f^
exige la continuité de V el des dérivées de XI des premiers ordres.
On déduit aisément de là la formule Grecn :
où iU a la dêfmitiou
.(iU ,
Il peut arriver que la fonction V tout en ayant ses dérivées uniformes ne soit pas uniforme elle-même.
Considérons, par exemple, un domaine D en forme de tore et un fluide en circulation dans ce tore, supposons
FORMULE IIE GRlillN,
d'ailleurs qu'il existe uuc foiicLioii des vilcsses, cotle fonction peut ne pas être uniforme.
La circulalioû {uda}-\-v(lii~\-w(ls) nulle pour toute courbe fermée, située dans une portion assez réduite du tore, peut ne plus être nulle par une courbe entourant le lore; mais que l'on trace une coupure transversale dans le tore et que l'on s'astreigne à ne jamais la traverser, la fonction
\ =kud£-\-vily-\- mdz) devient ima fonction continue dans
la région connexe artificieilemenl obtenue par la coupure, mais sur les deux faces de la coupure la fonction V a deux valeurs dont la différence est constante, soient n,n^ les deux normales à la coupure, intérieures à cliacune des régions considérées, soit V, la valeur de V au bord intérieur 1 et V3 la valeur do V au bord intérieur 2.
Soit Vj — V, = K, l'équation de Green devra b' écrire
et comprend une intégrale do surface relative à la coupure.
Cas particulier gj on fait U ^ V, la formule de (Troen devient de la formule de Green. />
et elle a une conséquence analytique intéressante qui
CORPS DÉFORMABLES. 251
trouve son applicalioii dans bien des queslions de Physique mathémaliqne.
Si on considère 2 fondions U, cl U, salisfaisauL l'une et i'anlre à l'équalion de Laplace
