AU

dans 1(1 doinaiiio D

et si de plus ces fonctions prennent des valeurs égales sur la surface limite de ce domaine D, on peut être sûr que ces fonctions coïncident, non seulement sur la frontière de D, mais encore en Loris les points situés à l'intérieur de D.

En effet, la fonction u, =: U, — Ui satisfait à l'équation io) = et l'on, a sur la surface <■> = 0.

Donc, d'après la formule de Green, ou aurait :

f[0+(Èîï+Cff

donc dans tout le domaine D on aura :

dx éij dz

m serait donc constant eu D et nul comme à la frontière. La recherche d'une fonction U satisfaisant à l'équation de Laplace, (on la dit harmonique), à l'intérieur de D et prenant des valeurs données à l'avance (U) sur la frontière de D constitue le fameux problème de Dirichlet dont nous avons déjà parlé plus haut.

aoy FORMULE DE GREIÎS.

AutK foinmic Désignons par x'tj'z' les coordonnées d'un point P acLuellement dcnné, à l'intérieur de D, mais non sur la surface frontière.

Soit :

il = VfT' ^)= + (y' j,)^-qr(FT7i)=i

fonction de x, y, z, dont Xinverse salisfail, comme on sait, à l'équation de Lapkce. On a :

i|,-=0 sauf au iioiiit !/=</'

Enlourons le point P d'une surface sphérique s concentrique et de rayon s destiné à tendre vers zéro, soit V une fonction continue à l'intérieur de D.

Appliquons le Ihéorème de Green à tout le volume de D, qui est extérieur à la surface i:, on aura :

Nous faisons U = j^ et nous avons deux surfaces d'intégrations : la surface limite de D et la surface de la f'phère; n,désigne sur celle-ci le prolongement d'un rayon de la sphèro.

L'intégrale jVlVdx est identiquement nulle et

diu ~ dr " IV

Le second nombre a donc pour limite — 47tV', V désignant la valeur de la fonction V enD;

yGoosle

CORPS liF-FOnMiBLES.

d'où celle fonniiie :

les intégrales de surface se rapportent à la seule surface limite du corps, la sphère auxiliaire ayant disparu complètement du résultat.

Stokes a découvert que l'on peut exprimer trois fouclions Beitrami quelconques m, v, m, de x, y, z, sous la forme ^^^ """^

~~ (Ix^ dij d;]

— *?L^ dZ " ~ rfy ' dz ~ rfa;

^d£ rfY rfX

iti; "*" rf.r rfy

les trois fondions X, Y, Z satisfaisant à l'identité :

Ihénréme pré-

cÉdant à la.

démansti'atian

d'un théorème

de Stokes.

dx ^ dy

Récrivons la formule de Green en nommant x' y' z' le point générateur des champs d'inlégralion, et x, y, z les coordonnées de P, on a :

"~ faj U 4. / 11 il», ""+4- j A,,

sT-COND TIlMOEiaHÎ T)K

posons comme daus la cinématique des déforma tiens

chv dv

on peut écrire identiquement :

dx ~ (to^ "^ Vtiytia? ' dzdcc)

iî(

par

suilc

observons que

(te'

d'après une formule déj

à utilisée

;(il'

Les trois parties de l'intégrale

COTirS Tif.FOnMATlI.ES.

se Iraiislormeront âe mCmc el l'on aura :

iT''" = rf« ir'''~ ; »'■•«(•' «■)!,-

+ ï. ( in''''-- I ï'"=i"''»)-ir

introduisons alors les fondions suivantes de la position du point M :

-k fif^.-*»

on aura :

d<-K,, dZ„, d\„, " ~ dx ~^' dy iii + "

yGoosle

SECOND TllEOMMl'; I

Pour transformer la valeur de i. rappelons la formule de Hankel :

Le premier membre étant nul si la suiface d'inlôgralion est fermée et simplement connexe. Si la surface n'enfermait pas un domaine simplement connexe on rendrait tel celui-ci par des coupures.

Remplaçons dans cette identité P' Q' R' par —7. -rr, — on aura :

LW ^ t ■) '"!» *! + (iT - î?) '"'" '■'1 + W-5,7) '»' "' ')J

faisons dans cette identité B' = tu', C'=:— i'', A' = 0,

Le premier membre de l'identité actuelle coïncide mi signe près a^ec le second terme de 4Tra; celui-ci peut donc s'écrire :

COUPS niîFOliMABI.rS.

011 encore on noramaiiL V'„ la composaiilc de la vilesse suivant la normale à d«> dirigée vers l'inLérieur

D'autre part le premier terme de -îto peut s'écrire : I -''",■ ■• '!'•• ■ , . , '' / ••■• . , . ,

258 SF.COND THflOTlÈME DE STOKES.

posons alors :

''•=ii I [«'c»s(«';-i-..-cos(«'i)J-|f

^ i,.+t.) , ^ iz.+z.l „(v.+v.)

" (to +" cl!/ " (iz

tîy

'■+?.i , ,ff.+-i'.) „(X5i+jy

ce soûl les formules do Stokcs où Tou a fail :

resLe à vérifier l'ideulilé

((X , dl , lïl.

CORPS nEPOIIMi\îii,ES.

=k/¥-'+:^/[- -'-»)-■» Ht

posons d'autre pari :

f fr/,h' , 1 / vj' d-7'

-:ûJ -r

ou a :

on aura donc aiosi ;

ciU riW

" ~dz ûy

dW dU

" dx ds

^ dU ^

~ d-ij dx