SECONB THÉORÈME DE STORES

forme d'où ré-^iilLe iramédialement l'idoiilitc : ^^ rîZ

Remarque. — Ou sait qu'un potentiel n de vohime patisfait dans rintôrieui' du volume D alliranl à la relation de Poisson

dx- "^ dy' ' dz'-' " '^

p étant la densité an point x >/ z àe la matière aLlirante. On déduit des valeurs de U, V, W

AU = a AW = w et par conséquent

Y—, f^ rfW\ dAV dW(iw dw ^ "^ \fis ^ d)/ / dz av - dz du ~ '^

on obtient ainsi les relations ;

4X + 2/) = AY -j- ^ = {) i^Z 4- 2r =

■" dz dx dy

dy dx ~

* dz Uu

et par conscquenl :

iX + 2p =

rf« dfj dw i<s = 6 = X + r + -T- ^ ix dy ' dz

Si on rapproche ces formules des formules de Green, on voit qu'il n'existe qu'une distribution des vitesses quand on connaît les distributions de 0, p, q et r, et la composante normale à la surface limite du vecteur (X, Y, 2).

— Nous supposerons que le débit superficiel reste fini. Cas d'un fluide Les intégrales de surface peuvent être Dégligées dans les expressions précédentes.

— S'il n'y a pas de parois à distance finie on a l'inlini Ca5 d'un iiuide ^ = et comme a donc en ce cas :

> et comme Aa. = o on aura partout ^ = o ^^^^^

^ dz

'- iS'

■I f ,dx'

262 JIOUVEJIIÎST PLAN d'un I.IQUIDU.

donc

i fd-

if' (y — y'] — r (x ~ X')]

Chaque clémenl de volume où il y a tourbillon tran&met donc à une parlicule éloignée une vitesse élémenlaire suivant la même loi que celle qni régit la force transmise par un élément de courant électrique à lui pôle d'aimant.

Mouvement Supposous uu mouvcmcut parallèle au plan des œ, y.

plau d'un liquide, fiu (/„

dz dz " X = o

ou a j) = n, 7 ^ 0,

Supposons le liquide compris entre les plans s =; — L et ; = -u L. on trouvera :

CORPS DÉFORMiBLES. 263

et en négligeant Ri devant L on pourra prendre :

(Log L — Log Ri) dx' dy'

et par

suite

'ffi

■ y ') clx ' dy '

djj

-ffi

-x')dx' dv'

chaque élément dx' chj' produit sur le point P une vitesse infiniment petite ti.itigentiellc =--' i^ll

D'après les théorèmes d'Helmhollz, si le fluide est incom- '^*^ *''^'^ "^ pressible r ne varie pas avec le temps; eu -variables de panent r dr

Lagrange — = o

en variables d'Euler :

4-— = n dx dy

ir^" - ^""'1 i A f ^ ^n V

',x\dx dy\~^ dy \^dx dyj

ûx dy dy dx

■a04 VOIITËX UJilQrE PlîRMAINliNT.

OU AZ = V (Z). D'ailleurs Z = C= esL réquation des trajectoires.

Tourbillon prenons ponr origine le contre du |iiod ilo l'axe du tour-

iquide circii- j^^j^^jj^ ^^ 9^^,^^ ^ l'unité : laire unique

et permanent. '1" '^ l'mtérieur du cerclc pour R, < "

AZ' + 2r' — {}■' = •,! = conslanle)

2" A l'extérieur M." =^o

3° La vitesse est perpendiculaire au rayon R,, cela exige que Z' et 7." ne dépendent que de Ri.

Soit

Z' = V';;r,) Z"=V"(iii)

on aura par l'emploi des coordonnées polaires :

dR,' "^R, dR, " Z'~V=:^— ,oî^4-CLogRi + D poiirR, <«

7,"=z V"= ALogR, I-R iroiirtS, >«

On prendra = 0, sans quoi Z' serait infini à l'origine. D'ailleurs pour B =«

la contiuuité des vitesses exige fine A ^ — ws'.

CORPS DÉnOBAUTlLES.

Les vitesses langeiUiclics sont alors, dans le noyau :

Plusieurs nojaux

Les vortcx simiillanés devront se dérormer.

Mais n'éludions leur action que sur un point extérieur t(mi.)jiUon-

à grande distance par rapport à leurs faibles dimensions. naires

On pourra prendre en appelant r^ la distance d'un point ^','^° * j",^^ du milieu à un vortex numéroté j

àlj -1 , 3! — Xi

Êciuation valable pour le pied de chaque tube en supprimant le terme d'apparence critique.

(i fj)

266 TOijimiLLONS simultanés tbès béliés,

Los 2 H équ^ilions prccédenlcs admclleiiL 4 n intégrales; en voici d'évidentes :

le centre de gravité des pieds des tubes est immobile;

%'■ on 11 s Sut,- -T {Xi^ + Vi') = — - S; S; )Ji; mj ,, =

donc

Sm; (aij^ + y'\f = cunstiiiite.

Ce résultat, oii l'origine est quelconque, contient les précédents. On peut déduire de ces intégrales précédentes une nouvelle forme. On a

qu'on peut encore écrire en prenant comme iudice le couple

iv) ■■