f- eos <o sin S sin .iî

ou encore, par la transt'ormalion inverse avec ciiangemenl de signe de m :

1 cos 3 ^ cos oj ras fl -|- sin w si» fl sin L \

! sin 3 sin ;R^ — siii(ucosp-[-raswsinfisinL ; 1 sin B ras -■îV = sin p cos L }

10 COORDONNÉ i:5 ASTRONOJIIQIJES.

dans ces formules "> désigne l'obliquité de l'éclipLique, l'arc pn.

Gomme application de ces formules, indiquons la dotcrminalion de la position du point v et de l'obliquité <•>.

Si l'astre M est le soleil, on a, à chaque époque de l'année : p — 90" ; dans cette hypothèse on déduit aisément des équations précédentes

siri .R = cot ui cot ô tg .R :^ tg L ces 0.

cys S = sin [1 sin L

I.es observations méridiennes permettent de déterminer chaque jour la différence des ascensions droites du soleil et d'une étoile particulière fo ou l'ascension droite provisoire par rapport à cette étoile -ft'; soit a l'ascension droite inconnue de l'étoile ■(■„. On aura .1\ = .11' -[- i, en posant alors :

Nous pourrons écrire l'équation sin .îV = cot a, cot à obtenue tout à l'heure sous la forme suivante :

'j; sin .R' -f- !/ ws .R' = cot î

On aura autant d'équations de ce genre que d'observations du soleil dans le cours d'une année; ces équations surabondantes mais compatibles feront connaître x et y, X tV y obtenus on déduira :

LES FONDATKUBS. 11

On sait que le système de coordonnées équatoriales et le système de coordonnées écliptiques ne sont pas rigoureusement fixes par rapport aux étoiles.

Voici comment, dans l'antiquité, Hipparquc mit en évidence ce fait important; on peut déterminer la longueur de l'année de deux manières : dans une première méthode on cherche par interpolation l'époque précise où la coordonnée S du soleil acquiert exactement la valeur de 90", on détermine ainsi l'instant d'un équinoxe, si on détermine ainsi les heures de l'équinoxe de printemps à deux dates éloignées, par exemple en 17SÛ et en 1860 à 210 années d'intervalle, en divisant la durée sidérale écoulée par 210 on aura la longueur d'année, aifeclée d'une erreur qui sera l'ei'reur à craindre sur la détermination de deux instants équinoxiaux réduite dans le rnpport de 1- à 210.

On trouve ainsi aujourd'hui pour la longueur de l'année 36S, 2^221 7 jours solaires moyens'; telle est l'année tropique. Une deuxième méthode consiste à observer les époques du retour du soleil devant les mêmes étoiles; telle est l'année sidérale évaluée par Hipparque à 36S^ 2S7.

Adoptant ce nombre, Hipparque s'en servit pour prévoir d'après les observations des instants équinoxiaux faites 200 ans avant lui par Aristille et Timocharis, l'instant de l'équinoxe que lui-même pouvait observer; or il trouva que celui-ci était en avance de trois jours; c'est le phénomène de la précesdon des équinoxes.

Si le retour du soleil aux mêmes étoiles est possible, c'est que les élôiles gardent une situation invariable par rapport au pôle de i'écliplique.

I, La défliiitiûii du jour solaire moyen sera rappelée page \'i.

Si donc oit suppose avec Ripparque i'équateur fixe et le plan de l'éclipûque fixe également, la précession de l'équinoxe égale à trois jours en 200 ans, ou à 0%015 par an, raccourcit l'année de 0',0'15.

Il faut donc admettre avec Hipparquc que les étoiles ont éprouvé un mouvement de rotalion autoiir du ■ pôle de l'écliptique égal au chemin sidéra! angulaire décrit par le soleil 0^,015; or la vitesse angulaire sidérale du soleil est par jour 59' S".

La sphère étoiiée a donc mai'ché dans le sens direct autour du pôle de l'éclipliqne de :

Si, au contraire, avec Copernic nous regardons le système

éloilé comme (ixe, ainsi que le plan de l'écliptique, nous

dirons que le point •; rétrograde de 30" par an, ou d'un

tour en 26 000 ans.

Au point de vue géométrique les deux manières de parler sont équivalentes; elles ne le sont plus au point de vue mécanique, depuis que Newton a montré que le phénomène de la pression rattaché à l'attraction et au renflement équatorial de la terre est en somme \q phénomène de la toupie dans le ciel. Le fait géométrique de la précession s'était encore révélé à Hipparque d'une autre manière; ses prédécesseurs Aristiile et Timocharis avaient déterminé 200 ans avant lui les longitudes écliptiques d'un grand nombre de belles étoiles; Hipparque en reprenant cette délerminalion trouva toutes les longitudes accrues de 2%B, la distance de ces astres au pôle de l'écliptique n'avait pas varié sensiblement.

En réalité, ce n'est pas seulement le pian de l'équateur terrestre dont l'orientation par rapport aux étoiles change lentement, mais progressivement; l'écliptique lui-même

représente un plan variable par rapport anx éloiles, mais ces cliangetnents étaient beaucoup trop faibles pour être aperçus d'Hipparque.

Pour terminer avec ces généralités sur les principaux repères des mouvements des astres, nous rappellerons la définition de la durée du jour solaire moyen.

On imagine un soleil fictif qui parcourerait l'équateur durant l'année tropique avec une vitesse angulaire constante et égale au moi/en mouvement da soleil vrai; la durée qui sépare deux passages consécutifs de cet astre à un méridien (arbitraire) est le jour solaire moyen.

Si l'on voulait définir l'origine physique du jour solaire moyen en un lieu, il faudrait préciser les époques où le soleil vrai et le soleil fictif ont même ascension droite, c'est ce qui résulte de la « théorie du soleil n qui sera incidemment rappelée un peu plus loin.

Il est aisé de voir que l'année tropique renferme juste un jour sidéral de plus que de jours solaires moyens; on déduit de là, et de la longueur de l'année indiquée plus haut, que

\ jour siiiéral = \ jour solaire moyen X ■■ },f,^■ â T^'^ r -

En d'autres termes :

86400 secon(/es de temps sidéral valent 8{J'IG4 seconde.? de temps moyen. Nous verrons un peu plus loin que l'année sidérale est, sauf de petiles fluctuations périodiques, coïwtante, or le mouvement de précession n'étant pas constant et éprouvant de petites variations extrêmement lentes dont la mécanique céleste assigne la valeur, il on résulte que l'année tropique est variable, l'année tropique est aujourd'hui plus courte de 12 secondes environ que l'année tropique du temps d'Hipparque,

14 LA. l'HÉCKSSEON.

Voilà ce que l'astronome aidé de la mécarjiqne peut aujourd'hui affirmer.

On voit donc que dans le ciel les repères géométriques observables et l'horloge solaire ne nous offrent pas des points d'appui rigoureusement invariables

Ceux-ci résulteront des lois mêmes des mouvements astronomiques.

Ces lois dépendent d'une loi élémentaire que nous regardons aujourd'hui comme extrêmement simple et dont la découverte est intimement liée aux notions de la mécanique moderne que nous devons à Galilée.

Dans la prochaine leçon nous exposerons l'histoire de la découverte de l'attraction, c'est-à-dire l'histoire de la naissance simultanée de l'astronomie et de la mécanique.

Copernic, Tycho-Brahé, Kepler, Galilée, Newton.

La prévision des mouvements intérieurs du s^'Stème solaire vu de la terre est un problème qui intéresse le navigateur autant que l'astronome. Les mouvements étudiés, d'ailleurs, sont ou très simples ou fort compliqués, suivant le système de coordonnées adopté ; le système de coordonnées inauguré par Copernic, et dont le choix devait être décisif pour les progrès de l'astronomie , a son origine au centre du soleil et non sur la terre.

Avant de commencer l'étude des planètes, une première étude indispensable était l'étude du mouvement du soleil par rapport à la terre; cette étude avait été faite en partie par les anciens astronomes, qui ne se préoccupaient que de l'observation des coordonnées angulaires. Les anciens savaient fort bien que le mouvement angulaire du soleil par rapport à des axes orientés sur les étoiles et passant par ie centre de la terre est fort loin d'êlre rigoureusement uniforme, mais comme ils ne voulaient pas renoncer à l'hypothèse d'une orbite circulaire parcourue uniformément, ils admirent que la terre n'occupait pas tout à fait le centre de l'orbite du soleil, mais qu'elle en était peu éloignée. Telle est l'hypothèse de V excentrique, que le calcul traduit aisément ; Soient G le centre de l'orbite du soleil, supposée circulaire

16 l'kxciîntriqiji:.

et parcourue uniformément, T la position de la terre, T7 et C'f' deux droites parallèles dirigées vers la direction commune qui sert de départ aux longitudes écliptiquea. Soit n le moyen mouvement du soleil égal à 39 '8", soit T le temps écoulé depuis ie dernier passage du soleil au périgée en S,, ; l'angle S^CS = m sera nT et différera de l'angle V =r sj'S d'une petite quantité p = TBC que l'on pourra calculer en même temps que la distance r — TS de la manière suivante, La considération du triangle GTS nous T Y' donnera enfaisantSC— B,TO = (/,

r sjn p = fi r cos p ^ R ~

foi'mnle d'où l'on déduit en faisant 77 = ^'

ou, en remplaçant la tangente du petit angle p par cet angle lui-même mesuré avec l'unité tri gono métrique d'aiigie, laquelle est égale au rapport du nombre de secondes à la valeur 206203 du rayon en secondes

P ^ 2ijG2f)5":,-~ ^-^— —

yGoosle

LES FONDATEURS. l(

OU, en ncgligcaiît des Icrmes en e%

p =^ 20(J2G5" e sin m

BOUS aurons

Soit î5 la longitude du point S„, on aura pour la longitude L du soleil en S

L = u + rf

L = «T + cl + 200205" H siu m

Koil, d'ailleurs, X^ la longitude moyenne à l'époque initiale, on aura t et („ désignant les dates de passage en S^ et S

h = nt — nk + îS + 206265" e sin m

ïS -— ^0 + )!(«

d'où, en ajoutant et remplaçant m par X^ -\- nt — -d

L = X,J^-nt-\- 2062(35" e sin [X, + "( — lA)

cette formule contient, en outre de n, les constantes iC„, irf et e, que l'on déterminera par l'ensemble des observations annuelles; on trouverait ainsi e = ^-jy car l'observation indique une relalion empirique de la Ibrme

h = Xo -{- nt -{- l°5(i' sin. (X„ + nt — :tj)

la valeur e = ^ est conforme aux observations des coordonnées angulaires du soleil, mais elle est en contradiction avec les observations modernes des diamètres apparents du soleil qui ont montré que la distance r, au lieu de prendre

18 l.'KXCKNTRIQLr.

les valeurs extrêmes proporlionnellea à 1 — -'- et ] -(- .-■ prenaient les valeurs extrêmes 1 — |]x el '] -|- ^ De là résulte que les deux espèces d'observations seraient bien représentées non plus par les formules :

mais par les formules approchées :

J jr = l - I '-os (£, + m - d)

Seulement ces formules ne conviennent plus à la théorie lie l'excentrique. Celle-ci doit donc être abandonnée comme Kepler fut amené à le reconnaître dans Vétude du mouvement de Mars autour du soleil, nous verrons comment tout à l'heure.

Indiquons , d'abord , comment l'étude progressive des mouvements des planètes peut être conduite dans le systèmede Copernic, dans l'hypothèse (qui devait être vérifiée) où les. orbites des planètes, vues du soleil, seraient k peti près circulaires et à peu prés tracées dans un seul et même plan, le plan de l'écliptique.

L'observation permet de saisir par interpolation les moments oii les longitudes du soleil et de la planète étudiée ou bien sont égales, ou bien diffèrent de 180". Ces moments que les astronomes s'attachaient à déterminer avec précision, se succèdent périodiquement à des intervalles de temps distants d'une durée égale à la révolution synodiqiie

LES FOKDATEI'IIS.

de la plancto. Si n' est le moyen mouvement de la planète et n le moyen mouvement connu de la terre dans son mouvement autour du soleil, tous les deux exprimés en degrés par jour —-/ sera la révolution synodique, celle-ci connue fera donc connaître n.

D'ailleurs les observations des conjonctions permettent à elles seules d'étudier le mouvement angulaire de la planète . puisqu'elles fixent la position de celle-ci en coïncidence angulaire avec la position de la terre, par rapport au soleil et que celte dernière position est bien connue par l'élude préalable du mouvement du soleil.

Les moyens mouvements de la terre et de la planète n'étant pas en rapport simple, les positions de la planète observées en nombre suffisant, se répartiront finalement à peu près sur toute l'étendue de l'orbite. Et comme le mouvement est supposé périodique, il finira ainsi par être connu, De plus, si on connaît approximativement le rapport des diamètres 2 R et 2 R' des orbites de la terre et de la planète, on peut à chaque opposition et à chaque conjonction déduire de la latitude observable, vue de la terre, la latitude de la planète, vue du soleil, ou latitude héliorentique; car soient STP, les positions respectives du soleil, de la terre, de la planète au moment d'une opposition, c'est-à-dire quand les astres se projetlent sur la même droite STQ, du plan de l'écliplique, l'angle P T Q est la latitude observable P ' , P S Q est la latitude héliorentique P; or le triangle STP, donne de suite :

£-V OBSERVATIONS DES l'LAriÈTES.

Sin.(p' — e) __R

Siii. p' "" ir

relalion qui fera connaître p si le second membre est connu. Quant à ce rapport —,, on peut le déduire de i'étuile préalable du mouvement angulaire de la planète par rapport au soleil et d'une observation angulaire de la planète, vue de la terre, car alors dans le tria.ngle TPS on peut situer P au même moment les trois directions TS,SP, TP. Le moment d'une quadrature est le plus favorable.

Les circonstances favorables admises favorisent grandement les approximations successives que l'on vient de rosimier.

Au temps d'Hipparque les erreurs des déterminations angulaires pouvaient atteindre 1° et même 1%5; les mesures analogues des astronomes arabes comportaient des erreurs de 4 à S minutes d'angle. Tyclio-Brahé parvint s«ïî.s/e secours des lunettes à réduire ces erreurs à 1'.

Il y parvint grâce à l'extrême attention qu'il accorda aux perturbations que la réfraction atmospliérique apporte au visé des astres; il dressa, en effet, «ne table de corrections qui pour des dislances zénithales de moins de 60° s'accorde avec les tables modernes à 12" près.

Le grand observateur danois découvrit aussi une inégalité importante du mouvement de la lune, mais c'est surtout par ses observations précises accumulées qu'il a servi la science; il prépara les matériaux que l'audacieuse imagination de Kepler allait utiliser.

LES FONDATia'HS,

Kepler n'avait pas, pour reconnaître la fausseté de la théorie de l'excentrique, le secours de la mesure plus moderne des diamètres apparents du soleil, mais fort heureusement les -variations proportionnelles de distance de la terre au soleil sont notablement plus faibles que les variations proportionnelles de la distance du soleil à la planète Mars, en sorte que, dans une première approximation, l'hypothèse de l'excentrique appliquée à la terre en mouvement autour du soleil, satisfaisante d'ailleurs pour le mouvement angulaire, et malgré son insufiisance pour représenter les variations de la distance terre-soleil, n'empêcha pas Kepler de reconnaître l'insuffisance de la même théorie de l'excentrique pour représenter à la fois le mouvement angulaire de Marsetlesvariationsproportionnellesdesadistance au soleil. Dans l'étude de Mars, Kepler, désireux d'utiliser le plus grand nombre possible des observations précises de Tycho, ne se contenta pas de la métiiode d'observation indiquée plus haut et utilisée depuis Copernic; il eut recours à l'artifice suivant : la durée de la révolution sidérale de Mars déduite de sa révolution synodique, comme on l'a vu, était connue, elle est de 687 jours; Kepler eut l'idée d'associer deux par deux les observations de Tycho en réunissant ensemble celles de ces observations que séparait une durée de 687 jours ; la situation identique P de i la planète à ces deux moments forme avec les deux positions connues T' et T de la terre un triangle de base Tï', dans lequel les directions TT et TP sont séparément observables. La position de la planète, commune aux deux époques, peut donc être relevée.