QIJKLOULS l'ItOBLÈMES

Soient I, II, III, IV les lignes d'acLion des forces données et V et Vï les lignes d'aclion des composantes parallèles à la direclion ab de la résuUanle (donnée par le polygone

Soit un pôle arbitraire, traçons un polygone funiculaire des quatre forces données, arrêtons ses côtés extrêmes en A, V et VI, B sur les lignes V et VI données et par le point 0, menons une parallèle OH à la droite qui joint les points (A, V) et (VI, B). «H et llb sont les grandeurs cherchées des composantes.

La position de la résultante est d'ailleurs connue, car elle doit passer par le point de concours w des côtés extrêmes du polygone funiculaire primitif.

On peut aussi déterminer la ligne d'action de la résultante par la solution du problème suivant :

Problème IL — Déte."raincr la résultante de deux forces parallèles.

; Poiioiis sur les lignes d'action des

composantes deux segments qui représentent leurs intensités en ordre croisé; désignons Voj'igine de chaque segment à l'extrémité de l'autre; les deux droites ainsi obtenues se cou-

I peut en un point k qui appartient à

\ la résullanle.

1 Cela résulte immédiatement do la

théorie des forces parallèles ou de la théorie des moments.

Problème m. — Décomposer une force en deux autres

STANCE DES SOLJTUlS

parallèles à la [iremière et ayant des lignes d'aciion données.

C'est un cas parlieulier dn problème I, mais on peut rattacher sa solution à celle du problème II et obtenir le tracé suivant :

Soit III la ligne d'aciion de la force donnée et soient I et II les lignes d'action des composantes cherchées, portons sur l'une de ces deux lignes, par exemple r sur II, le segment ¥„ Mj qui ropfcsente l'intensiié de III.

Joignons ces points à un point N^ arbitraire sur I, joignons N3 M3 et f Nj Mo, et par le point où celle dernière droite rencontre III, menons une parallèle à Na M^, celle-ci coupe II en un point M,. M„M, sera la grandeur de la composante ayant I pour ligne d'action el MjM^ sera la composante ayant II pour ligne d'action.

1™ riioriïiÉTii :

Lorsque varie ie pôle du polygone funiculaire d'un sys- Qiwiques pro-

tème plan de forces données, le lieu des points de rencontre ï"^'^* r"""^'

' ' f^ triques des po-

de deux côtés quelconques de ce polygone décrit une droite lygonesfunicn-

parallèle à la rcsultanto des lorccs comprimes entre ces '^'™^ déduites

(le lear rôle '^'J'''^^' statiauo.

Si deux systèmes plans de forces B et S' sont é;inivalcnl,s ;t si, relativement à un même pôle, à un môme point do

201) PROPIllI^.TÉS Dr.S rOI.YGOM'.S rUiNICOIAIRES.

départ du polygone des forces, et à un même point de départ des polygones funiculaires, on construit les polygones des forces P et P' relatifs, respectivement, aux deux systèmes S et S', leurs deux côlés extrêmes coïncideront respectivement.

Comme conséquence, on a la remarque suivante : Le pôle d'un polygone funiculaire dont les côtés extrêmes passent par deux points fixes et dont les polygones des forces ont même origine, est le même pour le système plan de forces S et pour lous les systèmes équivalents.

3" Propriété :

Le lieu des pôles des polygones funiculaires, dont deux côlés sont assujettis à passer chacun par un point fixe, est «ne droite parallèle à celle qui joint les deux points fixes.

Pour démontrer cette proposition, observons qu'on peut, sauf à réduire le système de forces données à un nombre moindre, toujours supposer que les côlés assujettis à passer chacun par un point fixe soient les côtés extrêmes.

Supposons d'abord que le système plan de forces considérées admette une résultante R et soient A et B les points fixes situés chacun sur un des côlé.^ extrêmes

la résullante R esl d'ailleurs donnée sur le polygone des forces par le segment ab et sa ligne d'aclion peut êlre fournie par la construction d'un polygone funiculaire.

Décomposons la force R en deux forces F| et Pj parallèles à sa propre direction et passant par les points' donnés A et B.

Soient al et Ib los segments représentatifs des intensités de Pi et P5, le point I partage la droite ab dans un rapport donné (rapport inverse des distances de B et de A à la ligne d'action de R) , le système S est équivalent au système (F„ Pa); il suffit donc, d'après la précédente remarque, de déterminer le lieu des pûlos des polygones funiculaires P relatifs au système (l^"',, P^) et assujettis aux conditions

Mais, d'après la délinition des polygones funiculaires, le côté AB sera le côté fermé de tous ces polygones funiculaires P.

D'ailleurs 01 est parallèle à AB.

Le point ne peut donc que décrire la droite 10 parallèle à AB menée par I.

Si le système se réduit à un couple, on voit de suite que l'on peut supposer que les deux forces da couple passent par A et B et la démonstration précédente ne sera pas

4"^ Propriété :

Si on considère les côtés correspondants de deux polygones funiculaires relatifs à une même origine du polygone des forces d'un même système de forces, ces côtés se coupent sur une même droite parallèle à celle qui joint les pôles des deux polygones.

208 CAS DES FORCES rARALLÈLKS.

D'après la 3^ propriété, il suffil de démontrer que l'inLorsection P de deux côlés correspondants appartient à la droite AB qui joint les points de rencontre A el B extrêmes correspondants.

. Or, soient et 0' les deux pôles des polygones funiculaires.

D'après le ihcorème précédent

00' est panillûle à AC comme A AB, donc les trois points A, B, G sont en ligne droite.

Corollaires. Do cclto dernière propriété, on déduit les conséquences suivantes :

1° Lorsque deux côlés d'un polygone funiculaire, relatifs à «ne même origine du polygone des forces, pivotent autour de deux points fixes, tout autre côté pivofe autour d'un point fixe situé sur la droite qui joint les deux premiers points fixes el le lieu des pôles est une parallèle i celte même droite;

2° Lorfque le pôle d'un polygone funiculaire relatif à une même origine du polygone des forces décrit une droite D et qu'un côté de ce polygone pivote autour d'un point fixe P, tous les autres côlés pivotent autour de |iùiuls lixes situés sur une parallèle à B menée par P.

Propriétés Si l'on décompose un système plan de forces parallèles mstriquesd-s ^ p j p g parallèles à D et ayant des lignes

polygones ' " °

funiculaires d'aclioîis données, les grandeurs des composantes peuvent d'un sjsUme g|^j,g obtenues par l'emploi d'un polygone funiculaire, mais parallèles ^^'^^ demeurent fixes à l'égard de celui-ci.

Cette remarque conduit à des conséquences intéressantes pour les polygones funiculaires de forces parallèles.

SISTA>CE liES SOLIDES.

.100 CVS DES FOnCES PiRArXÈT.K.

Soient les forces parallèles (I, II, III, IV; 1, 2, 3, k).

Traçons le polygone funiculaire A, I, II, III, IV, B.

Les points A et B appartenant à deux droites fixes parallèles aux forces déterminent une corde AB; considérons une droite fixe LL parallèle aux forces données, cette droite ne peut rencontrer évidemment le polygone funiculaire qu'en deux points a' et b'.

Menons 01 parallèle à AB qui coupe enl la droite des forces.

Si on complète les forces données par les forces 61, la, appliquées sur les lignes d'action VI et V, on a un système en équilibre.

Prolongeons le côte II, III du polygone funiculaire jusqu'à sa rencontre en avec la corde de AB.

Le point G appartiendra à la résultante R des forces (I, 1 ; II, 2; V, I«); or, la grandeur et la position de cette résultante ne dépendent pas du polygone funiculaire choisi; la force R et la dislance du point G à a'b' sont donc l'une et l'autre invariables.

Or, le triangle G a' b' et le triangle de sommets 0; 2, 3; I, qui ont leurs côtés parallèles, sont semblables; on aura donc, en désignant par h la dis'ance de G à «6 et parp la distance de à ab,

donc

Or !a résultante partielle R, mesurée par la distance I, (2.3) est indépendante du polygone funiculaire. Le produit a'b' X p est donc constant.

De cette propriété résulte un moyen simple do rattacher les tracés de deux polygones funiculaires.

Toutes les propriétés précédentes subsistent évidemment pour une succession conlinue de forces, les polygones des forces et les polygones funiculaires deviennent alors des courbes et il n'y a qu'un changement insignifiant et évident à faire dans les énoncés qui précèdent. Les côtés du polygone funiculaire deviennent les tangentes à la courbe funiculaire.

Aux points correspondants de la courbe funiculaire et de la courbe des forces, la tangente à la courbe funiculaire est parallèle au rayon polaire de la courbe des forces.

Coiirhea fanieulftires.

Soient MM' et ^y.' deux arcs correspondants d'une courbe funiculaire G, et d'une courbe des forces r définies pour un système plan continu de forces ; si «> est le pôle, le rayon vecteur ufi est parallèle à la tangente en M à G, (l>|i.' est parallèle a la tangente à G eu M' ; soient x, y les coordonnées du point M, ?, -n les coordonnées du point [A, dx, dy, dX, d-^ leurs variations correspondantes ; soient enfin R et R + (/R les rayons vecteurs •»[>■, "'V-'

Équation difTérentielle

courbes fiiuiculaii'es

et a l'angle que tu;', fait avec l'axe des x dans le sens positif des rotations.

302 coijubes ruisicuLAiriES.

En projelant ?ur ehaeim des axes le contour formé w [^ ,-a' w, on a :

— ri(nfosa) + rf^ =

fj-l^' représente la somme géomélrique des forces élémcnlaires intermédiaires que nous pouvons représeiiler par ¥ds

as — arc MM '

les projections de celte force seront Xds, Yds.

dr, = Yds

d'ailleurs à cause du parallélibme de R et de la tangente en Mac

donc :

deux équations différentielles mais renfermant IJ.

Si on projette le contour i,>\>.^.' sur la tangente cl la normale à la courbe funiculaire, on aurait eu, en- désignant par 9 l'angle des tangentes extrêmes, et par v la projection de \i.' sur o)|a

R — (R -[^ dW) cos + va 11= — (["i + dl{] sin 9 -(- vl,.' =

ou, puisque 6 est infiniment petit

- no + va' ^■.

yGoosle

IIÉSI3TA.\CE DliS SOLIDiiS. oUi

BoicnL F,ds cl F„ds les projections de la force élémsn taire sui' la langoriLe et la nonniie oricnléc, on aura

v'/ — F,,Js

ou, en obscrvaiiLqiie -,- osl la courbure - de la courbj funiculaire en M

Il n

Adoptons comme axe des y la direction commuue des ''^'^ 'i*^^ '°''''^^ , parallèles,

forces

la première des équations s'intègre et donne

on tire de la -r =^t-

os dx

et la seconde des équations différentielles devient

i ds "^'

si on se donne la force P rapportée à l'élément de longueur normal

Fiisz=. Nx

304 COURBES FUriilCtîLAIRES.

et par suife l'on aura

R„ est la (lislanpo polaire des polygones finiiculaires.

Remarque. -— Les courbes funiculaires coïncident avec les formes d'équilibre des fils flexibles.

On remarquera la proposition suivante ;

Tout polygone circonscrit à une courbe funiculaire est un polygone funiculaire d'un nombre fini de forces, celles-ci sont ies résultantes partielles des forces qui agissent entre les points de contact successifs de la courbe et du polygone.

Théorie des poutres droites.

On sait qu'un couple agissant sur un corps rigide est déterminé par la seule direction de son axe.

De là résulte immédiatement que le moment de flexion en un point Gi de la fibre moyenne d'une pièce est égal au moment de flexion en un point antérieur G augmenté du moment de flexion pour G, prOYenaut des forces exercées sur les sections intermédiaires de la pièce et des moments par rapporta G, de la compression et do l'eifort tranchant relatifs à G. ,

De là résulte que le moment de flexion M, en Gi est à une fonction linéaire près des coordonnées de G' la somme des moments par rapport à G, des forces exercées sur les sections comprises entre G et G,.

Pour une poutre droite à plusieurs appuis on applii[uera la susdite remarque à une travée.

30G llKMARQliES SCa LES MOMENTS Hf. FLEXION.

Le moment de la compression est toujours nul. Le moment de flexion en G, sera alors une expression de la forme

m, désignant le moment relatif aux sections intermédiaires entre G et G,; G est fixe, 0, est variable, T et ^ sont deux constantes.

Une poutre à n travées introduit ainsi 2 n constantes.

Bans toute portion de ia poutre où il n'y a aucune charge le moment de flexion est représenté par l'ordonnée d'une droite.

Si une travée ou portion de travée supporte une charge verticale (normale à la poutre horizontale) constante et égale à p par unité de longueur, le moment de flexion eat l'ordonnée d'une parabole à axe vertical dont le paramètre

est

P La forme de celte parabole est indépendante de toutes autres conditions de la poutre, celles-ci n'interviemient que sur la position de la parabole; en effet, le moment de flexion des charges situées entre G, et un point. G de la portion considérée de la travée est

pr.

formule qui justifie la proposition énoncée.

HÉSISTAÎS'C!! ri!S soLirir.s.

— Enfin on remarquera que d'après un tlii^nrènic plus général établi plus haut on a

Il résulte des remarques précédentes que le moment de flexion dans une travée, est à une fonction linéaire près de l'ahcisse X, le même que si la travée soumise aux mêmes charges était séparée du reste de la poutre et posée sur appuis simples.

Les réactions sont ici perpendicul;ùr<?s à la poutre et elles i^^s ii'u'

sont déterminées par la ttatiquc du (

Comptons les abcisses X à partir de l'appni de gauche de la poutre horizontale et considérons le cas d'une charge verticale unique P appliquée en G, point d'abcisse a, soit / la ^" T ' longueur AB de la ■* poutre, les réac- „

tions des appuis A et B sont :

ips rigide.

dIJ» POUTHE DROITE! STIll DEUX AI>I>U[S SIMPLRS.

Si le point G d'abcisse œ m\. enlrc A ot G, le moment de ûexioii en ce poiut sera :

^>. = \\s-.PQ -.)j\ (,r<..) si le point G est entre G et B on aura :

S'il y a plusieurs charges :

Supposons que l'on ait :

Sj, désignant la somme relative aux forces à gauclie de G, S^ désignant une somme relative aux forces à droite de G. On j)eut d'ailleurs écrire ;

S'il y avait une force finie au point G, son moment nul peut ûlre compris dans l'une ou l'autre des deux sommes.

sista;(ci3 des solides.

Soif. S luio somme s'élendaiit à loute la travée, on pourra écrire :

d'où pour l'effort tranchant T :

Si on a sur toute la poutre une pression- uniforme par unité de surface, les formules précédenles deviendront