M, , + ;,+, M, +, + 2 ('; + '<+ .) M,- = II

Théorème Pcul-on élablir entre les points F,-, Fj.,., auxquels so

gênerai des ^gppQptg \g^ relation générale (5) une dépendance telle

que le terme Mi dii5paraisse de cette équation? Il suffit de

poser pour cela :

en rem[)laçanL 7', par /, — i'; cclio rclalion devient :

VX I —El"''' l t iil-

c'est une équation da premier degré en - et —

Deux points ainsi associés se nomment points correspondants.

Pour ces points la relation générale devient :

c'est le théorème général des deux moments.

On appelle 1° foyer de gauche, le point de la première Emploi au travée de gauche dont le moment de flexion peut être tiiéorème prédéterminé; 2" foyer de droite : le point de la travée extrême de droite où le moment de flexion peut être déterminé.

Ces points sont les appuis extrêmes quand il n'y a pas d'encastrement, et quand il y a encastrement on a vu comment ils sont déterminés.

I,es foyers détermines, on cherche leurs correspondants

cèdent.

POLNTS COURESPO^DAr^TS.

dans les deux sens et le théorème des deux moments fera alors connaître, par son emploi dans les deux sens, 2 n points où les moments de flexion seront connus.

La distfibuUon des moments est alors complètement connue, comme on l'a vu.

Pour que la méthode ne soit pas illusoire il faut démontrer que le dernier point correspondant obtenu dans la travée extrême de droite ne coïncide pas avec le premier foyer de droite.

Pour les poutres homogènes à section constante la démonstration est facile, et l'on s'assure alors que si le premier poiat de départ est dans le premier tiers de la travée extrême, les points correspondants seront tous dans les premiers tiers; comme le foyer de gaucho est dans le premier tiers de rive de la première travée, et comme le foyer de droite est dans le tiers près la rive de la dernière travée, la remarque précédente assure le succès de la méthode pour le cas des poutres homogèues à section constante.

Voici d'ailleurs la justification de cette remarque dans le cas particulier considéré.

La relation des points correspondants est :

fe-+(-^)à

liÉSISTAÎVtË DES SÙLIDKS. 343

par hypothèse

et par suile donc

Le théorème des deux momenis fait connaître la distribution des moments de flexion, et par suite les efforts tranchants par des différentiations.

Il résout donc complètement le problème de la poutre continue pour le cas des charges fixes, cas auquel nous nous tenons.

Dans le cas des charges variables de position il y a lien de se demander quelles sont les combinaisons des positions des charges qui amènent sur «ne section de la poutre les maxima du moment de flexion ou de l'effort tranchant, mais ici je renvoie le lecteur an bel ouvrage de M. Maurice Lévy [La statique graphigue appliquée aux constructions).

Mon seul but, dans ces leçons de mécanique générale, était de donner une place trop souvent oubliée à la résistance des solides naturels et de développer les principes de cette théorie sur des exemples nets.

On voit d'ailleurs que les résultats obtenus par la théorie, intéressants pour la pratique, mettent aussi en œuvre des

311 DUIHKSION DES PIÈGIlS.

méLliodes géométriques élégantes et qui méritent d'ètte connues pour elles-mêmes.

Pour terminer, j'indiquerai les modes de détermination des dimensions des pièces.

cinieiisioû {<■ Gotisidéfons d'abord une pièce qui est simplement

^^i^eùr^^' ^S'^'i'^^ ou comprimée, on a déterminé, nous le supposons,

dètei mination la plus grande et la plus petite tension totale que les forces

p.atiquH itoîinées et les réactions exerceront sur une section S.

Si elles sont de même signe, désignons -les par F,„i,s et

Fmiii ; si elles sont de signes yariables soit F„ia., la plus

grande en valeur absolue, 4\„i,ï la plus grande des forces

de signe contraire. Dans le premier cas, la section S doit

élre calculée par la formule

-^ < R ou plus économiquement par

-~ — R On trouvera ainsi par la formule de Launhardt ;

maié Cjuand il n'y a que tension ou compression

et l'on aura :

(11) fi . l'i^i

De même dans le cas d'elforts de sens alterné, on trouverait pac la formule de Weyrauch i

■ï['-0-5;)êi

2° Considérons une pièce soumise à la flesion simple sans extension ni compression de la libre moyenne.

Alors, sauf pour de petits on"vrages, la section S. sera variable, distinguons d'ailleurs deux cas.

Premier cas, — Les moments de fliexion ne changent pas de sens avec la disposition des charges variables. Soient M,„ai et Mm^n les valeurs absoUies extrêmes, on aura en désignant par îi l'éloignemcnt de la fibre moyenne de la fibre la plus reculée et par I le moment d'inertie de la section

donc ici :

On fera /^^^ = lî, R étant la charge de sécurité pratique.

d'après la formule de Launhardt.

G'est-à-dirc enfin :

Second cas. — Les moments de flexions extrêmes sont de signes alternés.

IllMUKSlO.f DES l'IECES.

Soient M^^, et [!.„,.,« les valeurs absolues extrêmes de M M„,a, désignant la plus grande,

d'où encore :

La formule de Wcyrauch donne alors pour la détermination du rapport -;

3° Considérons une pièce qui travaille à la tension et à la flexion.

On commence par déterminer les moments de flexion comme si la pièce était de section constante, puis on néglige la compression de la fibre moyenne et on détermine par la méthode précédente le rapport -; d'ordinaire la valeur de u est pratiquement limitée, ou est encore maître, pour faire varier U, de la dimension transverse; on

vérifie si -est suffisamment orand.

Puis si on veut une seconde approximation on opérera ainsi :

Soient te et tt' les éloignements à la Hbre moyenne des fibres extrêmes.

KESISTANCK 1

Sous l'influence de la flexion seule ces fibres éprouvent des tensions élastiques de signes contraires de valeurs :

Si ti désigne la distance de la fibre dont la tension de flexion s'ajoute à la tension de la fibre moyenne, on aura : sur ces libres :

Supposons u =z ti'

Connaissant à une première approximation les valeurs variables - et S, on a pu déterminer M et N et par suite f.

Si (1™ hypothèse) les deux valeurs (15) sont de même signe, on se servira encore de la formule de Launhardt; si (2" hypothèse), elles sont de signes contraires, on se servira de la formule de Weyrauch.

Soient M^ et N„ les valeurs de M el N qui répondent à /max., on fera

/■ niLix, <R

ou pour le plus d'économie possible : [„„-. = 1'» c'usl-à-dirc :

+ ir=«

c'est-à-dire enfin :