LOIS DE KEPLER

Or Kepler reconnut qu'il était impossible de relier les positions diverses de P par une courbe circulaire.

Choisissait-il un cercle passant par trois des positions de P et essayait-il de placer sur ce cercle l'extrémité des lignes de visée de la planète relevées de la terre à diverses époques, Kepler, quoi qu'il fit, ne parvenait jamais à mettre d'accord les diverses observations avec le Iracé du cercle, et des erreurs de 8' persistaient dans le mouvement angulaire de Mai's.

Comme les observations de Tyclio étaient exactes à 1 ' près, l'hypothèse de l'excentrique était définitivement condamnée.

Après bien des tâtonnements, Kepler reconnut que l'hypothèse d'une orbite elliptique satisfaisait à l'ensemble des observations de Tycho.

Le soleil occupe le foyer de l'orbite elliptique de Mars : telle fut la première loi découverte par Kepler.

Mais ce n'était là qu'un premier pas dans la connaissance théorique du mouvement ; l'ancienne théorie de l'excentrique avait l'avantage de définir un argument géométrique proportionnel au temps; cette théorie une fois condamnée, il fallait à tout prix retrouver un argument géométrique proportionnel au temps. L'angle décrit par le rayon vecteur émanant du centre de l'ellipse pas plus que l'angle décrit par le rayon vecteur émanant du soleil, ne remplit ces conditions.

Kepler reconnut que les vitesses par jour en longitudes aux deux moments où Mars passe au périhélie et à Yaphélie {extrémités du grand axe de l'ellipse décrite) sont en raison inverse des carres des distances an soleil de Mars à ces mêmes époques.

Si r el r' sont ces distances cl il- et iL' ces vitesses en longitude, on a

r-iL™i"iL'

d'ailleufs les secteurs balayés en un jour par les rayons vecteurs r et r' ont sensiblement pour mesure ■^r'^[^V) et ^r"' {iL'), (aL) et(iL') désignant les mesures Irigonométriques des angles iL et it/ ; ces deux aires sont égales, d'après la remarque de Kepler.

Ayant ainsi deviné la fameuse loi des aires, et la supposant applicable à tout le cours du mouvement, Kepler dut, avant d'aller plus loin, résoudre ce problème de géométrie ; Un point M décrit une ellipse de manière que le rayort vecteur SM, qui joint le point M à l'un des foyers {le foyer actif) de l'ellipse, balaye une aire proportionnelle au temps ; déterminer en ' fonction du temps le rayon vecteur SM ; sa longueur et sa direction.

Voici la solution que Kepler donna de ce problème avant l'apparition du calcul inté-g rai -.

Soient P^ la position de Mars au périhélie, v l'angle PoSM ou anomalie vraie, le centre de l'ellipse ; soient enfin ( le temps écoulé depuis le moment du passage en P^ à celui du passage en M, qui est le moment actuel; OPo = fl, 0S„ = c = ae {e désigne X excentricité de l'ellipse). Évaluons d'abord l'aire du secteur elliptique P„SM au moyen d'une variable convenable ; cette aire peut, comme on sait, être regardée comme la projection d'un secteur bordé par

24 PRORl.tMB I>E KKl'I.KR.

un arc de cercle ; décrivons sur le grand axe A^P^ de l'ellipse comme diamètre une circonférence, et considérons un mobile M' se mouvant sur celte circonférence dans le même sens suivant lequel le point M décrit l'ellipse, ces deux points étant assujettis à avoir constamment une commune projection X sur A^Pp ; envisageons l'aire du triangle mixtiligne ayant P^S et SM' comme côtés et l'arc de cercle P„M' comme base, si l'on fait tourner ce triangle autour de P„S et d'un angle f dont le cosinus égale le rapport du petit au grand axe de l'ellipse ou v'i — e^, ce triangle se projettera suivant l'aire du secteur elliptique cherchée ; celle-ci sera donc égale au produit de l'aire du triangle mixtiligne P^SM' par vi —e^-

D'ailleurs, les angles étant exprimés avec l'unilé analytique, soit u = P„OM' ^= anomalie excentrique.

airePoSW^ aire secteur P^OM' — triniigle SOM' :^ -^ a^ u — ^ n- e sin u

Donc, aire P„SM = ^ «' vT^tt^ (m — e sin u)

D'ailleurs soit T la durée de la révolution de M sur l'orbite, l'aire de l'ellipse -na^ Vi — «'" étant décrite dans le temps T, on aura d'après le principe des aires qu'il s'agit, de vérifier,

2 «' ^'T^~ {" - e sin u) ^ 11^— ^.j,-^^Jî^ ( l'angle v s'exprime donc en fonction de t par l'équation

u — e sin n -- nt Inz^^j

qui porte le nom d'équation de Kepler.

LES FOrîDATtras. 25

Pour exprimer v et r en fonction de u, rappelons une propriéLé bien connue de l'ellipse; en désignanl par x la projection de OM sur le vecteur OS, on a

r — a — Px d'ailleurs x ^ a cos n

donc r = a (1 — ecosî() enfin l'équation polaire de l'ellipse

[ -[- e cos on trouve en égalant les deux valeurs de

fera connaître v

— e cos (( = -,

" ! + e cos ti d'où l'on tire cos v et par suite aussi tg '- v

Les équations

) ,■= f((l — Rcos u)

résument la théorie du mouvement elliptique. C'est au moyen de ces formules que Kepler calcula la position de Mars.

Et c'est alors que, les ayant trouvées conformes aux observations, il annonça à l'empereur Rodolphe que Mars était enfin prisonnier sur parole. La loi des aires est générale et régit le mouvement elliptique de chaque planète, du moins à l'approximation nouvelle.

ab TE101S1F.MR LOI Î)K JiF.l'I.r.Tl.

La loi des aires justifie la correclioii empirique, signalée tout à l'heure, qui peut être faite à la théorie de l'excentrique. Soit compté le temps t à partir d'une époque quelconque ; négligeant e, on a, comme on Ta "vu en nommant tC„ la longitude moyenne et L la longitude vraie,

L — ar„ -f «( V = iCo -|- ni — tr;

et en portant dans l'équation de l'ellipse ^, ^ " (i " ^')