L Ê eOS

puis, en négligeant les puissances e'^, e"..., etc.,

1 + e cos (X^ -]- ni ~ vi) la loi des aires donne alors a- (1 — ey [i + e cos (^„ -f >U — i.ij " ' liL = n \~Y^^'' a^ dl OU, en négligeant les termes en e^ dL = ndt [1 + 2c' cos (^„ -|- ru — i->)\ d'oii à cetle

approsimaLion

1, == ^.„ + „j + 2. si:i (^0 + >.l - -•>)

Celte formule, jointe à

r = « (] — (• cos u) OU approximativement )•=«[! — e COS. (^j, + Hi — -a)] est conforme à la correction empirique signalée plus haut.

Dans le dernier ouvrage de Kepler intitulé les Harmonies du Monde, et après des rêveries étranges on trouve une troisième loi qui fut le couronnement de l'œuvre de Kepler.

LES 1"0>D.VTIÎIJ[1S. 27

Les distances moyennes des diverses planètes au soleil sont proportionnellement les suivantes :

Mercure a — 0,30

Vénus

Terre

Miirs

Jupiter

Salunif!

Après bien des tâtonnements Kepler eut l'idée de compa-

rer ces

nombres

aux durées des révolutions T sidérales des

mêmes

planètes

: celles-ci

sont proportionnelles aux nom-

bres suivants :

Mercure

Vénus

Terre

Mars

Tzn 1,881

Jupiter

Saturne

Les T croissent plus vite que les a, Kepler vérifia que les a^ croissent .plus vite que les T, il eut alors l'idée de

former la puissance intermédiaire ou les a\ il trouva les valeurs proportionnelles suivantes :

.Ifeiciirc

Ysmis

Terre

Mars

Jupiter

Siliime

38 l'accélération.

On voiL l'accord du tableau des d' avec le tableau des T, ainsi fut -vérifiée la Iroisième loi de Kepler.

Les carrés des durées des révolutions des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.

La grande œuvre de Galilée réside moins dans ses découvertes astronomiques proprement dites que dans ses créations de géomètre et de mécanicien. Nous lui devons la notion de V accélération et le pressentiment du principe général de l'équilibre des systèmes : le principe des vitesses virtuelles.

Je ne rappellerai pour le moment que la notion de l'accélération.

Au point de vue atrictemeni analytique, la continuité d'un mouvement n'implique pas l'existence à chaque instant d'une vitesse, altenàn que la continuité d'une fonction n'entriùne pas nécessairement l'existence d'une fonction dérivée.

Considérons im mouvement décrit dans un certain système

de coordonnées et devant une certaine horloge; soit M la position actuelle à l'époque t du mobile et M' sa position à une époque intiniment voisine t -|- dt.

Supposons que le vecteur MM' tende vers une direction

i.iis roNiiATHuns. aW

limite MU et quo le rapport '--^ tende vers une limite tinie quand dt tend vers zéro.

La courbe trajectoire admettra une tangente en M, et si l'on porte sur celte tangente et dans le sens du mouvement un vecteur, qui à une échelle arbitraire représentera la limite de —^, le vecteur ainsi défini porte le nom de vitesse.

Considérons maintenant un mouvement dans lequel la vitesse du mobile soit à chaque instant définie. Par un point lié au système de coordonnées qui enregistre le mouvement de M menons une droite OP représentant en grandeur, direction et sens, la vitesse V du mobile M à l'époque t, ou définit ainsi une courbe D parcourue par le point représentatif P, supposons que le point F possède à chaque instant une vitesse, nous appellerons accélération du mobile M à l'époque t la vitesse j du point figuratif P associé à M au môme instant.

Soient P et P' deux positions infiniment voisines du point associé aux époques ( el l -\- dt où le mobile est en M et M.' la vitesse V est la somme géométrique de la vitesse V et d'une vitesse infiniment petite représentée par la corde PP'. Celle-ci, aux infiniment petits du second ordre près, peut être identifiée avec le vecteur jdl produit de l'accélération / par l'accroissement infiniment petit du temps dt, cela résulte imméiiatement de la définition de la vitesse du point P. Telle est la notion de l'accélération que nous devons à Galilée, qui a été complétée par Huyghens et qui devait conduire Newton des lois très approchées de Kepler à la loi exacte des mouvements des planètes.

Avant de retracer l'œuvre de Newton, observons déjà que la notion d'accélération est toute entière subordonnée

30 ACCÉLÉBATIOH KÉPLÉRIGHM;.

au système de coordonnées et à l'horloge qui enregistrent le mouvement. Celle remarque a d'importantes conséquences, sur lesquelles je reviendrai plus loin.

Quand le mouvement d'un mobile est connu, son accélération est par cela même connue; la recherche de l'accélération n'ajoute donc rien à la connaissance du mouvement, on aurait tort d'en conclure que cette recherche est stérile.

Il peut, en effet, arriver que le mouvement étudié ne soit connu qu' approximativement, l'accéléraUon elle aussi sera connue par approximation; mais si l'on, veut pousser plus loin l'approximation, il peut aussi arriver que la correction de l'accélération se laisse deviner et s'exprime en une loi simple, tandis que les équations définitives en termes finis du mouvement corrigé soient d'une nature beaucoup plus complexe et cachée.

Or, c'est précisément ce qui est arrivé en astronomie. Les lois du mouvement elliptique découvertes par Kepler ne sont qu'approchées; comment les corriger?

Newton, se proposant de déterminer l'accélération dans les mouvements Képlériens, aboutit à un résultat remarquablement simple; mais la simplicité et la beauté géométriques de ce premier résultat n'ajoutaient encore rien au problème physique approximativement résolu par Kepler.

Au contraire, lorsque Newton eut découvert le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, une généralisation immédiate de l'accélération des mouvements Képlériens le conduisit à la découverte de l'attraction réciproque, qui reste encore aujourd'hui le dernier mol du physicien dans le problème des mouvements intérieurs du système solaire.

LKS FONDA Tlîl!ÎIR. 31

Telles sont les découvertes mémorables qa'il nous reste à retracer.

Newton résolut d'abord la question suivante : Trouver l'accélération dans le mouvement Képlérien. La solution de Newton repose sur les théorèmes de Huyghens sur la force centrifuge dans les courbes quelconques ; on arrive plus rapidement au but de la manière suivante :

Soient S la position du soleil, foyer actif de l'ellipse Képlérienne, P la situation de la planète à l'époque t, p la distance du foyer S à la tangente en P à l'ellipse, v la vitesse de P; a l'inclinaison du rayon vecteur r sur le grand axe de l'orbite, a et e le demi-grand axe et l'excentricité de cette ellipse; l'aire décrite par le rayon vecteur r dans l'unité de temps a pour expressions simultanées les produits

1^ pv et

dt

elle a aussi pour expression l'aire r. a- v' i — «^ de l'ellipse divisée par la durée T de la révolution de la planète ; on aura donc

Soit q la distance du second foyer de l'ellipse à la tangente, on a, d'après une propriété connue de l'ellipse,

■pqr^lf ^ fi^(l — e'')

des lors, menons par le second foyer un vecteur égal et à v; puis, faisons tourner ce second vecteur

d'un quadrant dans le sens rétrograde. Ce. vecteur sera égal à

ce vecteur représentera donc, au facteur ■ ,., j-r~—q près, la distance du second foyer à son symétrique H par rapport à la tangente.

D'après la définition de l'accélération, la grandeur de celle-ci sera au même fadeur constant près la vitesse du point H, qui décrit d'ailleurs le cercle directeur de centre S;

cette dernière vitesse est donc2« jt ou, d'après la valeur indiquée plus liant pour -t^. -^^;^-L^^-^

la valeur de l'accélération sera donc

Ba grandeur est donc inversement PROI'OHTIOMNELLE AU CARRÉ DE LA DISTANCK DE LA PLANÈTE AU SOLEIL ;

quant à la direction de l'accélération, nous savons qu'elle coïncide avec celle de la vitesse du point figuratif des vilesses ; or, cette dernière vitesse, après une rotation rétrograde d'un quadrant autour d« second foyer, est devenue la vitesse circulaire du point H, perpendiculaire au rayon SH; une rotaliou directe d'un quadrant autour du point H ramènera la vitesse du point figuratif à son orientation convenable; on obtient alors la direction HS, pour direction de l'accélération cherchée de la planète P.

LES FOSl>:Vn;l]RS. 33

Donc :

Les daux premières lois de Kepler exprimenl que l'accélé)'ation de la planite est à chaque instant dirigée vei's le soleil et qu'elle est inversement proportionnelle au carré de la distance des deux astres; le coefficient de proporlionnalilé est, comme on vient de le voir

la troisième loi de Kepler montre que ce coefficient est le même pour toutes les planètes ; donc ;

L'accélération que le soleil produit sur ime planète, réduite à l'unité de distance, est constante d'u7îe planète à l'autre.

Celte remarquable inlerprélation des lois de Kepler ne leur ajoute rien, au point de vue physique ; on peut dire seulement que si on adopte la loi d'accélération indiquée par Newton pour un mobile M fictif soumis à l'influence du point S ET SI l'on admet de plus que la loi adoptée

SOIT INDÉPENDANTE DE LA POSITION ET DE LA VITESSE INI- TIALE DU MOBILE, — on constitue alors un problème /iciif nouveau.

Un calcul classique de mécanique rationnelle démontre que le mobile M déccira une section conique et que si la valeur de la vitesse initiale ne déjjasse pas une certaine limite définie par la distance initiale r^ des points M et S, celte seclion conique sera une ellipse. Il est remarquable que la grandeur seule de la vitesse initiale (et non sa direction) inieivieiine dans ce critérium.

— Voyons maintenant sous l'influence de quelles idées Nowlon a pu corriger les lois de Kepler.

Galilée, comme les Grecs d'ailleiirs, croyait à un espace absolu pénélrable à la matière; il croyait aussi à un mouvement naturel de la matière en cet espace, mais tandis que le mouvement naturel des Grecs était circulaire et uniforme, le mouvement naturel et spontané de la matière est pour Galilée le mouvement reciiligne et uniforme. Et si on adopte, au moins provisoirement, cette ;^ci/on d'un point dénué de dimensions et en lequel on aurait concentré une certaine quantité de matière ou de la masse, on peut, si l'on accepte le point de vue de Galilée, adopter les définitions suivantes.

Un point matériel sur lequel n'agit aucune force se meut d'un mouvement rectiligne et uniforme, mouvement qui comprend comme cas particulier le repos.

C'est là en réalité la définition de la force zéro. C'est une définition cinématique qui n'est valable que dans «n système de coordonnées spécial et avec une horloge particulière : l'espace absolu ou dans tout système de coordonnées qui a uu mouvement de translation rectiligne compris par rapport à celui-ci.

Mais, en réalité, le mot force qui intervient ici, se présente avec le souvenir d'une autre idée.

Lorsque dans des circonstances données nous nous opposons au mouvement d'une masse donnée, en la retenant avec le bras par exemple, nous avons la sensation d'un effort m,usculaire.

De plus, nous avons une idée à priori : c'est l'idée de l'indépendance des causes.

Voici un wagon qui descend, lentement d'abord, une pente douce, plusieurs hommes s'opposent à son mouvement et le retiennent, ils ont chacun la sensation d'un efi'orl isolé

r.F-s roNDATiaBS. 35

et ils diront insLinctiveiiuînl : ^loWe effort total fait équilibre à la tendance que le wagon a à descendre.

Oii sera dans celte expérience si simple la mesure de l'effort individuel, et la mesure de l'effort collectif? La notion de l'effort est-elle trop subjective, retenons le wagon au moyen d'un ressort tendu ou de plusieurs ressorts tendus; supposons par exemple que le ressort restant toujours dans le même état, le wagou demeure immobile ; il est naturel de regarder la pesanteur du wagon sur sa pente et r.actîon du ressort, comme étant séparément DÉFiNissàBLES, bien que les deux causes soient réunies par le fait de ce même équilibre.

Sans approfondir pour le moment la notion de force, disons seulement que la force étant conçue comme une cause vectorielle distincte du mouvement, elle peut être envisagée soit au point de vue statique, soit au point de vue dynamique.

Au point de vue statique, les forces appliquées en un même point se composent géométriquement comme les vecteurs : de là résulte la mesure statique des forces, par exemple leur comparaison avec des poids.

Au point de vue dynamique, on admet qu'une force donnée produit une accélération sur un point libre, accélération qui est en raison inverse de la masse du point et en raison directe de la force.

Nous reviendrons dans un autre chapitre suc les conditions multiples qu'implique une pareille hypothèse, nous voulons seulement ici montrer le rôle historique joué par cette hypothèse en astronomie.

Lorsque deux corps viennent à agir l'un sur l'autre par un contact, ils éprouvent là lûutuellcment des pressions qui sont égales et contraires.