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attendu la petitesse de jj- par rapport à l’unité.

Si le corps choqué était au repos avnnWle choc, on a V= 0, et la perle de travail due à la compression est 4E

attendu que lu vitesse du corps choquant n’est pas scnsiblenipnt altérée, et que l’ = V comme ci-dessus.

^ Si, au contraire, la masse du corps choqué est très-grande , par rapport à celle du corps choquant, on a pour la q>erte r de travail relative au premier cas, où les corps marchent dans le même sens

, attendu la petilessc du rapport vis-à-vis de l’imité

t>7. Du travail dû à la compression et au retour à la forme primitive dans le cas des corps élastiques. — Si les corps étaient parfaitement élastiques, il est clair que dans leur retour à la forme primitive les ressorts moléculaires développant les mêmes efforts en revenant aux mêmes degrés de tension et leurs [loiats d’application parcourant les mêmes chemins que dans la compression, le travail total développé par ces efforts, variables de la même manière dans les deux cas, serait le même, et que par conséquent le travail dû au

lOilized by C

débandenient des ressorts moléculaires serait le même que le travail consommé par leur compression. De sorte qu’en détliiitive la consommation de travail dû au dioc serait nulle.

08. Du travail perdu dans le choc des corps imparfaitement élastiques. — Mais si les corps ne sont qu’imparfaiteraenl élastiques, ce qui est le cas général, ou pour mieux dire, si les flexions et les déformations qu’ils éprouvent pendant le choc dépassent les limites de celles qui peuvent être produites sans que l’élasticité soit altérée, alors les parties choquées restent plus ou moins déformées, et une partie seulement du travail consommé pour produire celle déformation est restituée. Il y a donc perle de travail.

Or, dans les machines à chocs, il arrive presque toujours que soit dès l’origine , soit après quelque temps de service, l’élasticité des parties en contact est plus ou moins altérée, et que la perle de travail par le clioc est h peu près la même que celle qui aurait lieu dans le choc de corps mous. Cette dernière quantité est d’ailleurs la limite supérieure que cette perte puisse atteindre.

En résumé, l’on voit que dans les chocs il y a, dans la pratique, toujours une perte plus ou moins grande de travail, due aux déformations des partiesen contact, et qu’il convient de substituer, autant que possible, les organes à mouvement continu à ceux qui procèdent par chocs, par intermittences ou par changements brusques dans les vitesses.

09. Les masses en mouvement peuvent être regardées comme des réservoirs de travail. — Il suit de tout ce qui précède que les corps, en vertu de leur inertie, absorbent, emmagasinent du travail mécanique, quand les forces sont employées à leur communiquer de la vitesse et de la force vive, et transmettent, restituent au contraire du travail, quand leur mouvement se retarde. Sous ce rapport on peut les regarder comme des réservoirs de travail mécanique, qui se remplissent pendant l’accélération, et se vident pendant le retard, absolument à la manière des réservoirs dus moteurs hydrauliques.

100. Exemple. — Nous avons déjà vu au n® 94 que c’élail en vertu du travail ainsi emmagasiné l’inertie que les moutons à enfoncer les pilots produisaient leurs effets; U peut en être de môme, quel que soit le nombre des organes intermédiaires de la machine : nous trouverons un exemple frappant d’une semblable applieation dans le balancier employé dans un grand nombre d’industries. Si le volant de cette machine est mis en mouvement avec une certaine vitesse, en vertu de l’action d’une force motrice quelconque, puis abandonné à lui-même, il continuera à se mouvoir jusqu’à ce que les frottements et les autres résistances aient entièrement dépensé le travail qu’il avait aecumulé sous l’action du moteur. Aussitôt ce travail consommé, il s’aiTÔtera.

Mais si, pendant qu’elle est encore animée d’une certaine vitesse, témoignant de l’accumulation d’un certain travail, on oppose à la machine une résistance utile, on verra qu’elle est alors capable de développer une action mécanique utilisable , telle , par exemple , que celle de frapper une pièce de monnaie , d’embouter une lame de métal sous une forme donnée, de la percer, etc., etc.

101 . Cas du mouvement périodique . — Si le mouvement du corps est périodiquement varié, c’esl-à-<lirc si sa vitesse croit et décroît successivement de quantités égales, il est évident, d'après ce qui précède, que le travail consommé dans la période d’accélération est égal au travail résistant pendant le retard, et qu’alors le travail total développé par l’inertie est nul. Dès lors, si l’on s’occupe de ce qui se passe dans des périodes successives, oii la vitesse et la force vive redeviennent sans cesse les mêmes à la fin de chaque période, il n’est pas nécessaire de chercher à tenir compte de la force vive.

Nous verrons plus lard la grande importance de l’inertie dans le jeu des niaehincs.

C0NlH)SIT10i\ DES MOLVEMEXTS, DES VITESSES ' ET DES FORCES.

108 . Compotition et décomposition des mouvements simultanés. — Nous n'avoQS jusqu’ici considéré que des ])oiiils matériels animés d’un seul mouvement ou sollicités par une seule force, et avant d’étendre les théorèmes précédents il importe d’examiner ce qui se passe quand im corps ou un point matériel est animé simultanément de plusieurs mouvements ou sollicité par plusieurs forces.

L’observation nous montre en efTct que de semblables circonstances se produisent souvent. Ainsi, lorsqu'un voyageur se pmniène sur le pont d'un bateau à vapeur en marche, il est auimédumouvementdetransport général de tous les coiq>s que porte le bfttiment et en outre de celui qu'il s’imprime én long ou en large, vers l’avant ou vers l’arrière, selon sa volonté. S’il tient à la main un corps qu'il lâche en mai'chanl, ce corps, qui participait déjà aux deux mouvements du voyageur, en prend un troisième en tombant sur le pont. De pins, le bateau est emporté dans le mouvement de rotation diurne de la terre, celle-ci a un mouvement de transport autour du soleil , etc.

' Tous ces mouvements coexistent , ils ont lieu simultanément et l’observation montre qu’ils sont indépendants les uns des autres, quand les causes qui les produisent le sont aussi.

Par une expérience fort simple due à M. Tresca, sous-directeur du Conservatoire, on rend très-sensible cette indépendance des mouvements simultanés. En plaçant l’appareil chronométrique à cylindre, décrit au n° IM), sur un truiiicuu anime d'un mouvement de transport uniforme ou même

vnrié d’une manière quelconque, et en répétant pendant ce mouvement re\[>éricnce de la clmle des corps abandonnes l'action de la pesanteur, on recounait que la parabole tracée par le style est exactement la même que celle que l’on obtient quand l’appareil est immobile. Le mouvement vertical du corps pesant et le mouvement de rotation du cylindre ont été complètement indépendants du mouvement de transport de l’appareil.

De ce principe de l’indépendance dos mouvements simul- ' tanés découlent des règles qui permettent de déterminer quel est le mouvement réel, qui résulte de plusieurs inouveraonts simultanés connus, et que l’on nomme le mouvement résultant.

' 105. Cas où les mouvements simultanés sont dirigés dans le même sens. — La première de ces consécpiences et la plus évidente d'elle-mômc c’est que si les inouvenienls simultanés dont un point matériel est animé sont dirigés suivant la même ligne droite ou courbe, ils s’ajoulenl, s’ils sont de même sens, ou sc retranchent, s’ils sont de sens contraires. - Dans le cas d’un voyageur marchant sur le pont d’un bâtiment , il est évident en'cITet que s’il s’avance dans le sens de la marche du bateau, son mouvement, son déplacement par rapport à la rive, supposée parallèle aces moiivcuieuts, sera égal à la somme du déplacement du bateau et du dieinin qu’il a lui-même parcouru sur le pont. Si le bateau a avancé de 8'”, 00 pendant que le voyageur en a parcouru 3 vers l’avant, le chemin, le déplacement du voyageur par rapport aux rives sera de 8“,00-|-3"’^00=: U'”,00.

S’il marche en sens contraire du mouvement du bateau d’une quantité égale à S”* ,00, pendant que celui-ci avance de 8"' ,00, son déplacement, ou le chemin qu’il aura parcouru par rapport aux rives sera de .

Si le voyageur marchu vers l’arrière du bâtiment d'unu

DES VITESSES ET DES FORCES. H 7

qiinnlité égale A celle dont cclui>ci avance dans le même temps, son déplacement, son chemin parcouni, par rapport aux rives est mil et, bien qu’animé de deux mouvements simultanés, il est resté en repos par rapport aux rives.

Enfin si ce voyageur se déplace sur le pont, vers l’arrière, d une quantité égale à 10 m. par exemple, et plus grande que le chemin de 8 m. parcounidansle même temps parle bAtiment , son déplacement par rapport aux rives sera négo/i/,' ex pression qui indique qu’il a reculé au lieu d’avancer, par rapport aux rives.

11 en serait de même de plusieurs mouvements simultanés dirigés suivant la même ligne; en appelant:

E, E', E", etc., les chemins dirigés, par exemple, de la gauche vers la droite, et les regardant comme positifs',

El, E'i, E"i, etc-, les chemins dirigés de la droite vers la gauche, et les regardant comme négatifs ou sovstractifs, le chemin total résultant, de ces mouvements simultanés sera égal h

E -f E’-f E"— E.— E,'— E.", etc. ;

ce que l’on exprime en disant que- le chemin résultant est la somme algébrique de tous les chemins simultanés ou composants, en entendant ici par le mol somme le résultat de l’opération qui consiste à ajouter tous les chemins parcoums de gauche à droite et A’en retrancher tous les chemins parcourus de droite à gauche.

104. Composition de plusieurs vitesses simultanées dirigées selon la même Tout ce que nous venons de dire pour

la composition des chemins ou des espaces simultanément parcourus par un point matériel dans une même direction s’applique aux vilesses simultanées dont le point peut être anime, puisipie dans les mouvements uniformes les vitesses sont proportionnelles aux chemins parcourus dans le même temps cl que dans les mouvements variés les vitesses sont celles des mouvements uniformes que conserveraient les corps si ces mouvements cessaient de varier.

lOiS. Composition de deux mouvements dirigés d'une manière quelconque. — Considérons maintenant un point A, qni soit par exemple la pointe d'iin crayon appliquée contre une

fausse équerre MAN. Si l’équerre se meut uniformément d’une quantité AB, son côté AM se déplacera parallèlement à lui-mémc de la même quantité, en se mouvant aussi uoiformé- ^ ment , et avec lui la pointe du crayon qui y est appliquée. Mais si dans le même temps T, lè crayon se meut sur le côté AM, uniformément, d’une quantité AD, il est facile de voir qu’à la fin du temps T la pointe du crayon sera parvenue au point C, l’un des sommets du parallélogramme construit sur AB et AD comme côtés.

En effet, cette pointe constamment appuyée sur le côté AD s’étant déplacée avec lui parallèlement à sa position primitive d’une quantité égale à AB, elle devra se trouver sur la ligne BC menée parallèlement à AD, et comme clic s’est aussi déplacée dans le sens de AM d'une quantité AD, elle devra pareillement so trouver sur la ligne DC menée parallèlement à AB. La rencontre des deux lignes RC et DC détermine la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux chemins simultanés.

D’où il suit que quand un point matériel est animé de deux mouvements simultanés dans deux directions données, la position occupée par ce point, à la fin de ces deux mouvements, est ' l'extrémité de la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux chemins comme côtés.

La distance AC, à laquelle le point se trouve alors de sa position primitive A, est dite le chemin résultant et les deux chemins simultanés AB et AD s'appellent les chemins composants ou les chemins relatifs, parcourus dans le sens des li.iies AN et AM.

P(i.:r deux .'intres chemins quelconques, mais aussi si-

DES VITESSES ET DES FORCES, HO

roultanés, AB' et AD' parcourus par le point A il.ans nn autre temps T' le point A arriverait on une position A' déterminée par l’extrémité de la diagonale AC' du parallélogramme construit sur les chemins AB' et AD'.

Or, comme ces seconds chemins simultanés sont par hypothèse parcourus comme les premiers d’un mouvement uniforme on a