Condition du mouvement uniforme ou de fégui^ libre
Cas où toutes les forces sont contenues dans le même plan. — Si le point matériel que l’on considère n’est sollicité que par des forces situées dans le même plan , il restera dans ce plan, et il ne pourra d'ailleurs ù un instant quelconque obéir qu’à un mouvement de translation ou à un mouvement de rotation, ou à ces deux mouvements à la fois.
Tout mouvement de translation du corps pouvant, d’après ce que l’on a vu, être décomposé en deux autres, selon deux
directions quelconques prises dans ce plan , le inouTénent réel du point matériel sera uniforme si les deux mouvements relatifs ou composanis le sont. Donc la condition de runiformilé du mouvement de translation revient ii celle de l’uniformité du mouvement suivant deux directions données. Celte dernière sera satisfaite si les forces qui sollicitent le point matériel, ou leurs composantes dans le sens de chaque axe, qui agissent pour accélérer son mouvement, développent un travail égal îi celui des forces qui tendent à retarder ce mouvement; ce qui revient à dire que la somme des composantes qui agissent dans un sens doit être égale à la somme de celles gui agissent dans un sens contraire , ou que la somme totale doit être nulle, selon la convention établie précédemment.
Donc le mouvement de translation d'un point matériel sera uniforme lorsque les sommes respectives des composantes des forces qui le sollicitent selon deux directions quelconques prises dans ce plan seront séparément égales à £éro.
L’équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, la même condition sera celle de l’équilibre quant à la translation.
Pour le mouvement de rotation, il est évident que, si toutes les forces qui agissent dans le sens du mouvement et tendent à l’accélérer développent un travail égal à celui des forces qui ngisseut en sens contraire et tendent à retarder le mouvement, celui-ci restera uniforme et le travail résultant sera* nul, ce qui revient à dire que pour l'uniformité du mou‘ vement de rotation il faut et il suffit que la somme des quanti-
Vf'
tés de travail ou celle des moments des forces qui tendent à faire tourner dans un sens soit égale à la somme des quantités de travail ou des moments de celles qui tendent à faire tourner en sens contraire.
L'équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est mille, les mêmes conditions seront celles de l'équilibre d’un nombre quelconque de forces situées dans un plan.
DES VITESSES ET DES FORCES
124. Cat oit les forces agissent d'une manière quelcongue dans l’espace. — Le mouvcmcnl le plus général qu'un corps puisse prendre se compose d'un mouvement de translation el d’un mouvement de rotation autour d’un point quelconque; or, quant au mouvcmcnl de translation, il est encore évident qu’il sera uniforme si les trois mouvements parallèles h troix axes quelconques perpendiculaires entre eux , dans lesquels on peut toujours le concevoir décomposé, sont uniformes, ce qui conduit à la condition que les sommes des quantités de Iravai! développées dans chacune des directions des axes soient séparément nullcs.
Quant au mouvement de rotation , remarquons d’abord que dans le cas le plus général, le centre autour duquel le mouvcnieiit de rotation s’eficclue peut varier à chaque instant, ce qui lui fait alors donner le nom de centre instantané de rotation. Cela posé, il est évident que la rolalion autour d’un centre quelconque peut être décomposée en trois rotations , autour de trois axes parallèles aux précédents , cl passant par le-ccntrc instantané de rotation , pour le moment que l’on considère. Dès lors aussi le mouvement résultant de rotation sera uniforme, si les mouvements composants le sont. La rolalion autour de chacun de ces axes n’étant due qu’aux Composanics perpendiculaires à cet axe , runiformilé du mouvement aura lieu si les sommes des moments des composantes des forces respectivement parallèles à deux des axes pris par rapport au troisième sont séparément nullcs, ce qui conduit à trois relations entre les moments qu’il faut successivement prendre par rapport à chacun des axes.
f.cs conditions générales de l’iiniformité du mouvement d’un point matériel sollicité par des forces extérieures quel- . conques se réduisent donc aux suivantes : '
1" Les quantités de travail développées par ces forces dans le sens de trois axes rectangulaires quelconques , ou les sommes des composantes dans le sens de ces axes , doivent être nulles.
2“ Les sommes des moments des forces données par rapport à ces trois axes doivent être séparément miles.
L’équilibre n'élant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle , ces conditions sont aussi celles de l’équilibre des forces.
La discussion précédente montre que l’élude des mouvements produits par dc.s forces quelconques peut toujours être ramenée h celle du mouvement de translation dans le sens des forces ou de leurs composantes , et du mouvement de rotation autour d'un axe donné. Nous avons déjà examiné le premier de ces mouvements, il nous reste à nous occuper du second ; mais auparavant il convient d'étendre les théorèmes de la composition des forces au cas où elles sont parallèles.
12S. Forees parallèles. — L’on a vu au n* 108 que la projection de la résultante d’im nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel, sur une droite quelconque est égale à la somme algébrique des projections de ces forces sur cette même droite. IJ» démonstration de cette proposition étant complètement indépendante des directions des forces cl des angles qu’elles forment entre elles et avec leur résultante il en résulte qu’elle est encore vraie quand on
IJ fait la projection sur la
''' résultante elle-même,
d’où il suit : que la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un mime point, est égale à la somme algébrique des prqjeclions de ces forces sur sa direction propre. C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de voir dircclcmciit. F.,a figure 37 montre en effet que l’on a
AC ou R = CD'-t-D'A = AB’-fAD'
.on R = P'-fQ'
DES VITESSES ET DES FORCES. 139
en nommant P' la projection AB' de AB ou P' sur AC, et Q' la projection AD' de AB ou Q sur AC.
Les projections P* et Q' des forces P et Q sur la direction de la résultante sont d’ailleurs évidemment les composantes de CCS forces, dans le sens de celte résultante.
Dans le cas où l’angle formé par les directions des forces- P et Q serait obtus, il est facile de voir que la proposition du n” iOB subsiste et que celle que - '
nous venons d’établir se modifie en ce sens que la résultante est •
■''8 **• alors égale h la différence des
projections de ses composantes. On voit tout de suite en effet sur la figure que
AC ou R = AB' — CB’ = AB' — AD' = P' — Q'. . .
1U6. Conséquences relatives à la composition des forces pa~ rallèles. — Les deux propositions précédentes sont tout à . fait indépendantes de la grandeur des angles BAC et DAC, ou de la direction des (brccs P et Q ; elles ne cessent pas d’étre vraies à mesure que le point A de concours des forces s’éloigne de plus en plus et quand, ces forces devenant parallèles, il SC trouve ù l’infini. On a alors pour deux forces parallèles, dans le premier cas où elles agissent dans le même sens,
et pour le second cas où elles agissent en sens contraires,
127. Point d’application de la résultante des forces parallèles. — Le théorème des moments (n* 110) démontré pour un point quelconque autour duquel les forces tendraient ù produire la rotation, étant pareillement indépendant de la . direction des forces, il est vrai aussi pom- le cas où elles sont parallèles , d’où il suit , d’abord , que le moment de la résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles situées.
dans un mftmc plan par rapport à un point quelconque pris dans ce plan est égal à la somme algébrique des moments de ces forces, ce qui fournil un moyen de déterminer ' la position de la résultante.
Soient par exemple deux forces parallèles P et Q agissant dans le même sens. La proposition précédente devient
Rr = Pp ± Qq
et l’on a d’ailleurs R = P + Q.
Si l’on prend pour centre des moments un point de la résultante clle-mémc on a évidemment r=o et Rr=o, et par suite Pp ± Qy = O , ce qui ne peut être qu’aulanl que l’on a Pp = Qq et que les forces P cl (J dirigées dans le même sens tendent à produire la rotation par rapport au point choisi pour centre des moments dans des sens contraires. Donc , ce point et la résultante elle-même sont compris entre les directions des forces Pet Q, et toutes les droites perpendiculaires à la résultante cl aux deux forces, sont partagées en parties réciproquement proportionnelles à ces forces; ce
qui est exprimé par la relation ^ = *,.11 en est de même
de toute sécante menée en Ire les directions des forces P et Q ; quels que soient les points d’application A cl B de ces forces l’on voit que la résultante de ces forces coupe aussi celte ligne en parties réciproquement proportionnelles à leurs intensités. On a d’ailleurs, d’après la en nommant d la distance des directions de P et
CO n
Fig. M.
figure , dcQ
d’où q=d — petPp = Q(d — p)',
par suite (P + Q) P = Qd
d’où
DES VITESSES ET DES FORCES. 14i
Dans le cas où les forces P et Q sont dirigées en sens contraires,
et l’on a la relation •
Rr=P/j— û(7 = o.
Or, pour que, dans ce cas, les forces P et Q qui sont de sens contraires, puissent produire ]p !*■ Sk la rotation en sens opposés par ] ï rapport à un point de la résul- T tanle, il faut que ce point et la ''' résullanle elle-mètne soient en de-
hors des deux directions des forces.
** Si l’on appelle d la distance de ces
deux directions l’on a par les relations ci-dessus d=q — p d’où g' = p-f d et -
P^=Qp-f ûd ou (P— Q)p = üd
d’où
Qd
ce qui donne la distance de la résultante à la direction de la force P et par suite sa position.
Si les points d’application des forces P et Q sont en A et B, la résultante coupe la droite AB prolongée en un point C tel que ses distances p et q aux directions des forces PetQ sont réciproquement proportionnelles à ces forces.
IfiB. Réciproquement toute force donnée peut être décomposée en deux autres forces parallèles agissant en des points donnés. — Soit en effet une force R agissant en un point donné C, d’une droite supposée rigide et inflexible, il sera toujours facile de trouver les valeurs de deux autres forces P et Q agissant à des points donnés A et B, dont les dislan-, ces P et Q à la direction CR de la force R, produisent le même effet que cette force. Il suffira de les déterminer de B^anière que l’on ait en même temps
Ui COMPOSITION DES MOUVEMENTS;
P + Q = R si elles doivent agir l’une à droite et l’aulrc ù gauclie de R ,
P — U = R si les points A cl B sont tous deux du même côté de R , et dans les deux cas
Pi’ = Qî d’où Q = ^ P.
, Ces deux relations douncront
' p(l-f^') = R d'où P = ^r = £r,
\ qJ p + q d ’
d étant la distance des deux directions données ;
ou
d’où P ;
Ce qui indique que la force P agit en sens contraire de R.
Les deux forces P et Q ainsi déterminées ont une résultante unique précisément égale à R et peuvent par conséquent remplacer cette force puisqu’elles développent lo môme travail.
Cette décomposition d’une force en deux autres parallèles agissant en des points donnés trouve de fréquentes applications dans la pratique.
Quand par exemple l’on veut déterminer la pression qu’une poutre, qu’un arbre de roue hydraulique, d’un poids connu ou chargé d’un poids donné, exerce sur scs points d’appui on est conduit à une décomposition de ce genre*.
Soit ainsi une poutre chargée en un point C de sa longueur 2c, d’un poids 2P, et reposant sim deux points d’appui A et B situés aux distances V et T du point C. En appelant
P' et P* les deux pressions ou composantes cherchées, observant que
p',-j-P"=5P cl en prenant les moments de la résultante
Fig. 41.
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DES VITESSES ET DES FORCES
et des composantes alternativement par rapport aux points d'appui A et B, on a dans le premier cas,
■ Fx2c = 2Px/' d’où P"=^,
dans le second, .
P'X2r = 2Pxr d’où F = — .
S’il s’agissait d’une roue hydraulique ces deux composantes P' et F seraient les pressions exercées par ses tourillons sur leurs coussinets en vertu de la force 2P.
En décomposant ainsi toutes les forces qui agissent sur l’axe y compris le poids propre de la roue et de son arbre, on aurait sur chaque tourillon un groupe de forces concourantes dont la résultante partielle donnerait la pression totale exercée sur chaque coussinet.
120. Extension des théorèmes frécédents à un nombre quelconque de forces parallèles comprises ou non comprises dans un même plan. — Les théorèmes précédents peuvent s’étendre à un nombre quelconque de forces parallèles en composant de proche en proche la résultante des deux premières avec une troisième, et ainsi de suite ; d’où l’on conclut :
1“ Que la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles est égale à la somme dé celles qui agissent dans un sens moins la somme de celles qui agissent en sens contraire;
2° Que, si les forces sont dans un mémeplan, lemomentdela résultante parjrapport à un point qvelconquepris dans le plan qui contient toutes les forces, est égal à la somme ou à la dif- - férence des momen ts des composantes, 3° De même, si des points d'application A, B et 0, des forces P, Q, et de leur résultante R, on abaisse
Fig. 4J.
des perpendiculaires AA', BB', 00',
sur \m plan quelconque, et qu'on nomme Oi le point de
rencontre de la ligne AB tivec ce plan, point qui se trouvera nécessairement sur rintcrscclioii du plan ABB'A' qui contient les perpendiculaires avec le plan donné , il est facile de voir que de la relation déjà déuiontiée
R.OO,=P.AOx-|-Q.BO„ . '
on déduira :
