BO CÈNTBÉ BR GRAVITÉ

corps est le plus haut possible, l’on toH que par l’effet (lu plus petit déplacement du corps il reposera sur un autre point a' de sa surface plus rapproché de son centre ' de gravité O et que son centre de gravité ayant décrit un assez grand arc de cercle sc sera abaissé et se sera en outre déplacé de façon que la verticale menée par ce centre ne passera plus par le point de contact, il en résulte que la pesanteur tend à faire tourner le corps de plus en plus cl l’écarter de sa position primitive (l’équilibre. On dit dans ce cas que l’équilibre est instable parce que dés qu’il est rompu par une cause quelconque le corps tend de plus en plus ù tomber. Si au contraire le corps <juc nous considérons, repose sur le plan par le point de sa surface le plus rapproché de son centre de gravité, de manière que son petit axe soit vertical, lorsqu’on l’écarlcra un peu de celte position, son centre de gravité s’élèvera cl la pesanteur agissant pour le faire reJescendre le corps tendra à re-, venir à su position primitive d'équilibre. On dit dans ce cas que l’équilibre est stable.

En résumé, un corps est en position d’équilibre stable quand après avoir été un peu écarté de cette posiliou il tend de lui-mémo h y revenir, cl il est dans une position d'équilibre instable quand au contraire après en avoir été un peu éloigné il tend à s’en écarter du plus on plus.

L’équilibre stable correspond en général aux cas où le centre de gravité est le plus bas possible par rapport à la forme et à la disposition du corps. L’équilibre est instable au contraire, quand le centre de gravité peut occuper une position plus basse.

ISl. Application des considérations générales sur la composition et la décomposition des forces. — Les notions que nous venons d’exposer s’appliquent parbeulièrement dans les constructions, lorsque l’on a besoin de connaître les efforts , les pressions, les tensions, les poussées que certaines parties des systèmes ou appareils que l’on considère’

ET DE L’ÉQUIUBKE DBS TENSIONS. >

exercent les unes sur les autres , soit pour calculer les olTets mécaniques de ces appareils, soit pour en déterminer les dimensions, de façon qu’ils soient eu état d'y résister et que la stabililé du système ou de la construdion soit assurée. Nous allons indiquer quelques exemples choisis dans les appUcalioDs les plus simples. •

llî2. De féquUibre des cordes. — Lorsqu'une corde ou une’ lige AB est sollicitée à scs deux extrémités A cl B par des forces P, U--, et P', Q'..., pour qu’elle soit en équilibre .. sous l’action de ces forces exté- \ . y/ ricurcs, il faut évidemment que les

2( composantes de ces forces perpen-

' diculaircs à la direction AB aient '' • ù* une résultante nulle ou se fassent

Fig. »a. équilibre. Quantaux composantes di-

rigées dans le sens de la corde il faudra aussi que la somme de celles qui agissent dans un sens, de A vers B par exemple, soit égale ii la somme de celles qui agissent en sens contraire.

Ainsi 1a condition générale de l’équilibre d’nne corde oq d’une lige sollicitée par des forces quelconques, c'est que toutes ces forces se réduisent à deuxforces égales et contraires agissant dans sa direction propre. Dans le cas d’une corde qui n’offre pas de rigidité, de résistance à la compression, il faut de plus que ces deux forces agissent pour l’étendre, pour l'allonger et soient des forces de tension. Dans celui , où il s’agit d'une tige ou d’une barre solide, cette dernière,, condition n’est pas nécessaire et les.efforts peuvent produire l’extension ou lu compression , mais sous cette réserve ce* pendant que les réactions moléculaires soient dans ce dernier cas assez énergiques pour que le corps ne se déforme pas par refoulement ou par flexion.

'Dans tous les cas les deux forces égales et opposées qui' 'sollicitent la tige donnent la mesure de la tension qu’elle éprouve ou de l’effort de coffjpr«*.?/on auquel elle doit résister. Les règles dédnites de l’expérience et de la théorie do la ré-

1C8 • Dü CSIfTBE fiE GRAVITÉ • .

sistance des matériaux montrent quelles proportions 11 oan" vient de donner à ces cordes ou tiges pour qn'ciles résistent convenablement à ces efforts.

1145. Équilibre entre tes efforts transmis par des cordes ou des tiges qui concourent en un même point. — 11 est évident que dans ce cas ü faut et il suffit pour l'équilibre que l'uii quelconque des efforts développés soit égal et directement opposé à la résultante de tous les autres. Dans le cas où il y a un support il faut que la résultante de toutes les forces soit égale et contraire ù la résistance que ce support oppose.

151. Poulie mobile. — Ainsi quand un réverbère est suspendu par une chape C à poulie mobile à une corde attachée en deux points fixes A et B, il arrive è une position d’équilibre et les relations entre le poids P du réverbère, et les tensions T et T’ et les angles qu’elles forment avec la verticale sont déterminées .par les conditions précédentes.

Il est elair d'abord que si l’on décompose chacune de deux tensions T et T' en deux composantes,

^ ■ 'p l’une verticale et l'autre horizon-

Tig. il. laie, la somme des composantes*

verticales devra être égale an poids P et les composantes horizontales seront égales et de sens opposés.

De plus l’équilibre ayant Heu , abstraction faite du frottement, il faut que les tensions T et T soient égales. Ce qui montre aussi que leurs directions font des angles égaux de part et d’autre de la verticale.

155. Cas d’un pilier. — Si les tensions T et T' sont celles d’une chaîne de pont suspendu, qui appuient nn rouleau C sur lequel elles agissent sur un support AB, il faut que leur résultante P agisse dans la direclion de ce support et le

ET OE L'ÉOMLIMUE DES TEEMONS. tfl»

pmse sur «a base ; car slelle passait au dehors , selon une liffoe U>' par exemple, elle tendrait à le foire tourner autour. de son arête inférieure B et à le renverser. Quoique d’une autre part le poids propre Q du pilier s’oppose à celte rotation, il n’en est pas moins prudent et même nécessaire de satisfaire, soit par la direction des tensions, soit par la construction du support , à la condition que la résultante de ces tensions passe dans l’intérieur de la base RB' du pilier et aussi près que possible de la verticale de son centre de gravité.

1B6. Du polygone funiculaire. — On nomme ainsi un polygone formé par des cordes, des chaînes ou des tiges dont les sommets sont sollicités par des forces quelconques. L’équilibre d’un pareil système est soumis à des règles faciles à démontrer.

Supposons d’abord que le polygone n’ait pas tous ses côlés^. dans un même plan et soit représenté par le contour

Fig. 54.

ABCDEF. Soient P, Q, R, S, T.... les forces qui sollicitent chacun des sommets A, B, G, D, E;

T, T,, T„ Tj, T».... les tensions respectivement éprouvées par les cêtés AB, BC, CD, DE, EF.

Il est évident que si le polygone entier est en équilibre , il devra en être de même de tous scs sommets séparément ,

•* Bü CENTBE BB CRAVTTB

cl dès lors en oppliquant le raisonneinent da n* (tItS) pM>t cèdent, nous voyons 1° que deux côtés quelconques qui so réunissent à un même sommet et la direction de la force qui sollicite ce sommet doivent èire dans un même plan ; 2* que la tension T, doit être égale et contraire à la résultante de la force P et de la tension T ; que de même celle tension Ti doit être égale et contraire à lu résultuute de la force Q et de la tension Ti, et par conséquent qu’en remplaçant au sommet C la tension T, par ses deux composantes P et T, les forces P et 0 et les tensions T- et Ti , supposées transportées au point C parallèlement à elles- mêmes, devront s’y faire équilibre. On verrait de même que les forces P, Q, R et les tensions T et T,, supposées transportées parallèlement au sommet D, devraient s’y faire équilibre. ' ff

, Kn continuant ainsi , l’on arrivera à reconnaître que, potir l'équilibre du polygone funiculaire , il faut et il suffit que

toutes les forces extérieures et les tensions des deux côtés

c.xtrêmes étant supposées transportées parallèlement à ellesmêmes en un sommet quelconque , elles s’y fassent équilibre. , >

Ce qui précède est indépendant de la direction des forces et de la nature des côtés et s’applique au cas où ces côtés sont soumis à des eflorts de compression au lieu de l’être ù des tensions, sous la seule réserve que ces côtés devront être assez rigides pour résister à ces compressions, sans se déformer.

1157. Cas où les forces qui sollicitent le polygone funiculaire sont des poids. — Dans ce cas les forces P, Q, R, S .... sont toutes verticales et parallèles, et il est d’abord facile de voir que le polygone est nécessairement plan. Car la direction de chaque force et celles des deux côtés qui se réunissent au sommet qu’elle sollicite sont dans nn même plan , qui est vertical ; et comme par un même côté l’on ne peut mener qu’un plan vertical , il s’ensuit que les deux plafis verticaux

Digilized by Googk

ET DE L'fiQOILIBIIE AEi TBNIIONS.

qtü contiennent un même côté dn polygone se confondent, et ahist des autres.

De plus, toutes les forces extérieures P, Q, Ri 8 .... et les tensions T et T. des deux côtés extérieurs devant se faire équilibre , il (hut que ces tensions fassent équilibre à la résultante des forces parallèles.

' Si le polygone n'est sollicité que par son propre poids , comme dans le cas d'une chaîne articulée, la résultante de toutes les forces extérieures est le poids du polygone et passe par son centre de gravité , et les directions des deux tensions T et T, doivent, pour l’équilibre, se couper en un même point de celte résultante ou de la verticale du centre de gravité.

1Î58. Détermination des tensions par construction graphique. — D'après ce que l'on a vu , si , par le côté AB prolongé , l'on porte ù une certaine échelle une longueur égale ô la tension T, et qu'on construise le parallélogramme BaW, le côté Ba représentera, à In même échelle, la tension T, du côté BC, et le côté Bd la force extérieiu'c P. De plus, si l’on mène par le point B, par exemple , une horizontale indéfinie sur laquelle on porte les longueurs BC', CD', D E', E'F', F'G' proportionnelles aux forces P, Q, R, S, U, et qu’au même point on élève BO perpendiculaire à ÂB et de longueur pro-

portionnelle Ma tension T ou à B6, il est clair que le triangle BOC', ayant deux côtés BO et BC' respectivement perpendiculaires aux côtés Bô et Bd du triangle Béd et deux

Digili?ed by Googic

DÛ CENTRE DE GRAVITE

côtés .BO et BC' proportionnels à oes mêmes côtés Bô et Bd, sera semblable au triangle B6d. Donc le troisième côté OC' du premier sera proportionnel au troisième côté M ou Ba ou à la tension Ti , et comme il sera en outre perpendiculaire au côté BC du polygone , le Iriangle suivant OC'D' sera dans les mêmes conditions, par rapport au côté CD ^ è la force Q et à la tension Ti, qui sera proportionnelle an côté OD', et ainsi de suite.

Donc- si les poids qui sollicitent les düTérents sommets d’un polygone funiculaire se font équilibre et si l’on porte sur une ligne droite horizontale des longueurs respectivement proportionnelles à ces pmds , puis que des points de cette ligne correspondant à chaque sommet on mène des droites perpendiculaires aux directions des côtés ^du polygone, toutes ces droites se couperont en nn môme p<^tei leurs longueurs seront proportionnelles aux tenskmt dai côtés du polygone qui seront ainsi déterminées. '■

IBO. Des ponts suspendus. — Les ponts suspendus nous offrent un exemple de l’application des notions précédentes à nn polygone aux sommets duquel sont fixées des tiges nommées suspensoires , qui soutiennent le tablier du pont sur lequel on suppose uniformément répartie une charge d’épreuve qui est fixée par les règlements d’administration ô 200 kilogrammes par mètre carré.

Le polygone est formé par des chaînes en fer à longs maillons articulés, faits en fer rond ou mieux en fer méplat laminé , ou ]>ar des faisceaux de fils de fer étendus aussi parallèlement que possible et reliés avec des fils de fer réunis. Des menottes reçoivent les tiges de suspension , qui sont ellcs inêmes faites avec des barres de fer ou des faisceaux de fils de fer.

Il imporle de déterminer la forme du polygone ou la position de chacun de ses sommets et la tension de chacun de ses côtés. Supposons d'abord qu’il s’agisse du cas le plus or4linaire, celui oiî les deux piliers qui supportent la chaîne