V = MV

Il suit évidemment de là que, pour qu'un corps ne reçoive qu'un mouvement de transport parallèle, il faut et il suffit que la résultante des forces appliquées passe par son centre de gravité: car, si elle passait ailleurs, le corps, sollicité d’un côté par cette force, et de l’autre , en sens contraire , par la résultante des forces d’inertie , qui passe par le centre de gravité, tendrait à prendre nécessairement un mouvement de rotation en même temps qu’un mouvement de translation.

Enfin il est encore évident que la force vive totale communiquée au corps dans le mouvement parallèle est égale à

et égale au double de la quantité de travail développée pour l<* produire.

108. Travail de la pesanteur dans les systèmes articulés ou composés. — Le travail de toutes les composantes étant égal à celui de la résultante, il s’ensuit que dans les mouvemonis des corps ou des systèmes articulés pesants on pourra substituer le travail total de la résultante ou du poids total au travail de tous les poids partiels, et comme le travail de la résultante se mesure par le produit du poids total et du chemin parcouru par son point d’application, il s’ensuit que dans les machines ou systèmes oh il y a des pièces qui , sous l'action de la pesanteur, montent ou descendent, te travail total développé par la pesanteur sera mesuré par le produit du poids total, et de la hauteur dont le centre de gravité général se sera élevé ou abaissé.

Donc aussi la condition pour que les poids qui descendent fassent sans cesse équilibre aux poids qui monlent, ou pour que le travail développé par les uns soit égal au travail dé-

182 COMPOSITION GËNP.RACE ET ËOUH IBRE DES FORCES.

veloppé par les autres, c’est que le centre de ijravilé général reste toujours à la même liauleur. Telle est la condilion d’équibre des ponts-levis, des machines à balancier, etc.

]j6 principe exposé au n“ 5t sur la mesure du Iravail que la pcsaiilcur développe sur un cori)s qni pai coui'l une courbe quelconque, en montant ou en descendant, s’applique donc évidemment aussi ü un système quelconque de points matériels pesants , puisque dans ce cas le Iravail développé par la pesanteur sur tous ses points est égal à celui qui correspond à l'élévation du centre de gravité, qui n’est lui -même qu’un point matériel pesant.

100. Un système de forces quelconques agissant sur un corps solide peut toujours se réduire à deux forces équivalentes, appliquées à deux de ses points et dont l'un serait choisi à volonté. — 11 est d’abord facile de faire voir que les forces proposées peuvent être réduites è trois autres appliquées en trois |K>ints quelconques de l’intérieur du corps. Soient en effet F l’une quelconque de ces forces et 0 son point d'application ; on peut la décomposer en trois autres F„, Ft, F„ selon les directions AO, BO, CO et supposer ces composantes transit portées aux points d’application

' / j A, B et C. Ces trois composantes

développeront le même travail que leur résuttanle. En opérant de /ï I même sur loules les autres forces

jib qui agissent sur le corps, on aura

ainsi aux points A, B et C trois groupes de forces concourantes qui auront chacun une résultante unique, et le travail de ces trois résulLmtes R„ R*, R„ sera égal à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au corps.

De plus, le système des trois forces R,, R», R, peut êlre réduit à deux forces équivalentes aux proposées, et dont l’une serait appliquée au point A choisi arbilrairement. En effet, par ce point A et par les direclions des forces R» et

Fig. «I.

R, concevons doux plans cl supposons d’abord que ces plans ne se confondent pas et qu’ils aient pour intersection la

droite AD. Prenons sur cette droite un point Â', menons ÂB et décomposons la force R» en deux autres, Tune di- . rigée suivant BA' que nous transporterons en A', l’autre dirigée suivant BA et que nous transporterons en A.

Opérons de même sur la force R, et décomposons-la en deux autres, l’une dirigée suivant CA' et que nous transporterons en A', l'autre dirigée suivant CA et que nous transporterons en A.

Les trois forces R„ R», et R. pourront ainsi être représentées par deux groupes de forces agissant les unes en A' et ajant une résultante unique R', les autres en A, le point clioisi arbitrairement, et ayant aussi une résultante unique R.

Donc, en définitive, le système de toutes les forces qui agissent sur le corps sera remplacé par deux forces équivalentes, dont l’une passe par un point pris arbitrairement dans l’intérieur du corps.

Il est d’ailleurs évident, d’après ce que l’on sait déjà , que le travail de ces deux forces sera égal au ti’avail total de toutes les forces appliquées au corps.

1Ü7. Condition de Vuniformité du mouvement ou de l’équilibre. — Le mouvement du corps ne sera pas troublé , modifié par l’action de ces deux forces ou de celles qu’elles remplacent, si la quantité de travail développé par l’une est égale et contraire à celle qui est développée par l’autre ; ce qui exige que ces deux forces soient égales cl directement opposées l’une à l’autre pour tous les déplacements possibles du corps.

Telle est aussi la condition de l’équilibre , qui n’esl qu’un cas particulier du mouvement uniforme.

Réciproquement , lor$que four tous les déplaeemenls possibles d’un corps la somme des travaux des forces qui les sollicitent est nulle, ces forces ne modifient pas le mouvement du corps ou sont en équilibre.

En effet si , parmi tous les déplacements possibles , nous concevons un déplacement élémentaire du corps pour lequel le point d’sqiplication A de la Torcc R reste fixe, on pourra regarder ce point comme un centre de rotation , et le point d'application A' de la force R' décrira autour de A cl du rayon AA' un arc de cercle , un chemin élémentaire A'a' perpendiculaire à AA'. Mais puisque

le travail de la force R est nul

- *»\ par hypothèse, son point d'ap- \ pUcation ne se déplaçant pas, , * pour que la somme des travaux

élémentaires de R et de R' soit nulle, il faut aussi que le travail de R' soit nul; ce qui exige que le chemin A'a' soit (ierpendiculaire à la direction de la force R' on que celle-ci soit dirigée suivant la droite AA'. On ferait voir de même que la force R doit être dirigée suivant la même ligne.

Dès lors pour que la somme des travaux élémentaires des deux forces R et R' dirigées en sens contraire soit nulle , comme on le suppose , il faut que ces forces soient égales et opposées , auquel cas elles ne changeront nullement l'état de mouvement du corps et se feront équilibre.

Donc le mouvement restera uniforme ou le corps en équilibre.

Il résulte de ce qui précède que trois forces qui ne sont pas dasts un même plan ne peuvent se faire équilibre; car, dans ce cas, la résultante de deux quelconques d’entre elles ne peut être dirigée dans le même sens que la troisième.

DU ÜIOUVEMEXT DE ROTATION

108. Travail et équilibre des forces dans le mouvement de rotation autour d'un axe fixe. — L’on a vu n“ 188 que quand un point matériel est soumis fk l’action de plusieurs forces comprises dans un même plan et qui tendent à le faire tourner autour d’un axe perpendiculaire ü ce plan , le travail de la résultante de ces forces est égal à la souune des travaux des composantes.

On arrive h un résultat semblable dans le cas où les forces ont une direction quelconque par rapport à l’axo do rotation, attendu qu’alors si l’on décompose chacune des forces en deux autres, l’une dirigée dans le sens de l’axe et l’autre comprise dans le plan perpendiculaire à l’axe et passant par le point matériel, il est évident que la composante dirigée dans le sens de cet axe supposé fixe ne pourra produire qu’un mouvement de translation détruit par les appuis d& cet axe et que par conséquent le travail de cette force sera nul. Le seul travail développé sera donc celui de la composante contenue dans le plan perpendiculaire ù l'axe. Il en serait de même non-seulement de toutes les forces appliquées à l’un des points matériels du corps, mais encore de celles qui agissent sur les autres parties. L'on n’aura donc à considérer que des forces comprises dans des plans perpendiculaires à Taxe, et, comme le corps est supposé inflexible et rigide, il est, quant à la rotation, tout ù fuit permis de supposer toutes les foires comprises dans un seid et même plan perpendiculaire à cet axe.

Si l’on nomme

a l’are élémentaire décrit par un point du corps situé ù l’unité de distance de l’axe O, dans l’élément du temps.

mi MOUVEMENT OE ROTATION.

r la distance d'un point quelconque m h ce m<>me axe,

L’arc décrit dans ce même temps par le point m sera ra.

Si la force F qui agit sur ce point n’esl pas perpendiculaire au rayon O»», l’on pourra la décomposer en deux autres, l'une dirigée dans le sens de ce rayon et qui sera détruite par la résistance du solide parce qu’il n'y a qu’un mouvement de rotation autour de l’axe, et l’autre F', perpendiculaire an rayon , qui produira le seul travail dù k la force F lequel aura pour expression

Fra.

Il en sera de même pour toutes les autres forces Fi, Fj agissant à des distances n, r, de l’axe, dans des plans perpendiculaires à cet axe. Leur travail respectif sera dù à leurs composantes F',, F'i perpendiculaires aux rayons.

Il en résulte que le travail total de toutes les forces qui agissent sur le corps correspondant à un déplacement angulaire a mesuré à l’unité de distance aura pour expression

a jPr -j- F',ri -f F',r, -f- etc. j.

Ce qui s’exprime en disant que ce travail est égal à la somme ‘des moments des forces extérieures multipliée par l’arc élémentaire qui mesure le déplacement des points situés à l’unité de distance. 11 est évident en effet que le produit F'r est égal au moment Fop de la force F, c’est ce qu’il est facile de vérifier sur la figure, et l’on a

inF ou F : mF' ou F' : : om ou r : op

d’où F X o/> = F'r.

Le travail élémentaire de toutes les forces extérieures ne peut donc être nul, pour un déplacement angulaire quelconque, qu’autant que la somme des moments des forces par rapport à l’axe de rotation sera nulle, ce qui

Fig. S3.

DU MOUVEMENT DE ROTATION. 187

oxige que le moment de leur résultante le soit aussi ou qu’elle passe par l'axe de rotation.

Ce que nous venons de dire pour un axe considéré isolément s’applique à tout autre axe de rotation, et par conséquent, pour que des forces appliquées à un corps invariable, se fassent mutuellement équilibre ou ne produisent aucun mouvement de rotation, il faut que la condition ci-dessus soit satisfaite pour un axe de rotation quelconque.

169. Conditions générales de l'uniformité du mouvement ou de C équilibre cT un corps solide, libre dans Pespaee, soumis à des forces quelconques. — Il est évident qu’un corps solide entièrement libre ne peut recevoir et prendre que l’un des trois mouvements suivants: • ' '

Un mouvement de translation sans rotation, un mouvement de rotation sans translation, un mouvement simultané de translation et de rotation.

Tout mouvement de translation peut être décomposé en trois autres mouvements semblables par rapport à (rois axes rectangijlaires quelconques menés dans l’espace et il est évident (iiie si chacun de ces mouvements composants est séparément nul, le mouvement résultant de translation le sera aussi, puisqu'il serait représenté par la diagonale d’un parallétipipède dont les côtés seraient nnls. Cette condition est d’ailleurs nécessaire cf siiflisante.

Or, pour que ces trois mouvements suivant chacune des axes soient nuis il faut que les sommes des composantes parallèles à ces axes qui les produiraient soient séparément nullcs (n* 194). Donc en définitive si l’on nomme X, Y et Z les sommes des composantes des forces extérieures appliquées au solide invariable que l’on considère, ces forces n’iinprimeront au corps aucun mouvement de translation si l’on a en même temps

le mouvement restera uniforme ou le corps en équilibre quant <i la translation.

DD MODVEMENT DE DOTATION

De même tout mouvement de rotation d'un corps ou des points matériels qui le composent peut être décomposé en trois mouvements de rotation autour de trois axes rectangulaires menés par un point quelconque. Pour que le corps ne reçoive aucun mouvement de rotation il faut et il suffit que les rotations autour de chacun de ces trois axes soient séparément milles, ce qui exige que les sommes des moments des forces par rapport il chacun de ces trois axes soient sé- ])arémcnt nulles, de sorte que si l’on nomme L, M et N ces trois soiumes, on devra avoir en même temps

Quand ces conditions seront satisfaites, le travail développé pour imprimer au corps un mouvement de rotation sera nul et il continuera se mouvoir uniformément ou restera en équilibre.

Pour que le corps ne reçoive ni mouvement de translation ni mouvement de rotation ou que par conséquent son mouvement ne soit nullement altéré, il faut et il suftit donc

1° Que les sommes de toutes les composantes des forces qui sollicitent le corps, par rapport aux trois axes rectangulaires quelconques menés dans l'esiiace soient séparément nulles.

C’est ce qu’expriment les relations

que l’on nomme les six équations du mouvement uniforme ou de l’équilibre d’un corps invariable libre sollicité par des forces quelconques.

170. De la force centrifuge. — Tout le monde sait que quand on attache une pierre, un corps pesant quelconque îi une corde, si en tenant cette corde h la main on imprime au corps un mouvement circulaire dont cotte main est le

DU MOUVEMENT DE ROTATION

ceati'e , lu corde c|>ronve une tension d’autant plus grande , que le uiuuvement est plus rapide. C’est siu’ l'observation de ce lait qu'était fondé l’usage de la fronde, dont les peuples de l'antiquité se servaient comme anne de guerre , et qui n’est plus qu’un jouet d’enfant. Des clfets analogues s’observent dans les voitures qui tournent rapidement dans des courbes de petits rayons; dans les manèges, où les chevaux et les cavaliers sont naturellement conduits à sc pencher vers le centre de la oourbe qu’ils décrivent poiu* ne pas être renvcr.sés. Nous pourrions citer, et le Iccleiu' trouverait facilement bien d’autres effets de la uu'inc cause. Tous prouvent que dans le mouvoTnent curviligne les corps sont soumis à une force particiüière qui tend à les éloigner du centre, et qne l’on nomme la force centrifuge.

171. Mesure de la foret centrifuge. — Pour comprendre ce qui se passe quand un point matériel est soumis à l’action de la force centrifuge, examinons d’abord comment celte force se développe dans les mouvements circulaires.

Lorsqu'un point matériel ou une masse élémentaire m imsse d’un élément de courbe ab qu’il vient de parcourir à un autre, il tend, en vertu de son inertie, à continuer de se mouvoir dans le sens du prolongement de cct élément ou de la tangente bd à la courbe , c’est ce que l’on appelle s'échapper par la tangente , et ce qui arrive dans la fronde au moment où l’on cesse brusquement de tenir la corde tendue.

Si la masse m prend la direction de l’élément suivant, c’est qu’elle est retenue sur la courbe, soit par la résistance de la courbe elle-même sur laquelle elle exerce alors une pression, soit par la tension qu’elle développe dans la corde. Cette pression, cette tension est la mesure même de la force centrifuge, et on la numtne qucl(iuefois par opposition la force centripète.

Cette force est dirigée (huis le sens du rayon de courbure de la courbe ou du cercle correspondant ; et si l’on nomme

lOÜ ou MOUVEMENT DE ROTATION.

V la vitesse dont la masse m est animée dans la direction de ab, et qu’on prenne la longueur bd pour la représenter, il est clair que In vitesse détruite par la résistance de la corde ou la force centripète, sera représentée par le côté de du parallélogramme bedf, dont le côté de est parallèle au rayon ob suivant la direction duquel s'exerce cette force. Or, rins(>ection de la figure montre d’abord que les angles aôO et bde sont égaux comme interne et externe, et les angles deb et ebO comme alterne et interne; et comme d’ailleurs les angles ebO et aOô sont égaux comme formés, de part et d’autre du rayon, par deux éléments égaux et consécutifs du cercle ou du polygone d'an nombre infini de côtés qui le

remplace, il s’ensuit que les angles Mc et deb sont égaux , et le triangle bde isocèle. Donc, enfin, la vitesse ba, avec laquelle la masse m se meut dans le sens de l’élément suivant bl, est 1a même que celle qu’elle avait dans le sens de l’élément précédent. Ainsi, dans le mouvement circulaire, la force centrifuge n’altère pas la vitesse de rotation; ce qui est d’ailleurs conforme aux principes qiic nous avons exposés sur le travail, puisque cette force dirigée dans le sens du rayon, ou normalement au clietnin décrit, ne produit pas lie travail dans le sens du mouvement, attendu qu’il n’y a pas de clieinin parcouru dans sa direction propre et par son action.

Cela posé, la vitesse détruite dans l’élément de temps t par la force centripète , a , d’après la figure , de pour mesure , et les forces centripète et centrifuge qui sont égales ci directement opposées, ont pour mesure commune

Fig. 61.

1)11 MOUVEMENT DE ROTATION. iOi

Or, les triangles bde et Qbt sont semblables comme ayant les angles égaux ; l’on a donc

d’où

bO’.bt bd', de, bd-X.bt \s

de=

bO

En appelant R le rayon du cercle décrit , et « l’arc élémentaire parcouru dans l'élément de temps t; et comme on a

il s’ensuit que

V = i, d’où s = \t, »

de —

\xwt \u.

et enfin que la force centrifuge a pour mesure I. V‘t V*.

’'=”Kr(=”ir

si d’ailleurs un appelle Vt la vitesse angulaire ou à l'unité de distance, on a, comme on sait, V = V,R, et l’expression de la force centrifuge devient

F = m^’ = mV,'R,

Ce que nous venons de dire de la force centrifuge dans le ccrclc s’applique au cas où le point matériel décrit une ligne courbe quelconque, parce qu’en chacune de scs positions l’on peut substituer ù la courbe le cercle qui lui est osculatcur ; la seule différence , c’est que le rayon R de ce cercle varie pour chaque position du mobile, au lieu que dans le cercle il est constant.

172. Travail développé par la force centrifuge. — Lorsipi'au lieu d'élre retenu par une courbe circulaire ou à une distance constante du centre de rotation, le point matériel que l’on cütisidcrc peut s’eu éloigner, la force centrifuge lui faisait parcourir dans le sens du rayon un certain chemin ;

i»i UU MOUVEMENT DE ROTATION.

elle développe sur ce corps un Iravail qu'il est facile d’apprécier.

En elTct, si dans un élément de temps le point matériel SC déplace dans le sens du rayon d’une quantité élémentaire V, le travail correspondant de la force centrifuge sera

Fr = mV,’Kr,

et le travail total dû à celte force, quand le point matériel sera passé de la dislance R" du centre à une distance plus grande R', sera donné par la somme de tous les travaux élémentaires analogues pris depuis R=R" jusqu’à R=R'. Or on a vu par des exemples précédents que cette somme est égale à

5 >»\V(R'*— R"*J =ifn Y"*)

si Ton nomme V'=V,R' et V"=YiR" les vitesses de rotation du point autour du centre. On a donc pour le travail cherché de la force centrifuge

T = 5 toY.VR'*— R"‘)= \ Y">).

On remarquera que le second membre de cette relation n’est autre chose que la variation de la force vive de rotation éprouvée par te point matériel quand, tout en s’éloignant du centre de rotation , il continue de participer à ce mouvement , quelle que soit d’ailleurs la courbe ou le chemin qu’il décrit en s'éloignant du centre. On am'ait donc pu déduire directement cette expression du principe des forces vives.

Dans le cas que nous venons de considérer, la force centrifuge tend à augmenter la vitesse absolue du mobile et agit ainsi comme une force motrice qui se développe dans le mouvement de rotation.

I.orsqu’au contraire te corps se rapproche du centre la force centrifuge s’y oppose et agit comme une résistance en développant un travail qui a d’ailleurs la môme expression

1)U MOUVEMENT DE ROTATION

mais qui est résistant , puisque le chemin parcouru est en sens contraire du sens d’action de la force.

Les considérations précédentes trouveront leur application dans l’élude des effets de certains récepteurs hydrauliques.

173. Action de la force centrifuge sur les voilures. — Lorsqu’une voiture marchant rapidement tomme dans une courbe de petit rayon , les elTcls de la force centrifuge se font sentir aux voyageurs qui sont alors poussés vers la courbe extérieure avec une intensité qui peut être souvent

dangereuse pour ceux qui sont placés sur l’impériale et qui peut même le devenir pour la stabilité de la voiture.

L’on s’est souvent préoccupé des effets de celte force sur les chen)ins de fer lorsque l’on a proposé d’employer des courbes de petit rayon ; mais il est facile de faire voirpar des chiffres que, sous ce rapport, les plus grandes vitesses de marche et les rayons ordinaires des courbes ne présentent aucun dangci'.

En nommant en effet :

P le poids d’un wagon ou d’une voiture quelconque,

h la hauteur de son centre de gravité au-dessus du plan de la voie,

F = -V,'R la force centrifuge,

2<? la largeur de la voie.

Il est évident que quand la voiture circule autour du centre O de la voie cl qu’elle est arrêtée par un obstacle , tel qu'une ornière ou le rebord d’un rail, elle tend à se renverser au dehors en tournant autour de son point d’appui instantané a. Ce mouvement de renversement est contrebalancé parle poids P du véhicule, cl au ni'imcnt où ce

ÜU MOUVEMENT DE ROTATION

poids et la force centrifuge se font équilibre autour de ce point, l’on a entre les moments des deux forces P cl

F = - V,’R la relation

Pc WR. A,

ce qui montre qu’à vitesse et à poids égaux la stabilité de la voilure sera d'autant plus grande et l’équilibre mieux assuré, que la largeur 2c de la voie sera plus grande par rapport à la hauteur du centre de gravité.

La vitesse de parcours qui correspondrait à cct équilibre sur les voies ordinaires, pour lesquelles 2c=l“,45, pour les voilures dont le centre de gravité serait à P" ,00 de hauteur quand elles sont chargées et dans des courbes de 400 mètres de rayon, serait donnée par la relation

WR = Ç, d’où V,R = y/^ R =47^,50

environ, vitesse que l’on n’atteint pas à beaucoup près dans les mouvements les plus rapides des chemins de fer. Ce qui montre que sous ce rapport la force centrifuge n’occasionne pas de danger. Mais il ne faut pas perdre de vue qu’elle a|>puie les rebords des roues extérieures contre les rails, produit un cisaillement qui les use et peut contribuer puissamment à des déraillements.

174. Action de la force centrifuge dans les volants. — Dans les machines soumises à des causes périodiques d’irrégularité dans le mouvement, on emploie pour limiter ces irrégularités dos pièces rotatives, d’un poids et d’un diamètre considérables, animées d'une assez grande vitesse et sur lesquelles le mouvement de rotation développe une force centrifuge d’une intensité considérable.

Ainsi , par exemple , le volant d’un laminoir à fer établi aux forges de Fourchambault pèse 6000 kilogrammes ; sou rayon est de 2“,92.

DU MOUVEHSNT DE ROTATION. 195

Le uouibrc de tours qu’il l'ait est de 60 en 1' ou 1 par seconde ;

L'onadonc V,=6“,28en l"et par suite V,R=6.28x2.92.

Si l’on considère un segment de l’aiineau égal à j de sa circonférence, correspondant à un seul bras, son poids sera de 1000 kilogrammes; et si son assemblage avec les segments voisins était rompu, le bras éprouverait dans le sens de sa longueur une traction exprimée par

^^X6,48*X2, 92=11 739 kilogrammes,

ce qui montra que dans les volants la force centrifuge ac- (|uici t une intensité dangereuse et qu’il convient d'assurer à leur assemblages la plus grande solidité.

On remarquera aussi que la vitesse de rotation de ces organes doit être renfermée dans certaines limites. Car, si par exemple on voulait faire marcher le volant précédent à une vilesse double, ou de 120 tours en 1', la force centrifuge du segment que nous avons considéré deviendrait quadruple ou égale à 46 956 kilogrammes.

1715. Application au mouvetnenl de l’eau contenue dans un vase qui tourne autour d'un axe vertical. — Dans ce cas les

molécules du liquide sont simultanément soumises h l’action verticale de leur propre poids et à celle que la force centrifuge développe horizontalement. Pour qu’elles restent en équilibre sous l’action de ces deux forces, il Fig. es- faut que la résultante de celles-ci

soit’normale à la surface qu’affccle la masse fluide, car si celte résultante était inclinée à la surface les molécules glisseraient sous son action oblique.

Cela posé, considérons une molécule m de poids p et de

masse ^située à la distance »ip = R de l’axe de rotation AC.

i9<i OU MOUVEMENT DE ROTATION.

Elle sera soninisc dans le sens horizontal cl perpendiculairenienl à l'axe à une force centrifuge exprimée par ^ Vi*R.

Prenons mD=p et construisons le parallé-

logramme mBED dont la diagonale normale à la surface qu’affecte le fluide, rencontre l’axe eu i. Les triangles semblables mpi et mBE nous donnent

d’où

wjB ou? v,*R : BE ou p : ; mp ou R :pi ,

Ainsi la dislance pi , qu’on nomme la sous-normalo, ne dépend que du nombre constant g et de la vitesse angulaire supposée aussi constante. Par conséquent cette distance est constante, ce qui , d’après les propriétés connues de la parabole , montre que la courbe génératrice de la surface du niveau est une parabole dont le sommet est au point O et dont l’axe est celui de rotation ; cl il serait facile de faire

voir que son paramètre est ^ attendu que l’on a

pp' ou ; tiip ou y : : mp ou y: pi ou

d’où

170. Surface de nireau de l'eau contenue dans un auget de roue hydrauligue à axe horizontal. — En raisonnant de même que dans le cas précédent , il est facile de voir que si l’on

représente par aè la force centrifuge? Vi’R et par ad le

poids P d’une moléaile quelconque située à la sm-facc du niveau , l'on aura la proportion

d’où

ab ou ? V,‘R : èc ou P : ; R : 01 ,

MT MODVEMEM DE ROTATION

rc qui montre que h distance 01 est constante pour tous les points de la surface du liquide et que par conséquent cette

surface est celle d’un cylindre à base circulaire de rayon al dont l’axe est parallèle à celui de la roue.

Ce théorème , dû h M. Poncelet , sert de base h la théorie que cet illustre ingénieur a donnée des effets de l’eau dans les roues à augets h grande vitesse *.

177. Du régulateur à, force centrifuge. • — L’action de la force centrifuge est utilisée dans la construction d’un appareil que l'on nomme régulateur à force centrifuge , ou régulateuràboules. 11 consiste principalement en un axe vcrticalAH, figure 68, qui reçoit de la machine dont on veut régulariser la marche un mouvement de rotation. A cet axe sont suspendues deux tiges AP et AP', articulées en A, et terminées par des poids égaux P et P' en forme de sphères ou de lentilles. Aux deux points B et B' des tiges AP et AP' sont articulées deux antres tiges égales BC et B'C' formant avec les premières un losange, et qui s’articulent aussi à leurs extrémités C et C' avec un manchon traversé par l’axe vertical avec lequel il tourne, tout en pouvant avoir un mouvement

" Voir 1 m «Mr l’hiuirmilique.

DU MOUVEMENT DE ROTATION

de translntion dans le sens de la longueur de ccl arbre. Ce manchon a une gorge dans laquelle s’engage la fourche d’un levier DK, qui agit sur les organes du distributeur de la vapeur, ou sur toute autre pièce.

On comprend facilement le jeu de cet appareil ; par l'effet du mouvement de rotation de l’arbre vertical , les houles du régulateur tendent à s’écarter de cct axe et obligent le manchon à s’élever à une certaine hauteur. Si la machine a atteint et conserve sa vitesse normale, les boutes et le

manchon se maintiennent à la même position, parce qu’il s’établit un état d’équilibre entre la force centrifuge et le poids des diverses pièces de l’appareil. Quand la vitesse augmente, il en est de môme de la force centrifuge , qui tend à écarter davantage les boules et è relever le manchon, et par suite l’extrémité du levier DE. A l’inverse, si la vitesse diminue, les houles se rapprochent de l’axe, le manchon et l’extrémité D du levier DE s’abaissent.

Examinons maintenant les conditions mécaniques de la marche de ccl appareil , et supposons d’abord que le manchon CC, ainsi que les tiges BC et B'C' soient équilibrés par

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DU MOU\EMENT DE ROTATION

le levier DE, de façon qu’en négligeant les froltemenls on puisse regarder les tiges AB et ÂB' comme libres d'obéir à la force centrifuge qui tend à les écarter, et à la pesanteur des boules, qui tend à les rapprocher de l’axe vertical.

La force centrifuge de chaque boule est -V’iXOP, et son

moment par rapport à l’axe des ai ticulations  est

-V*,X0PXA0.

Le moment du poids P de chaque boule par rapport au même axe est

PXOP.

Par conséquent, la condition d’équilibre de chacune d’elles est

-V*,XA0 = P, d’où ^ 9 9