AO

la relation ci-dessus devient donc d’où l'on tire

attendu que n” doit toujours être très-petit par rapport à n'.

L’on voit donc, d’après ces considérations, dues à M. Poncelet, qu’il existe une relation nécessaire entre te rapport du poids des boules à la résistance et le degré de régularité auquel l’appareil doit être sensible.

On voit aussi que pour un degré de régularité voulu on reconnu nécessaire <\ la marche de la machine le poids des houles croît proportionneltcment à la résistance qu'oppose ou qu’éprouve le manchon. Ainsi, par exemple, si l’on a

les proportions a=0,666, et si l’on doit avoir n’=

on trouve

De sorte que si lu résistance du manchon était seulement de 10 kilogrammes, le poids de chacune des houles devrait être

Ce résultat montre que cet appareil ne saurait donner aux machines un grand degré de régularité sans acquérir des dimensions et un poids excessifs, si l’on voulait faire surmonter directement par le manchon des résistances un peu considérables.

C’est faute d’avoir eu égard è ces circonstances que hean-

DD MOin’EMENT DE ROTATION.

coup (le constructeurs ont échoué dans l’établissement de ce genre de régulateur, qu’ils ont voulu faire agir pour imprimer le mouvement à des vannes ou à des appareits de distribution de vapeur. On évilc cet inconvénient grave et l’on parvient à obtenir avec cet appareil, simple et solide, un de^ grc de régularité convenable, en le disposant de la manière suivante, que je décrirai pour le cas d’une roue hydraulique.

178. Disposition à donner au régulateur à force centrifuge. — L’arbre vertical du régulateur porte une roue conique aa' qui engrène avec une roue 66' deméme diamètre, fixée sur un arbre horizontal cc', qui fait par conséquent le même nombre de tours que l’arbre AH. Cet arbre porte à frottement

doux deux roues, dentées à engrenages coniques ec' et/'/’, munies d’un embrayage .’i grilTcs qui peut engrener avec un manchon dd' mobile sur l’arbre cc' dans le sens de sa longueur. 11 résulte de celle disposition que ces deux roues ee' et ff ne participent nu mouvement de rotation de l’arlire ce' que quand elles sont embrayées avec le manchon dd'.

Dü MOUVEMENT DE ROTATION.

Ces deux roues engrènent toutes deux avec une troisième roue gg' de môme diamètre, placée à l’extrémité de l’arbre horizontal d’une vis sans fin perpendiculaire à l’arbre cc'.

Il suit de celte disposilion que lorsque le manchon d’embrayage conduit Tune ou l’autre des roiies ce* ou ff, la roue g^ et la vis sans fin tournent dans Un sens ou dans l’autre. L’office du pendule conique se réduit donc, dans ce dispo- 'silif, à faire glisser le manchon d’embrayage gg' de droite à gauche ou de gaucho à droite, selon que le mouvement s’accélère ou se retarde, et la seule résislutire qu’il ait è vaincre est celle du frottement de ce manchon snr son arbre cl contre les griffes, laquelle est assez faible et diffère peu, d’une roue ou d'un moteur à un autre. La résistance principale, celle de la manœuvre de vanne, par exemple, est surmontée par le moteur lui-même, qui conduit la vis sans fin, et c’est ce dernier organe qui, par des engrenages convenablement proportionnés, fait monter ou descendre la vanne.

Un autre avantage de ce dispositif, c’est que le môme modèle de régulateur peut serv ir dans presque tous les cas, pourvu que la vitesse de l’arbre vertical des houles soit aussi la môme.

Plusieurs régulateurs de cc genre, établis pour les usines de rarlilleric, y ont donné des résultats satisfaisants. En voici les proportions principales pour le cas d’une roue à aubes planes emboîtées dans un coursier circulaire, et dont la vanne en déversoir a 2 mètres de largeur.

L’arbre horizontal, cc fig. 70, reçoit le mouvement de la roue au mojen d’une poulie fixe cl d’une courroie, et fait <\la marche normale de la machine 48 tours en 1 minute. Il en est par conséquent de môme de l’arbre vertical du régulateur auquel le niouvement est transmis par les deux roues coniques aa', bb', de la figure 69, qui ont chacune 24 dents.

Chaque boule pèse 21^,20 — P, et a O”,! 75 de diainèlre.

Ona a=.\B=AB’=0'",25, fig. 68, è = AP=: AP'=0"’,4875. Ia: poids des liges AP et AP' est de 2'‘“,95, celui des liges Br. = B'C'estde I^',I20.

nu MOUVEMENT DE ROTATION. ^

Fypxpéricnec a donné pour l’effort îl exercer sm* les houles horizonlnlcincnt, pour soulever le collier et te levier, une •

intensité de 36 kilogrammes.

Les trois roues d’angle «e', ff, ont 30 dents chacune.

La vis sans fin est à un seul filet. ,

La roue à dents taéliçoides LL, flg. 70, qu'elle conduit a 90 dents. I

Le pignon M.M flg. 69, que porte l’arbre de cette roue a 16 dents.

La roue NN que conduit ce pignon a 80 dents.

Le pignon de la crémaillère, monté sur le même arbre , a 21 dents.

Le pas de l’engrenage de la crémaillère est de O" ,023.

11 résulte de ces proportions qn’cn nommant N le nombre

de tours de l’arbre vertical et de l’arbre de la vis, qui sont les mêmes, celui que fera l’arbre du pignon sera

DU MOUVEMENT DE KÜTATIÜN

Si l’on suppose N=10, le pignon qui a 24 dents, fera monter la crémaillère dont le pas de l’engrenage est 0"’,023 de

Ainsi , pour dix tours de l’arbre vertical du régulateur, la vanne monte ou descènd de 0'",0123.

' . Ce rapport entre les courses de la vanne et le nombre de tours de l’arbre vertical du régulateur est important à noter, et dans tes applications que l’on voudra faire de cet appareil , il sera convenable de s’en rapprocher pour les roues analogues par les motifs que nous indiquerons au n° 101.

170. Résultats d'observations faites sur l'effet de ce régulateur. — La longueur du manchon mobile dd' étant moindre que l’intervalle qui sépare les roues ecf et ff il s’ensuit que dans ces inter\ ailes tant que le manchon n’embraye ni avec l’une ni avec l’autre de ces roues, l’appareil est indifférent aux variations de vitesse. On conçoit qu’en effet il faut conserver une certaine latitude à cet égard. La vitesse moyenne entre ces limites est la vitesse normale de la roue, elle est d’environ 9,80 tours en 1 minute.

Quand la vitesse s’abaisse à 9,50 tours en 1 minute les entailles du manchon sont sur le point de s’engager dans celles de la roue ce'; lorsque la vitesse s’élève à 10,10 tours en 1 minute les entailles du manchon sont sur le point de s’engager dans celles de la roue ff. C’est enlre ces limites de 9,50 et 10,10 tours en 1 minute que la vitesse peut varier sans que le régulateur agisse. La moyenne de ces vitesses est 9,80 tours en 1 minute. L’écart en dessus et en dessous de la vitesse moyenne peut donc être de 0,30 tours

en 1 minute ou de de la vitesse moyenne avant que le

régulateur commence à agir.

Lorsque par une élévation du niveau ou [Nir une dimiiiu-

iUU QU MOUVEMENT DE AOTATION,

tion (le la résistance à vaincre la vitesse de la roue dépasse 10,1 tours en 1 minute, le manchon embraye avec la roue ff qui alors conduit la roue gy' et la vis sans lin de manière à relever l’avance et diminuer la vitesse. Pour que celle vitesse revienne à sa valeur normale il faut que l’action du régulateur dure un certain temps. En fermant bnisquemenl toutes les vannes des usines placées sur le môme canal pour obtenir un cxbaussement rapide du niveau on a pu augpieiiter la vitesse jusiiu’à lt,l tours en 1 minute. L’écart maximum en sus de la vitesse moyenne que l’on ail pu produire a donc été de t ,3 tour en 1 minute ou de la vitesse

moyenne et il a fallu 50 à 60 secondes d’action du manchon pour ramener la vitesse à tO,l tour en 1 minute à laquelle il débraye.

Loisiquc par suite d'une augmentation dans la résistance ou d'un abaissement de niveau, la vitesse de la roue a atteint 9,5 tours en 1 minute , le manchon cml>raye avec la roue ce', qui alors conduit la roue gg' cl la vis en sens contraire, pour faire abaisser la vanne et ramener la vitesse à sa valeur moyenne.

En produisant exprès un abaissement brusque du niveau d’amont, on a pu faire descendre la vitesse de la roue à 8 tours en 1 minute, ce qui correspond à un écart de 1,8 tour

en 1 minutcou ^ de la valeur moyenne. Mais, par l’action

OjD

du régulateur, la roue est revenue à la vitesse de 9,50 tours par minute au bout de 30 secondes.

L’on voit par ces détails que ce régulateur manœuvre d'une manière assez sensible pour être employé très-utilement dans beaucoup de cas.

1 60. Comparaison des données de texpérience avec les formules. — Les résultats des observations directes faites sur le régulateur à boules de la poudrerie Du Bouebet nous fournissent le moyen de vériQer l’exactitude des formules du n* t77.

DU UUUYËHENT DE ROTATION

Nous avons vu en effet qu’au delà de la vitesse delO.l tours

en 1 minute, ou quand la vitesse dépassait de ^ sa valeur

moyenne, le manclion s’embrayait avec la roue ff pour ralentir le mouvement et qu'il débrayait à celle même vitesse, quand, après un accroissement supérieur à celui-là, la ‘ vitesse tend à revenir à sa valeur normale.

Or, la vitesse nonnale du régulateur est de 48 tours de

' 1 son arbre vertical cl, pour un accroissement de — = n', elle

oit

devient de 49 tours en 1 minute, ce qui correspond à une 6 28

vitesse angulaire égale à x 49,5 = 5“*,27 en 1 seconde.

On a alors OP = 0"‘,30 à peu près.

Par conséquent la force centrifuge de chaque boule devient

' - V.*X OP = X i5,27) *X 0,30 = 18‘“,00,

y y,oi

ce qui, pour les deux boules, donne un effort de 36 kil., précisément égal à celui que des observations directes ont indiqué pour soulever le collier et le levier d’embrayage.

181. modification du poids des boules pour obtenir une plus grande régularité. — Si pour certains cas l’on voulait donner à l’appareil plus de sensibilité, il suffirait d’augmenter le poids des boules ; sachant que, pour le régulateur qui nous occupe, l’effort à exercer par les boules est de 36 kil. ou

18 kil. par chacune, si le degré de régularité n' devait éU'e ^

de la vitesse moyenne , le nombre de tours de l’arbre des boules, au moment où le régulateur commencerait à agir,

devrait être 48 -j- — = 48,96. Par suite ôU

tKI

itiè DU HüUVUMENT DE HUTATlüN.

. En adnicltaul que OP = 0", 30, on aurait pour délcrminer le nouveau poids P des boules

d’où

— X 4,9;ia’ X0,30= 18“.

182. Observation relative à la transmission du mouvetnent de la vis sans fin à la vanne. — Dans les premières applications qui ont été faites des régiilatcurs de ce genre, l’on remarquait qu’ils étaient sans cesse en jeu et que la vanne était continuellement en mouvement pour s’élever et pour s’abaisser, de sorte que la marche de la roue était fort irrégulière cl s’écartait beaucoup en plus ou en moins de sa vitesse moyenne. Cet inconvénient, qui avait été reconnu déjà dans beaucoup d’autres applications, avait conduit les construcleursà regarder le régulatcurà boules comme défectueux cl comme plus nuisible qu’utile à la régularité du mouvement. Mais en examinant de plus près les circonstances de sa marche et de celle de la vanne, je reconnus que les variations perpétuelles de vitesse provenaient de ce que les mouvements communiqués à la vanne étaient trop grands , de sorte qu’elle s’abaissait ou s’élevait trop rapidement et toujours au delà de la limite qui convenait pour la marche moyenne, et qu’alors aux irrégularités du mouvement inhérenles au mode d’action de la machine, aux variations du niveau des eaux, etc., s’ajoulaienl sans cesse celles que produisaient les mouvements exagérés du la vanne. Je lis changer les transmissions de mouvement de la vis à la vanne, de manière à ralentir beaucoup le mouvement de celle-ci, et je parvins ainsi à renfermer les variations de la vitesse dans des limites convenables.

Des observations analogues ont été faites à l’one des grandes aiguiseries de la manufacture d’armes de Cliàtellcrault sur reffet d’un régulateur appliqué à une turbine, et l’on est parvenu à bien régler la marche de ce motem' en

DU MOUVEMENT 1)E ROTATION

élaliJissant un rapport convenable dans la transmission du mouvement de la vis à la vanne.

D’après ces observations l’on a reconnu que quand l'arbre vertical du régulateur et celui de la vis sans fin sont réglés à une vitesse moyenne de -48 tours en 1 minute, les vannes en déversoir des roues de côté ne doivent pas s’élever ou s’abaisser de plus de 10 è 15 milliin. pour 10 (ours de la vis sans fin, et que pour les turbines Fontaine, par exemple, la course des vannes ne doit pas s’éloigner beaucoup de iniHi 5 pour dix tours de la vis.

En satisfaisant à ces conditions, par des rapports convenables dans les transmissions de mouvement entre la vis et la >anne, on parviendra à renfermer tes écjirls de la vitesse dans des limites suffisantes.

185. Disposition indispensable dasis (emploi de ces réffulateurs. — La vanne du moteur hydraulique auquel on applique des régulateurs de ce genre étant conduite par le moteur lu i-méme, on conçoit que, pour les vannes en déversoir, qui doivent s’abaisser quand le mouvement se ralentit et pouf les vannes avec charge sur le sommet, qui doivent se lever quand la résistance augmente, la course de ces organes étant forcément limitée, il importe de faire cesser l’action du régulateur avant qu’il ait atteint ces limites, sans quoi il en résulterait quelque rupture.

Il faudra donc disposer un appareil de débrayage qui interrompe l’action de la vis sans fin sur la vanne, dès que celle-ci est sur le point d’atteindre la limite de sa course.

184. Modification de l’appareil précédemment décrit. — Pour rendre l’appareil encore plus sensible à de faibles variations de vitesse, M. Delongdiamp, ingénieur civil, a eu l'idée de Iransmetlre le mouvement aux roues coniques par ime courroie qui passe d’une poulie toujours folle sur deux autres, placées l’une à droite l’autre à gauche de celle-ci, et qui sont calées sur l'arbre des roues d’angle;

DU MOUVEMENT' DE ROTATION

l’action du pendule se réduit alors à faire passer la courroie d’une poulie à l’autre, ce qui n'exige qu’un faible effort et évite le choc des griffes du manchon, dans l’autre dispositif.

Ainsi modifié, un régulateur d’un seul modèle suffit pour un grand nombre de cas différents.

188. Autres régulateurs. — 11 existe d’autres appareils régulateurs, construits dans le même but que le précédent, dont nous n’avons parlé que pour montrer un exemple de l’usage que l’on peut faire de la force centrifuge. Nous citerons seulement en passant le régulateur Molinié, celui de M. La- Vivière, celui de Siemens, basé sur l’emploi du pendule conique d’Huyghens , etc. L’on peut obtenir avec ces appareils de bons résultats, mais ce n’est pas ici le lieu d’en parler.

186. Du mouvement varié autour d’un axe. — On a vu par ce qui précède que, dans le mouvement de rotation autour d’un axe, le travail de toutes les forces extérieures qui sollicitent le corps est égal au travail de leur résultante. On peut donc supposer toutes ces forces remplacées par cette résultante.

Si le mouvement est uniforme, il est évident que le Iravail des forces qui tendent à accélérer le nmuvemcnl sera égal à celui des forces qui tendent à le retarder, ou que le travail de la résultante sera nul.

Mais, si le Iravail de cette résultante n’est pas nul, il produit nécessairement dans la vitesse du corps une certaine variation , et alors l'inertie de chacune des masses élémentaires qui le composent développe, en sens contraire, des efforts proportionnels aux degrés de vilesse uui leur sont communiqués ou enlevés.

Nommons V, la vilesse angulaire ou le chemin circulaire qui serait décrit par un point situé à l’unité de distance de

DU MUUVEUKNT DE ROTATION

l’axe, pendant Tunité de temps si, à l’instant que l'on considère, le mouvement devenait uniforme, et la variation élémentaire qu’éprouve celle vitesse dans l’élément de temps t ; une masse élémentaire m quelconque du corps , située à la distance r sera animée de la vitesse V,r, et la variation élémentaire de cette vitesse sera'uir. Par conséquent, l’inertie par sa réaction développera, en sens contraire du travail de

la résultante des forces extérieures, un effort»» dirigé

langcntiellement à la circonférence décrite par la masse m.

Or, si à chacune de ces masses élémentaires m on appliquait, en sens contraire de la variation du mouvement, une

force égale àm^, et dirigée dans le même sens que la

réaction de l’inertie, cette force serait capable de détruire la variation de vitesse v,r, et par conséquent l’effet de la résultante générale des forces extérieures sur cette masse m; donc l’ensemble de toutes ces forces détruirait l’effet de la résultante générale des forces extérieures, et par conséquent elles lui feraient équilibre. Or ces forces que nous venons de supposer appliquées à chacune des molécules du corps sont précisément égales aux réactions développées par l’inertie et dirigées dans le même sens. Il y a donc aussi , à chaque instant de la variation du mouvement, équilibre entre ces réactions et la résultante des forces extérieures , ou , ce qui revient au même , le travail développé par toutes ces réactions doit être égal au travail développé par celte résultante.

L’arc élémentaire décrit par la masse m étant uir, en appelant a, l’arc élémentaire à l’unité de distance , le travail développé par la force d’inertie pendant la variation de la vitesse sera pour la masse m :

Or^ = V,r ou la vitesse possédée par la masse »i à l’instanl

ou MOUVEMENT DE ROTATION.'

q«e l'on considère; donc le travail élémentaire de la force d'inertie de la masse tn a pour expression-

f»t’irXVir=»n. r’Viif

Le produit de la masse »i par le carré de Sa distance r à l’axe de rotation qui entre dans cette expression se nomme le moment d'inertie de celte masse.

Pour une autre masse élémentaire m' située à la distance r', on aurait de môme pour le travail de l'inertie et pour un nombre quelconque de masses semblables, la somme des quantités de travail élémentaires développées par leur inertie sera

jaV’-l- etc.) Vit’,.

187. Observation importante sur les moments d'inertie. — La géométrie apprend à calculer la somme des moments d’inertie des éléments des corps de diverses formes, ainsi que nous l’indiquerons plus loin ; mais il est utile dès à

présent de faire connaître un théorème important relatif au moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque, quand on connaît son moment d’inertie par rapport à un axe parallèle passant par for le centre de gravité de ce corps.

Considérons ime masse élémentaire m d'un corps dont le centre de gravité soit G, et qui tourne autour d’un axe A. Le moment d’inertie de cet élément par rapport à l’axe A

sera

WJ . A»t*=jnr*.

Fig. 7Ï.

Uais si l’on nomme AG=d lu distance du centie de gravité à l’axe de rotation, et GM=r, la distance de la molécule au

Dü MOUVEITENT DE DOTATION.

contre (le gravilé , on a (rabord par le triangle Aam form(^ en abaissant ma sur AG prolongé

ou attendu que

Aa*=AG'”^2ÂG ^oG-j-Ga * } Â^=ÂC’+în«’+2AGX«G, ou r'=d*+»’t’+2d.aG.

Ijc moment d’inertie de la masse m est donc w r* = wd* -j- »»n’ -f- 2 . md . flG ,

formnio dans la(piclle il faut observer que m . oG est le moment de la masse m par rapport à un plan perpendiculaire à la ligne AG et passant par le centre de gravité. De même pour d'autres masses m', m", etc., situées à des distances r', r", r", de l’axe A, et à des distances r,', r,', r,*, du centre de gravité, on aurait ' ^

»«y« = in'd* -f- 2»»'d . o'G ,

»iV'‘=m"d’-j-mV,*’+2m"d. a"G.

Et par suite, en appelant I le moment total d’inertie par rapport ?( l’axe A, et Ii=>wri*-|->«'ri'’-j-»i"r,'’-j-etc. , le moment d’inertie par rapport à l’axe parallèle passant par le centre de gravité G et M la masse totale du corps = WJ etc. , on a

l=M.d*-l-l,-l-2d[wj.aG4- wi'a'G -f- m VG etc.].

Or le terme entre parenthèses est la somme des moments des masses élémentaires qui composent le corps par rapport è un plan qui passe par le centre de gravité; elle est donc nulle, cl la relation ci-dessus se réduit à

ce qui exprime (pie k moment d'inewtie d'un corp» par rap-

su mi MOUVEMENT DE ROTATION.

port à 1 /n axe quelconque est éqal au moment dC inertie du même corps par rapport à un axe parallèle au premier, et passant par le centre de gravité du corps, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.

188. Principe des forces vives dans le mouvement de rotation autour d'un axe. — Il suit de ce qui a été dit au n° 186 qu’cn appelant I le moment d’inertie total du corps que l’ou considère , le travail développé par l'inertie pendant la variation élémentaire Vi de la vitesse angulaire sera IiV,v, , et l’on a vu que cette quantité doit être égale au travail développé dans le même temps par la résultante des forces c.xtérieures ; cela paraîtra d’ailleurs évident en observant que, si le travail des forces d’inertie était inférieur à celui de la résullante , en retranchant le premier du second , l’excès du travail de la résultante produirait une accélération ou une diminution de vitesse autre que celle qui a réellement lieu. ‘

On a donc à un instant quelconque

l.V,ri=ll.«,r,

en appelant R la résultante de toutes les forces extérieures et fl son bras de levier.

Au bout d’un temps quelconque, le travail de cette résultante R, variable ou constante , s’obtiendra , soit directement, soit par la méthode de Simpson, et pourra être représentée par T.

Quant au travail total des forces d’inertie , le facteur I ne dépendant que des dimensions géométriques et de la matière dont le corps est composé , la somme de toutes les quantités de travail semblables, depuis le moment ou la position pour laquelle la vitesse angulaire était V'i jusqu’à celle où elle est devenue \\', sera , d’après ce que l’on a vu précédemment, représentée par

DU MOnVEMENT DE ROTATION. *18

si le mouTement s'est accéléré, R étant nne force motrice, ou par

si le mourenient s’est retardé , R étant alors une résistance.

Par conséquent , au bout d’un temps quelconque , où la vitesse angulaire aura passé de la valeur V, à la valeur V/, on aura entre les quantités de travail développées par les forces extérieures ou leur résultante et par les forces d'inertie, la relation

On remarquera que, I étant la somme des produits élémentaires wr*, m'r'*, etc., on a

1 W = + etc. ,

expression dans laquelle sont évidemment

ce qu’on a appelé précédemment les forces vives des masses m, m', etc.; donc IV,’, IV,’’, sont les sommes des forces vives , ou la force vive totale du corps , et la relation ci-dessus nous montre que, dans le mouvement de rotation comme dans le mouvement de translation, le travail développé par les forces extérieures au bout d'un temps quelconque est égal à la moitié de la force vive acquise ou perdue par le corps " pendant le même temps.

On voit donc que le principe des forces vives, démontré précédemment pour les mouvements parallèles de translation , est encore vrai pour les mouvements de rotation autour d'un axe.

Or, comme un mouvement, une vitesse, un travail élémentaire quelconque , peut toujours être décomposé en deux mouvements, vitesses ou travaux élémentaires, l'un de translation, dans lésons d'un certain axe, l’autre de rotation, perpendiculaire à ce même axe, et que dans cette décomposition le carré de la vitesse résultante est égal à la somme

2lfi DU MOUVEITENT DE ROTATION.

des carrés des vitesses composantes, que la somme des forces vives composantes est égale Ji la force vive résultante et que le travail i-ésidlant est égal ?i la somme des travaux composants, il s’ensuit évidemment que dans un mouvement quelconque le travail développé au bout d'un certain temps par les forces extérieures est égal à la moitié de la variation de la force vive correspondant au même intervalle. '

Tel est sous sa forme la plus générale l’énoncé du principe des forces vives , qui sert de base à la théorie générale des

machines et des mouvements des corps.

Avant d’appliquer ce principe au mouvement des machines, nous en ferons usage pour l’étude du mouvement des pendules, et en particulier des pendules balistiques.

189. Théorie du pendule . — Pour première application des principes précédents occupons-nous de la théorie du pendule, et d’abord supposons I qu’il s’agisse du mouvement d’une masse élémentaire suspendue îi une tige infinic «g. T>. ment déliée, et cher-

chons les diverses circonstances du mouvement de cet appareil , qu’on nomme un pendule simple , et qui se trouverait ainsi , îi fort peu près , dans les mêmes con-

DU MOUVEÏTENT DE ROTATION

ditions qii’nnc halle de plomb suspendue ù un Al df; soie Irès-Aii, supposé rigide.

Supposons que le pendule , parti du point B , soit parvenu en M cl soit descendu par conséquent d’une hauteur MP=H, le travail développé par la gravité serawiÿ.H, et si l’on appelle V la vitesse de la masse m, dirigée dans le sens de la tangente au cercle décrit, sa force vive sera »nV’, et d’après le principe des forces vives on aura

7n\’’=2»W(/H ou V*=2ÿH.

La vitesse V de ce mouvement varié a d’ailleurs pour

expression le rapport - de l’arc élémentaire parcouru dans l’élément de temps i\ la relation ci-dessus revient

donc ù

d’où

où

Si l’on compare ce pendule, dont la longueur AB=r, h un autre dont la longueur serait AB'=r’, qui décrirait un angle égal et qui serait placé dans un lieu où la vitesse communiquée aux graves dans la première seconde de leur chute serait ÿ', on aurait de même

On aurait donc pour ces deux pendules la proportion

-ÿHYH"

Mais la condition que les angles décrits par les deux

tl8

DU MOUVEMENT DE ROTATION

pendules soient égaux nous donne pour un même déplacement angulaire élémentaire

:r', ou s’: s'*::

et de plus on a

d’où

Par conséquent

d’où

On remarquera que, les rapports ~ cl p étant donnés et

indépendants des angles décrits , il résulte de là que les temps élémentaires, employés à parcourir les arcs élémentaires i et s', sont dans un rapport constant, et que par conséquent il en est de même de la somme de ces temps élémentaires ou (}es temps totaux T et T' employés à parcourir une oscillation entière. On a donc aussi

Telle est la relation entre les durées des oscillations des pendules simples en difTérents lieux et pour düTérentes longueurs.

Si l’on compare des pendules de même longueur , on a r=r', et alors