V «fx
doù M>=s=r.^.
Or ME est moyenne proportionnelle entre CE et 2r — CE,
étant le diamètre du cercle décrit par le pendule ; on
a donc '
ME=v'(2r — CE)CE= V2rxCE — CE*-
Hais quand l’amplitude des oscillations est très-petite , on peut négliger le carré de CE ou de la flèche de l’arc décrit, par rapport au produit 2r x CE , ce qui réduit la valeur ci-
ME = v'2rXCE-
5 QN. r
^~v'2ÿH v'2ÿHXy/2rxCE’
n-JL^ t. '
' CE~2ÿH*
dessus à
On a donc alors
d’où
220 Dü MOUVEMENT DE ROTATION.
Mais <H l’on décrit sur CD comme diamètre im cercle et si Ton mène les parallèles Mot et Nn à la corde BD, on aura
;^’=CEXDE=1=CEXH, cc, ni donne = ;^ (|e)'= sp-
Or les triangles semblables otOE et mqn donnent
d'où
et par suite (l’OÙ
qn OU QN:wE:;»m:TOO;
QN mn wE mO ’
“2<7H~4pU0/’
On voit donc que le temps infiniment petit employé par le pendule à parcourir un arc élémentaire MN est égal au produit du facteur constant
par l’élément »«n de la circonférence du cercle décrit sur CD comme diamètre. Donc la somme de tous les élémenls de temps successivement employés à décrire l’arc BC sera égale au même fadeur multiplié par la demi-circonférence, dont DC est le diamètre ou mO le rayon, laquelle est égale ù 7rOTO = 3,14.»iO; on aura donc pour la durée totale de la demi-oscillation
1 ^ it.mO
el pour l’oscillation enlière
ou MOUVEMENT 1)E KOTAXION. Sil
Telle est la formule qui donne la durée des oscillations du pendule simple. On en tire pour la valeur de la vile.ssc communiquée aux graves dans la prcmièi'e seconde de leur elmte par la pesanteur
ce qui montre comment la connaissance de la durée des petites oscillations d’un pendule simple de longueur connue peut servir à déterminer la valeur du nombre g.
Mais le pendule simple n’est qu’une abstraction , et ce n’est que comme moyen d’approximation que l’on peut employer des balles de plomb ou d’autres corps lourds, suspendus à un fil, pour mesurer le temps par la durée de leur oscillation , et considérer cet appareil comme un pendule simple, dont toute la tuasse est réunie à son centre de figure. '
Dans les cas ordinaires, pour les pendules des horloges, et à jilus forte raison pour ceux que l’on emploie à la détermination des vitesses imprimées par la poudre aux projectiles, et qu’on nomme pour celte raison j^ndules balistiques, il faut tenir compte de la répartition de la masse.
101. Du pendule composé. — Considérons donc un corps solide qui tourne ou oscille autour d’un axe fixe, et cherdions les diverses circonstances de son mouvement.
En appelant d’abord, comme par le passé, I le moment d’inertie de ce corps par rapport à l’axe de rotalion et V, la vitesse angulaire à un instant où son centre de gravité est descendu de la hauteur H , nous aurons encore par le principe des forces vives
et si l’on nomme d la distance du centre de gravité du pendule à l’axe, et Hi la hauteur dont un point situé à funité du distance est descendu , 1a proportion . .
2S4 DIT MOUVEMENT DE ROTATION
d’où H = H|d, et la relation ci-dessus donne
Cette relation est de même forme que celle qui se rapportait au pendule simple , et n’en diffère que par le facteur Vid
-J-, qui ne dépend que des dimensions et de la nature du corps. ' . • . • .
On a encore ici pour la vitesse angulaire ce qui
conduit à la relation
En raisonnant ici exactement' comme on l’a fait pour le pendule simple cl en supposant les amplitudes d’oscillations très-petites , ce qui permet de négliger l’influcncc de la résistance de l’air, on ferait voir encore que la fracüou
ÜL j . /*«ny
\g\mo) Ag \mo ) ’
à cause de r,= 1",00; d’où il suit que la durée d’une fraction élémentaire d’une oscillation a pour expression
2\Mdg^mo' et que la durée totale de l’oscillation est
'-'"S/îA.dg
192. Longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le mime temps qu'un pendule composé. — Si l’on compare la fornmle du |)cndule simple à celle du pendule com-
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DU. MOUVEMENT DE ROTATION
posé, l'on voit que, pour que les durées des oscillations soient égales, il faut que l’on ait
ce qui donne pour la longueur cherchée du pendule simple
'■“Md'
195. Détermination du moment d'inertie d'un pendule composé . — Lorsque dans la formule
on connaîtra la masse totale du pendule, et la distance d de son centre de gravité à l^axe des couteaux ou de la suspension, l’observation de la durée T des oscillations do:mcra pour le moment d’inertie par rapport à t’axe
" -fl • -
l=î^Mdgr,. ' ,
ce qui dispensera du calcul, assez laborieux dans beaucoup de cas, de ce moment d’inertie.
Cette formule trouvera en particulier son application pour la détermination des moments d'inertie des volants, des pendules balistiques, etc. Il suflira en effet de les faire osciller autour d’un axe quelconque , placé à une distance connue de leur centre de gravité, en les écartant fort peu de la verticale, et d’observer la durée de leurs oscillations en ^ comptant leur nombre.
On se rappelle de plus (n° 187) qu’en nommant L le moment d’inertie par rapport à un axe qui passerait par le centre de gravité et qui serait parallèle à l’axe de suspensioh, on a la relation
l = Md*-f-I„
ce qui donnera au besoin le moment d’inertie par rapport à un axe jiassatit par le centre de gravité. ' . -
DU MOUVEMENT DE ROTATION
il en réeiille aussi que la longueur du pendule simple qui , fait ses oscillations dans le même temps que le pendule composé, et que nous désignerons par A, a pour expression
et qu’elle est toujours plus grande
que celle du centre de gravite îi
axe.
En portant sur la ligne AG, qui joint l’axe au centre de gravité, une longueur
tous les points qui se Irouvçronl sur la parallèle h Taxe, incuée par le point O, pourront être regardés comme les centres d’autant de peu- Fis- 74. J , dides simples dont les oscillations se feraient dans le même temps que celles du pendule composé. Ce point O ainsi déterminé se nomme le centre d'oscillation du pendule.
Il est bon de remarquer que le point A serait réciproquement le centre d'oscillation du même pendule, si le centre O dmenait celui de suspension. En effet, si l’on nomme d ' la distance OG du centre de gravité au point O, on aurait pour la distance k' du nom eau centre d’oscillation à l’axe O
mais
d’où l'on lire et par suite
OG = d' = A— d =
Md’
Md”
k! ^ A - — d -j- il ^ A\
DU MOUVEMENT DE UOTATiüN.
as
194. Détermination du centre de gravité des pendules composés. — Celle opération s’exécute par le calcul ou par les moyens indiqués au n° 142, ou par la combinaison des deux méthodes. Quelquefois, pour les pendules balistiques dont le poids s’élève :i plusieurs niilHcrs de kilogrammes, on emploie le moyen suivant. Ün fixe en un point quelconque de leur suspension, au canon ou nu récepteur, une
corde qui passe sur une poulie de renvoi, cl h laquelle on suspend un poids qui soutient le pendule dans une inclinaison déleiminéc. l.;i poulie doit être grande, son axe petit et bien graissé, de manière qu’on puisse négliger le frottement ou être certain de ne pas commettre d’erreur notable en le calculant. Le frottement des couteau.\ , qui ne font que rouler sur leurs coussinets, peut être négligé; on connaît d’ailleurs cl l’on a pu déterminer d'avance la position et même les traces du plan vertical qui contient le centre de gravité, quand l’appareil est libre : il est donc facile de mcMirer l’inclinaison que prend ce plan sous l’action 'd'un contre-poids donné. Cela fait, appelons
P le poids du pendule;
d la distance cherchée de son centre de gravité à l’axe des couteaux ;
« rindinaison du pl:ui qui passe [Mir le centre de gravité cl iK»r l'iLxe des couteaux, avec la verticale;
Vig. Ï5
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32C DU MOUVEMENT DE ROTATION
L la pcrperuîiculaire abaissée de cet axe sur la dh’ection de la corde;
T la tension de cette corde, on a la relation TL=p.dsina;
d'où
TL
p.sina’
198 . Centre de percussion. — Lorsqu’un corps (fig. 76) reçoit «n mouvement de rotation autour de l’axe A, que nous supposons ici perpendiculaire au plan du tableau, chaque masse élémentaire de ce corps développe des forces d’inertie partielles perpendiculaires aux distances respectives de chacune d’elles à Taxe, et dont l’intensité est mesurée par mr j , selon la notation adoptée au n“ 187 .
Le moment de chacune de ces forces par rapport à
Taxe de rotation est wir*.
et la somme de tous les moments semblables a pour
valeur I. y.
Si l’on décompose chaque force partielle ot.Tj
en deux autres. Tune ho- Mg.14. rizoHlale et Tautre verti-
cale, et qu’on nomme a: et y l’abscisse et 1 ordonnée de iH par rapport à un plan vertical et à un plan horizontal passant par l’axe A, la première composante sera évidemment
Dl y MVi
DU MOUVEMENT DE ROTATION; 2Ü7
.1 . Vi X MV,
el la seconde -sera mr . - . - = x.
Si l’on appelle Xj el ÿi les coordonnées du ccnlrc de gravité du corps, on aura évidcuiment, en faisant séparément la somme de toutes les composantes horizontales et verticales, d'apres la théorie des forces parallèles :
^ [wy 4- «y = y . My,
et ^[wuc + mV 4-elc.]= y Mx,; - •
D'où il suit encore que la résultante de ces deux groupes de forces rectangulaires est ' i-
et qu’elle fait avec Taxe horizontal et l’axe vertical des coordonnées des angles dont les cosinus sont respectivement
7 el en sorte qu’elle est perpendiculaire à la distance d
du centre de gravité à l'axe. '
Cela posé, si l’on désigne par O le point d'application de
celle résultante F = 7 M . «f , son moment sera égal à la
somme de ceux de toutes les forces d'inertie du corps, et l’on aura " -
FxAO = 7.M.dxAO = l7';
Le point ainsi déterminé se nomme le centre de percussion. U est tel, qu’une force capable de produire, dans l’élément de temps, la variation de vitesse angulaire v, et qui serait appliquée à ce point, serait précisément égale à la résultante de toutes les forces d’inertie des différents éléments du
DU K0UVE1IENT D£ AOTATION.
corps. Donc la pression, ou, comme oji dit ordinairement, la percussion qui résullcrnit sur l’axe , de cette force et de celte résultante , alors égales et directement opposées, serait nulle.
Donc aussi réciproquement , pour que cette pression soit nulle, il faut que la force extérieure qui produit la variation du mouvement passe par le centre de percussion pour qu’il n'y ait pas de choc sur les couteaux ou sur l'axe de rotation.
On remarquera que la distance du centre de percussion h l’axe est la même que celle du caiilre d’oscillation, et que ces deux points se confomlcnt. C'est pourquoi l'on doit, dans les pendules balistiques, faire en sorte que l’action de la poudre Ou le choc du projectile ail lieu précisément à hautenr du centre d’oscillation.
190. Théorie du pendule balistique^ — On emploie généralement aujourd'hui dans le service des poudres, pour la réception et l’épreuve des poudres, un appareil connu sous le nom ée pendule éalû'îrfyKr (pl. Ill, fig. 12), dont l’invention appartient à l’Anglais Robins, célèbre professeùr d’artillerie, mais qui a reçu en France, dans ces dcmiei’s temps, de notables perfectionnements.
Les pendules balistiques qui sont en usage dans les poudreries françaises, soit pour les épreuves au fusil, soit pour celles au canon, se composent d’un récepteur en fonte fixé à une suspension en fer. Ce ré*cepteiir contient une matière molle ou compressible, susceptible de recevoir et d’amortir le choc et la vitesse d’un projectile, sans que la rupture du récepteur puisse avoir lieu.
IjC tir a lieu à hauteur de l’axe du récepteur, qui est horizontal. Nous appellerons ici , comme dans V Aide-Mémoire des officiers d’artillerie ,
R le rayon de l’arc décrit par l’aiguille qui fait marcher un curseur le long d'un limbe gradue indiijuant les angles de recul ; . • . . <
DU MOUVEMENT DE ROTATION
’ t la distance du point choqué ou point d'impact an plan horizontal des couteaux ;
k la distance du centre d’oscillation à l'horizootalc des couteaux ;
P le poids total du pendule chargé , c’est-à-dire y compris les tampons ou barils pleins de sable, pour ceux à canons, on le bloc de plomb et la planchette pour ceux à fusils ;
d la distance du centre de gravité du pendule chai’gé à la ligne des couteaux ;
b le poids du projectile ;
c la corde de l'arc de recul ;
a l’angle décrit par le pendule ;
V la vitesse du projectile à l'instant où il atteint le récepteur ;
Vi la vitesse angulaire communiquée au pendule après le choc.
Il faut d’abord remarquer que pendant le choc il se développe, aux points de contact des projectiles et du récepteur, dès efforts d'action et de réaction égaux et directement oi>posés.
L’action exercée sur le récepteur accélère son mouvement , et , d’après ce qui précède , le moment de celte force |>ar rapport à l'axe de rotation doit être égal à celui de toutes les forces d’inertie des molécules matérielles qui composent le pendule.
En continuant à nommer t-i le petit accroissement de vitesse angulaire communiqué au pendule pendant l'élément de temps / , la résistance d'une masse élémentaire w située à la distance r de l’axe sera, comme on l’a déjà dit,*
exprimée par mr.~; son moment par rapport à l’axe sera
ffîr* . y; la somme de tous les moments semblables serai, y,
et elle devra être égale au moment de l’effort exercé au même inslant par le projectile.
DU MOUVEMENT DE ROTATION
Mais d’uD aulre cOté ce projectile, qui agit perpendiculairement à sa distance < du plan horizontal des couteaux, perd dans l’élément de temps un petit degré de vitesse v , et son inertie, qui est la môme pour tous les points qui sont aninaés de vitesses à ü'ès-peu prés égales et parallèles , donne
lieu à un effort moteur exprimé par ~-j} dont le moment
par rapport à l’axe des couteaux
Ainsi , à un instant quelconque du choc , on doit avoir, entre les actions développées par le projectile et la réaction du pendule, la relation
ôu
- I . t) = It’i.
En établissant des relations analogues poiu* tous les degrés élémentaires de vitesse perdus successivement par le projectile et gagnés par le pendule , on aura en les ajoutant :
ÿi [i> + v' -j- v" etc.] = I [v, -j- t)'j -j- té*! -j- etc.].
Or la somme w-f-t>'-f-t/' + etc., est évidemment égale à la vitesse totale perdue par le projectile depuis le moment où il a atteint le récepteur avec la vitesse Y jusqu’à celui où, ayant perdu toute vitesse relative par rapport au récepteur, il a marché avec ce corps d’une vitesse commune égale à Vit, en nommant Y, la vitesse angulaire communiquée à ce corps; on a donc
+ e' -f- ü" -f etc. = V — V,i.
D’autre part, le récepteur partant du repos et acquérant par le choc la vitesse finale angulaire V, , on a
V, + v', -j- ?’*, -j- etc. = V„
Dü MOL’VEMEÎTT DE ROTATION.
La relation ci-dessus devient donc
attendu que \ = - dk.
