I . toutes les ordonnées. Si l'on

B considère le petit trapèze élé> *■ Inentaire correspondant à un

effort quelconque F et à un élément do chemin c, il est clair que la surface de ce petit trapèze sera F.e, et qu’elle représentera le travail élémentaire correspondant au petit chemin e.

Le travail total pour un chemin E se composant de la somme de toutes les quantités de travail élémciilaircs F«, il est évident qu’il sera représenté par la surface totale limitée' par la courbe. 11 ng s’agira donc que de trouver celte surface ou la somme de tous les produits élémentaires F.e, Le calcul donne dans certains cas le moyen de l’obtenir directement; mais dans beaucoup d’autres, et pour la pratique, il est plus commode d'employer les méthodes de quadrature, et eu particulier celle de Simpson, que l’on a exposée dans la r* leçon.

11 est d’ailleurs tout h fait indispensable de recourir è ces méthodes quand on veut estimer le travail transmis par les moteurs animés, et par beaucoup de machines, dans lesquelles l'effort transmis varie sans cesse, suivant des lois impossibles à trouver.

10. Application au travail développé par les chevaux dans le halage d’un bateau poste sur le canal de l'Ourcq. — A l’aide d’instruments, que nous décrirons prochainement, on a obtenu une courbe expérimentale ou relation grapdiique entre les espaces parcourus cl les efforts exercés. Il serait impossible par aucune méthode de calcul direct d’obtenir

DES FORCES

la relation qui lie les efforts aux chemins parcoinns pour en déduire le travail, niais la quadrature nous en fournira „ les moyens. Opérant, par exemple, sur un espace de 48 mè-

tres de longueur, que l’on partage en 12 parties égales^ on trouve pour les ordonnées F,, F,..., Fu, Fu, les valeurs suivantes , d’après l’échelle des flexious du ressort.

kil.

klI.

Fn

Fv =

Fu

Le travail total pour cet espace est donc :

Celte expérience est relative à un cas où le bateau pesait avec son chargement 7147 kil., et marchait à la vitesse de 4", 71 en l", ou 16‘"°“*,956 à l’heure.

20. Machine à vapeur à Indret. — Le diamètre du piston étant de 0'",36,

' sa surface = 1020 centimètres carrés.

La course totale est de 0“,92. En la partageant en 16 par-’ ties égales on a . . .

Le relèvement de la courbe des pressions fournie par l’in-

dicateur donne les résultats suivants pour les pressions sur

chaque centimètre carré de la surface du piston.

kil. Itil.

F„ = 0,207 F» =1,930 F, =1,965 4(F,. ..-f F, 0 = 45,048 0,400 Fe =1,985 F, =1,985 2(Fi...-j- F,.) = 21,820 F, =1,985 F, =1,985 - 67,268

F„ = 0,724 Fu = 0,634 ; . - ,

Et pour le travail développé par la vapeur dans une course"

91. Effort moyen d'une force variable. — 11 est souvent utile ou même nécessaire de connaître l’effort moyen d’une force variable , c’est-à-dire l’effort constant qui produirait le même travail en faisant parcourir le même chemin à son point d’application. D’après celte définition et ce que l'on a dit précédemment, si l’on nomme T le travail développé par

SO . DES FORCES

l’cfforl variable et E le chemin total parcouru par le point d’application , on aura T=F.E ; d’oii

Fig. «.

Ainsi l’on obtiendra l’effort moyen d’une force variable en

divisant le travail total piir le chemin parcouru. 11 résulte aussi de là que, le travail de l’effort variable étant représenté (Üg. 8) par l’aire SabedepH, le travail de l’effort moyen constant correspondant sera représenté par la surface du rectangle AA'M’M de même aire que la coiu’be.

11 est bon de remarquer, dés à présent, que les points b, e et e, où la courbe des efforts variables coupe la ligne A'M" de l'effort moyen constant, corrcspondcul à des positions où CCS deux efforts, ainsi que le travail élémentaire qu’ils développent sont égaux* De plus les aires X'ab et ede audessus de la droite A'M' représentent l’cxcés du travail de l’effort variable sur celui de l’effort constant pendant que le corps parcourt les distances AB et CE , tandis que les dires comprises entre la courbe et le dessous de A'M' représentent les excès du travail de l’effort constant sur celui de l’effort variable. La somme des premiers excès doit d’aillem's évidemment être égale à la somme des seconds.

82. Observations sur le mode de calcul suivi par les praticiens anglais. — Quelques auteurs, et particulièrement des • ingénieurs praticiens anglais, prennent souvent dans le calcul de l’effet des machines à vapeur la moyenne arithmétique entre les efforts ou pressions extrêmes pour l’effort moyen, et la multiplient par le cbejiiin parcouru. Or, si, jKir exemple, il s'agit du travail développé par la vapeur pendant sa détente, la courbe qui donnerait l’effort corres-

pondant h chaque course du piston serait, comme on le verra et comme l’indique la figure , convexe vers la ligne 2 des abscisses; et, en prenant

la moyenne arithmétique entre les ordonnées extrêmes, puis la multipliant parac, on aurait ' l’aire du trapèze abdc, bien supérieure à celle de la courbe.

a ** 25. Cas oû l’on perd prendre

®- la moyenne arilhmcliqve d’un

. certain nombre de valeurs variables pour celle de l’effort moyen. — Mais,quand les valeurs de l’effort oscillent périodiquement autour d’une certaine valeur ou entre certaines limites, qu’elles sont en très-grand nombre et prises d'une manière indépendante de la périodicité plus ou moins régulière de leurs oscillations, on peut, avec une exactitude suffisante pour la pratique ordinaire , prendre la moyenne arithmétique d’un grand nombre de ces valeurs pour l’effort moyen. C’est en particulier ce qui arrive dans les expériences sur l'action des moteurs animés, sinr l’efTort transmis aux machines diverses de fabrication , ainsi qu’on en verra des exemples. ,

24. Applications. — On a vu que, dans une expérience citée à la (irécédentc leçon , le travail développé par les trois chevaux allelé.s;:\un bateau poste était de 4771‘",33 pour un espace île 18". L’effort moyen qui aurait produit le même travail suait ’

ou par chaque cheval '

De mèiiie, dans l’exemple relatif au travail développé sur le pistou de la machine de l’alclicr d’ajustage d’Indrut, on a

DES FORCES •

trouvé pour une course de O-, 92 un travail total de 1315*", 318.. L’eflort moyen correspondant serait

La surface totale du piston étant de 1020 cent, carrés, cet effort moyen correspond à une pression de

par centimètre carré.

ÎJ8. La notion du travail est indépendante du temps. On voit par ce qui précède que la mesure du travail ne suppose qu’un effort exercé et un chemin parcouru dans la direction propre de cet effort. Elle est donc p-ar elle-même indépendante du temps. Ainsi, par exemple, dans l'élévation des fardeaux ce n’est pas par la dui-ée du travail que l’on règle les prix , mais par le produit de la charge et de la hauteur d’élévation. ' . ’

Cependant, lorsque le travail est longtemps et périodiquement répété de la même manière, il est clair que, quand on a sa mesure pendant un certain temps, elle suffit pour déterminer celle qui est relative à une autre durée. C'est ainsi que , dans la marche périodique des machines h vapeur, des roues hydrauliques, des moteurs animés, on rapporte le travail à l’unité de temps, que l’on prend ordinairement égale soit à 1 jour, à 1 heure, à 1 minute ou à 1 seconde. Cette dernière unité est celle que nous emploierons le plus souvent.

Pour les moteurs animés, dont le travail a une durée limitée par la fatigue et par la nécessité du repos, il faut joindre à l’cslimatiOn du travail en 1 seconde l’indication do la durée totale de ce travail , car elle influe beaucoup sur le ' travail dans chaque unité de temps. Ainsi un fort cheval tle roulage peut travailler 8 h lO heures par jour en développant au pas t\ la vitesse de l**,!» en 1 seconde une

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ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL- t3

quantité de travail -de 60 à 65^'*, tandis que les chevaux employés an balage du bateau poste qui , dans le cas que nous avons calculé , développaient un effort moyen de 33^’*, 13 en parcourant en 1 seconde, ce qui correspond à un travail do 33‘'‘,13 X 4”,71 = 156'“,04, ne peuvent travailler que 2 heures au plus par jour en quatre reprises , se reposent un jour sur quatre , et succombent rapidement à ce service pénible. ' • - .

2G. Dénominations diverses du travail mécanique. — L’effet mécanique des forces, que nous mesurons par le produit de l’effort et du chemin parcouru dans sa direction propre, a reçu différcnls noms qu’il est utile de connaître.

Smeaton, ingénieur anglais, auquel on doit d’utiles expériences sur les roues hydraidiques et sur les moulins à vent, le nommait puissance mécanique ; .Ckmo^ , moment d'activité; Mongb et IIachettb, e/^W dynamique; Coulomb et M. Navier, quantité d'action; MM. CoRious cl Po-VCElet, quantité de travail. — C’est celle deimièrc expression que nous adopterons comme la mieux appropriée au point de vue industriel , sous lequel nous considérons la mécanique.

27. Unité de travail mécanique. — Quant à la valeur de l’unilé de IrnATiil, nous avons dit que nous adopterions le • kilogramme élevé à 1 mèirc. Quelques auteurs ont proposé pour unité de travail l’élévation de 1000 kil., ou d’une tonne à 1 mètre de hauteur, cl lui ont donné le nom de dyname ou dynamode.

Une antre unité qui , malgré sa dénomination vicieuse , est passée en usage, c’est celle qu’on appelle la force de cheval, Celle expression, introduite par Watt, alors que la -machine k vapeur se substituait successivement aux manèges, exprime en mesures anglaises un travail équivalents 33000 liv. avoir-du-poids élevées h 1 pied anglais en 1 minute; en la réduisant en mesures françaises, on Ironve

DES FORCES

S3 000'" X 0,4534 = 1 4 962‘'',1 pied anglais ce

qui donne pour la seconde de temps.

:76‘"’,04 en Ÿ'.

La valeur généralement, adoptée en France est de 7.5'™ en 1 seconde. . <

Quoique celte estimation de la force de cheval soit aujourd’hui en quelque sorte une unité de convention , elle n’a pas de valeur légale, et il serait fort h désirer qu’imc mesure législative lui donnât ce caractère, car c’est la monnaie du travail industriel. Il est sans doute inutile de dire que cette expression n’a pas de rapport direct avec le travail réellement développé par les chevaux attelés à des manèges, lequel ne s’élève guère en moyenne qu’à 40 ou 45'™ en t seconde.

Exemple. Dans l'expérience relative à la machine à vapeur d’indrel , où nous avons trouvé le travail développé par la vapeur dans une course du piston égal à I31.5‘™,3t8, il y avait 28 coups doubles en t minute, et le travail par seconde était

et la force en chevaux de

: 16,37 chevaux.

48. Observations sur les conditions du travail mécanique. — Nous avons dit que le travail d'une force se mesurait par le produit de son intensité et du chemin parcouru dans sa direction propre; nuds il doit être sous-entendu que ce chemin est parcouru par l'effet même de la force. Ainsi, . un homme qui , dans un bateau , un convoi de chemin de fer, exercerait dans le sens du mouvement un effort sur un objet qui n’en recevrait pas de mouvement relatif, ne produirait aucun travail utile, quoique par l’effet du mouve-

ment de transport général le corps se mût dans la direction de l’effort.

n en est de même du cas oû l’effort est perpendiculaire au chemin parcouru; alors il y a pression, effort, mais point de travail produit par l'effort. Il en résulte des déformations, des frollemcnfs , donnant lieu, comme on le verra, à des pertes de travail ,* mais point d’effet utile immédiat. Nous ferons aussi remarquer que la déGnition du travail d’une force s’applique aussi bien au cas où le chemin parcouru par le point d’application de la force est dirigé en sens con* traire de la force qu’à celui où il est dirigé dansje même sens. Dans ce dernier cas, le point d’application cédant et marchant dans le sens de la force , on dit que celle-ci développe un travail moteur \ dans l’autre, où le point d’application se meut dans un sens contraire à celui de la force , on dit que le travail de celui-ci est un travail résistant.

29. Transport horizontal des fardeaux. — Ce genre de travail échappe au mode de mesure que nous avons adopté, ou du moins donne lieu à des effets, à des consommations de travail qui dépendent moins du poids transporté en luimême que du mode de transport Ainsi le transport d’un poids de 1000 kilogrammes qui se ferait par un traîneau glissant sur le sol , en doUnant lieu à un frottement égal à 0,30 de la pression , exigerait par mètre parcouru un travail de 300'' X 1”’; par voiture des proportions ordinaires, le

tirage étant ^ de la charge, il faudrait un travail 'de

33‘,33 X !■" = 33‘'",33 ; par chemin de fer à faible vitesse ,

la résistance n’étant que 3^ de la charge, le tirage serait

et le travail pour 1 mètre égal à 3‘‘",S3. ' ' ,

On voit donc que le travail relatif au transport horizontal des fardeaux ne peut se mesurer, comme on le fait qndque-

DES FORCES

fois , par le produit du poids transporté et du chemin parcouni , qn'aulant que l’on compare les résultats relatifs à des services, à des modes de transport du même genre.

50. Cas oit la force n' agit ‘pas dans la direction même du chemin parcouru. — Si le chemin parcouru est Ao , tandis que la dircctiofl de la force est AF, il est ebir que le chemin parcouru dans la direction même de la force sera déterminé par la perpendiailaire ah, abaissée de a sur rig 10 . . aF, et égal à A6. Le travail déve-

loppé par la force F sera donc, d'après la définition, FXAÔ. . . •

C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de faire sentir par la considération de la figure ci-contre. Soit AB la direction de la force P sollicitant à un instant quelconque le corps qui décrit la courbe LM, sur laquelle il est supposé parvenu au ^ point A. Si l’on conçoit que la ligne AB soit un fil inextensible et parfaitement flexible, et que l’action de la force P soit remplacée par celle d'un poids Q agissant à l’extrémité de ce fil, que l’on suppose enroulé à la circonférence d’une poulie o parfaitement mobile autour de son axe, il est clair que dans le déplacement élénrentaire du corps de A en a le travail de la force P sera- mesuré par le produit du poids Q multiplié rig. II. par la quantité bb' dont il sera des-

cendu. Or celte quantité bb' est égale à la différence de Ion- . gucur des lignes AB et oB, dont le point d’intersection B peut être regardé comme le point de contact instantané dos direc- ' lions AB et «B avec la circonférence extérieure de la poulie. Mais, en cnroiüanl la ligne «B sur la circonférence, son ex-

ET DE Là MESURE DE LEUR TRAVAIL.

trémité a décrira un arc élémentaire de développante de ..cercle aa' perpendiculaire à ÀB, et la longueur Aa' mesiu'cra précisément la différence chercliée- L’nrc aa' se confondant à la limite de la petitesse avec la perpendiculaire abaissée du point a sur AB, on voit en définitive que Aa' est ce que l'on nomme en géométrie la projection du chemin réellement parcoum Ao sur la direction de la force , et dès lors il devient évident par cette flgui c que le travail élémentaire de la force P est mesuré par le produit Px Aa'de son intensité et de la projection Ao' sur sa direction propre du chemin infiniment petit Ao que son point d’application parcourt réellement. ‘ «

En résumé , lorsque la force n’est pas dans la direction du chemin parcouru , le travail dû û un déplacement élémentaire Aa de son point d'application est le produit de l’intensité de la force par la projection de ce déplacement Ao sur sa direction. Or ce produit est ce que l’on appelle en mécanique rationnelle le momfiut virluel, tandis que nous lui donnons le nom de travail élémentaire. Celle identité nous conduira à plusieurs onalogies avec les résultats de la mécanique rationnelle; mais l’expression si naturelle de travail nous facilitera plus d’une démonstration qu'elle rendra pour ainsi dire évidente.

51. Exemple». Travail de la pesanteur sur un corps qui parcourt une courbe quelconque. — Si l’on considère le corps

parvenu en A, et .parcourant ensuite le petit chemin élémentaire Aa, le travail élémentaire correspondant développé par la pesanteirr, dont la directioa est verticale, sera le produit du poids P du corps par la hauteur kb qu’il a parcourue dans le sens de" cette

force. l.a pesanteur étant constante pour un même lieu et

des hauteurs peu différentes à la surface de la terre , le tra-

DES FOBCES

vail total développé après que le corps sera descendu de L en H sera le produit de P par la somme des projections analogues à Â6 ou par la hauteur totale de la descente H , et par conséquent égal à PH. 11 est donc le même, quelle que soit la courbe de descente , et ne dépend que de la différence de niveau des extrémités de cette courbe.

52. Manivelle et sa bielle. — Lorsqu’une bielle est assei longue pour que l’on puisse faire abstraction de ses obliquités, et si l’cITort exercé dans sa direction est constant, il est clair que le travail total développé pondant une demi-révolution sera le produit de rdîorl constant F et de la somme des projections F des arcs élémentaires Aa sur sa direction, somme évidemment égale au diamètre 2R. Par conséquent le travail développé dans une demi-révolution est FX2R.

55. ObsenatUm relative au sens de l’effort par rapport à celui du chemin parcouru. — Si le chemin parcouru est dirigé en sens contraire de la direction de l’effort F, il est clair que le corps est entraîné par une autre force par rapport h laquelle l’effort F est une résistance vaincue; on dit alors que le travail de la force F est résistant, soustractif on négatif, c’est-à-dire qu’il doit se retrancher du travail moteur dont il consomme, absorbe une partie.

Ainsi , loraqu’un corps descend sous l’action de la pesanteur, le chemin parcoura étant décrit dans le sens même de la force , elle agit comme puissance , et son travail est positif; lorsqu’au contraire le corps monte, le chemin est parcouru en sens contraire de la force ; celle-ci agit comme résistance, et le travail est négatif. Si le corps descend et monte alternativement de la même hauteur, le travail moteur développé pendant la descente est égal au travail résistant consommé pendaut la montée, et le travail total est

nul. Il y a ainsi production et consommation alternatives de travail dans tous les cas où des corps montent et descendent pModiquement, comme les bielles, les manivelles, les pistons, les pendules, etc.

54. BessorU. — Il se produit de même une consommation de travail dans la flexion des ressorts et une restitution dans leur retour à la forme primitive. Elle est complète si le ressort reprend dans le débandement exactement la forme qu’il avait avant. Elle est incomplète et il y a consommation de travail toutes les fois que le retour h la forme primitive n’csl que partiel.

5it. Dilatation et contraction. — Il en est encore de même lorsque par l’action de la chaleur un corps se dilate, et IcS efforts énormes développés dans ce cas sont tout à fait anaIo(^es à ceux que produisent les autres causes. En effet on sait par l’expérience qu’entre certaines limites les corps s’allongent ou se contractent de quantités proportionnelles aux efforts auxquels ils sont soumis. Ainsi, par exemple, une barre de fer s’allonge ou se contracte d*unc quantité I , qui exprimée en mètres est donnée par la formule

en appelant P la charge par millimètre carré de section , et I l’allongement par mètre courant. Réciproquement, quand une barre se contracte, elle exerce un effort égal à celui qui aurait été nécessaire poiu produire cette même contraction , et l’on remarquera que cet effort ne dépend que do l’allongement par mètre courant.

Si , par exemple, une barre de fer de 30millim. de côté à section carrée s’allonge de 1 = 0", 0005 par mètre, l’effort' capable de produire cet allongement Sera

P =20 OOOX 0",0005 = 10‘‘‘°*' par millimètre de section , ou en tout de b(? X 10‘ = 9000‘.

■ DES FORCES

Remarquant maintenant que de 0* à 100“ une barre de fer doux s’allonge de 1"”“,2205 (voir les traités de physique) parmèü-c, il s’ensuivra que la quantité dont il faudra élever sa température pour l’allonger de 0“™,5 par mètre sera donnée par la proportion , . • . . • , '

soit 4l“. Ainsi, en augmentant seulement la température de cette barre de 4l« environ , on peut lui faire produire contre des obstacles qui s’opposeraient à son allongement un effort de 9000 kilogr.

Réciproquement', si celte barre , après avoir été chauffée et tendue, se refroidit, elle exerce des efforts de traction considérables dépendant du degré de refroidissement. Dans le cas d’un refroidissement de 4l“, une barre de 30 milliiu. carrés exercerait un effort de contraction de 0000 kilogr.

Cette propriété iinportaule des corps d’exercer des efforts de dilatation ou de' retrait, de coulraction , considérables, est souvent mise à profit .dans les arts. Le cerclage des roues, des moyeux, des arbres de roues hydrauliques ; celui desvoùtçs, et en particulier celui de la coupole de Saint- Pierre de Rome; le cerelagc de la fonte, etc., en sont autant d’exemples.

Le redi'cssemcnt .des murs du bâtiment de l'ancienne bibliolbèquc du Conservatoire a été, dit-on, opéré par des moyens analogues avec le plus grand succès. Les bai rcs employées ont 60 milliiu. sur 22 millim. ou 1320 millim. carrés de surface. Ou les a chauffées au moyen d’un gril suspendu, et, â mesure qu’elles se sont allongées.par la chaleur, on les a tendues â l’aide de forts écrous avec rondelles en fonte. Cela fait, on les a laissées refroidir. Si, par exemple, leur température a baisse de 41“ seulement, le retrait a été de 0'"'",0005 par mètre, et l’effort correspondant de 10 kilogr. par milliinèlrc carré ; l’effort que chaque barre pouvait exercer était de

ET Üï LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 31

Quant au travail développé par cette force, il est facile de le calculer. En cflet," de 0*à 100* et même au delà l’expérience prouve que les nllongemcnls sont proportionnels aux lempératures , de sorte que, 1' représentant l’allongement à 100® et 1 celui qui est relatif à T*, on a ^

d’où'