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Si le voyageur marche vers l'arrière du bâtiment d'une

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quantité égale h celle dont -celui-ci avance dans le même temps, son déplacement , son chemin parcouru, par rapport aux rives est nu! et, bien qu'anime de deux mouvements simultanés , il est resté en repos par rapport aux rives.

Enfin si ce voyageur se déplace sur le pont, vers l'arrière, d'une quantité égale à 10 m. par exemple, et plus grande que le chemin de 8 m. parcouru dans le même temps parle bâtiment, son déplacement par rapport aux rives sera négatif, expression qui indique qu'il a reculé au lieu d'avancer, par rapport aux rives.

il en serait de mémo de plusieurs mouvements simultanés dirigés suivant la même ligne; en appelant:

E, E', E", etc., les chemins dirigés, par exemple, de la gauche vers la droite, et les regardant comme positifs;

Ei, E',, E"i, etc., les chemins dirigés de la «Voile vers la gauche, et les regardant comme négatifs ou soustractifs, le chemin lolal résultant, de ces mouvements simultanés sera égala

E -f- E'-f- E" — Ei — Ei' — E,", etc.;

ce que l'on exprime en disant que le chemin résultant est la somme algébrique de tons les chemins simultanés ou composants, en entendant ici par le mot somme le résultai de l'opération qui consiste h ajouter tous les chemins parcourus de gauche à droite et h en retrancher tous les chemins parcourus de droite h gauche.

104. Composition tir jihisinirs ritrws simultanées dirigées selon In même ligne. — Tout ce que nous venons de dire pour la composition des chemins ou des espaces simultanément parcourus par un point matériel dans une même direclion s'applique aux vitesses simultanées dont le point peut être anime, puisque dans les mouvements uniformes les vitesses sont proportionnelles aux chemins parcourus dans !e même temps cl que dans les mouvements variés les vitesses sont celles des mouvements uniformes que conserveraient les corps si ces mouvements cessaient de varier.

iOS. Composition de deux mouvements dirigea d'une manière quelconque . — Considérons maintenant un point A, qui soil pnr exemple la pointe d'un crayon appliquée contre une

si dans le même temps T, le crayon se mcnl sur le coté AM, uniformément, d'une quantité AD, il est facile de voir qu'à la fin du lemps T la poinle du crayon sera parvenue au point C, l'un des sommets du parallélogramme construit sur AB el AD comme côtés.

En effet, cette poinle «instamment appuyée sur le coté AD s'clant déplacée avec lui parallèlement à sa position primitive d'une quantité égale à AB, elle devra se trouver sur la ligne BC menée parallèlement à AD, et comme elle s'est aussi déplacée dans le sens de AH d'une quantité AD, elle devra pareillement se trouver sur la ligne DC menée parallèlement à AB. La rencontre des deux lignes BC et DC détermine la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux chemins simultanés.

D'où il suit que quand un point matériel est animé de deux mouvements simultanés dans deux directions données, la position occupée par ce point, à la fin de ces deux mouvements, est l'extrémité de la diagonale du parallélogramme construit sur res deux chemins comme côtés.

La distance AC, ù laquelle le point se trouve alors de sa position primitive A, est dite le chemin résultant et les deux chemins simultanés AB et AD s'appellent les chemins composants ou les chemins relatifs, parcourus dans le sens dos Urnes AN et AM.

Pour deux antres chemins quelconques, mais aussi si-

fausse équerro. MAN. Si l'équerre se meut uniformément d'une quantité AB, son cotéAM se déplacera parallèlement à lui-même delà même quantité, en se mouvant aussi uniformé-

mcnl , et avec lui la pointe du crayon qui y est appliquée. Mais

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mulianés, AB' el AD' parcourus par le point A dans un nuire temps T' le point A arriverait en une position A' déterminée par l'extrémité de la diagonale AC du parallélogramme construit sur les chemins Alt' et AD'.

Or, comme ces seconds chemins simultanés sont par hypothèse parcourus comme les premiers d'un mouvement uniforme on a

AB : AB' : : T : T' et AD : AD' :: T : T',

d'où AB : AB' :: AD : AD'.

Les angles en A étant d'ailleurs égaux-, il s'ensuit que les triangles ABC et AB'C, ADC et AD'C sont semhlablcs el que les diagonales AC et AC sont dans la môme direction.

De plus, les diagonales AC el AC sont aussi proportionnelles aux temps T et T', que le mohile a employés à parvenir aux points C el C, donc

Quand un point matériel sèment simultanément et uniformément dans deux directions données, le chemin qu'il parcourt en réalité en vertu de ces deux mouvements et qu'on nomme le chemin résultant, est représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux chemins simultanément parcourus, et de plus, son mouvement dans cette direction est uniforme avec une vitesse représentée par

,AC AC le rapport -=r = y.

La première proposilion (n° iOil) nous permettait de déterminer la position occupée par le point par suite de ses deux déplacements simultanés, la seconde nous donne son mouvement réel.

Réciproquement, lorsqu'un point matériel se ment suivant une droite AC, uiiiforméinant ou de tonte antre façon, l'on peut toujours trouver ses déplacements simultanés par rapport à deux directions données quelconques. 11 suffit pour cela de construire le parallélogramme dtmt la diagonale est

COWr-llSITlON HE S MOUVEMENTS,

le chemin AC cl dont les côtés AB cl AD seront parallèles aux directions donnée.

L'on voit qu'un chemin ou un mouvement donné peut Cire ainsi décomposé d'un infinité rie manières, en deux autres suivant des directions données, tandis que deux chemins ou mouvements donnés ne correspondent qu'à un seul chemin ou mouvement résultant.

On démontrerait de même que si les deux mouvements simultanés du point A selon les direclions NA et AU étaient uniformément accélérés, le mouvement résultant suivant la diagonale AC le serait pareillement.

106. Mouvement varié. — Tout ce que l'on vient de dire, étant indépendant de la grandeur absolue des chemins et des vitesses, reste encore vrai quand ils deviennent infinï— ment petits.

Ainsi, dans le mouvement curviligne, un élément de chemin infiniment petit AC peut de même se décomposer en . deux autres chemins relatifs infi-

/ A niment petits, parcourus parai lè-

laire absolu AC parcouru par le corps.

On remarquera que ce chemin élémentaire absolu AC est l'élément de la courbe, dont le prolongement donne la tangente AT nu point A, et comme sa direction dépend du rapport des chemins relatifs AB et AD, et non pas de leur grandeur, il s'ensuit que, si ce rapport était connu, on pourrait déterminer celle diagonale ou tangente, en construisant sur les directions de AB et AD un parallélogramme

lement à deux axes quelconques donnés dans le même plan; et réciproquement, si l'on connaissait les chemins élémentaires relatifs AB et AD parcourus dans l'élément de temps, dans

le sens des axes Ox et Oy, on en déduirait le chemin élémen-

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dont les cùiés fussent simplement enlre eux dans ce morne rapport et en traçant sa diagonale. Celte observation est quelquefois mise a profit pour le (racé des tangentes aux courbes.

De môme, dans le mouvement varié, on voit que, si le rapport du chemin élémentaire AC à l'élément de temps t employé à le parcourir est donné, la construction du parallélogramme ABCD donnera les rapports ~, ou les chemins relatifs AB et AD parcourus dans le même temps , qui seront les valeurs des vitesses relatives dans le sens des axes , et que , si la vilesse absolue est proportionnelle à AC, ces vitesses relatives le seront à AB et AD.

Donc encore, dans le mouvement varié, la vitesse à un instant quelconque peut se décomposer en deux autres, selon Ûevr. directions données, et représentées en grandeur par les côtés du parallélogramme construit sur cette-vitesse comme diagonale. Réciproquement la vitesse résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur tes vitesses relatives.

V = V" 4- V ; V = V" + Y"", V'= V . = V cosCAlî , V = V . ^ = V cosCAD.