FIS
Iî* COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
Donc, ta résultante de trois mouvements ou de trois vitesses simultanés dans l'espace est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallétipipède construit sur ces (rois mouvements.
1 10. Réciproquement un mouvement ou wc vitesse quelconque peut être décomposé en trots mouvements ou en trois vitesses suivant trois directions données. — Soient en effet AH ce chemin parcouru ou celle vitesse , on peut le décomposer en deux autres, l'un dirigé suivant l'une îles directions données , l'autre suivant AC dans le plan des deux autres directions , et regarder le corps comme animé de ces deux mouvements ou vitesses simultanés, l'uis on peut décomposer le mouvement ou In vitesse AC en deux autres ABcl AD dirigés suivant les deux autres directions données.
Le mouvement ou la vitesse AH sera donc ainsi remplacé par les Irois mouvements ou vitesses AF, AB et AD selon les trois directions données.
Cas où les composantes sont à angles droits. — Dans le cas particulier et le plus ordinaire où les trois directions sont a angles droits, en posant
AB = V, AD = V", ÀF = V et AH = V, on a V = ^v+V'+V" 1
et V' = VcosBAH, V" = VcosDAH, V'" = VcosFAH.
111. Résultante d'un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés. — Si, au lieu d'être animé de Irois mouvements ou vitesses simultanés Alt, AI), AF, le corps en possédait en outre un ou une quatrième, il est facile de voir que le mouvement final ou la vitesse finale résultant serait représenté en grandeur cl en direction par In diagonale du parallélogramme construit sur la résultante des trois pre-
l'on formerait en supposant que le corps reçût successivement ces mouvemnnls on vitesses simultanés.
DES VITESSES ET DES FOHCES. MB
Donc en général le mouvement ou la vitesse résultant d'un nombre quelconque de mouvements ou tic vitesses simultanés diriges aussi d'une manière quelconque tlitnx t'espace est représenté en grandeur et en direction par le dernier cote du polygone polyédrique qui peut être formé en supposant le corps tuccetsivement animé de ces mouvements simultanés.
Mais un arrive plus simplement a lu détermination du mouvement ou de la vitesse résultant en remarquant que , d'après ce qui précède , un mouvement do translation quelconque peut toujours être ilécnmposé en trois autres mouvements simultanés, dirigés selon truis direetions données quelconques, qui sont les trois eolés d'un parallélipipède dont le mouvement donné est la diagonale, et qui sont dirigés suivant les directions données.
Cela posé, si l'on conçoit chacun des mouvements ou chacune des vitesses simultanés dont le corps est animé ainsi décomposé, le mouvement ou la vitesse (Initie n'en sera pas altéré. Mais comme tous les mouvements ou vitesses dirigés selon les mêmes axes ont, comme on lu verra plus loin, des résultantes partielles égales a la somme des composantes, suivant ces directions, il s'ensuit en définitive que te mouvement ou la vitesse résultant sera représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur les sommes des composantes des mouvements partiels suivant trois directions quelconques.
Kaîsonnaut encore comme au n° 100, et supposant qu'après avoir composé en un seul tous les mouvements simultanés qui animent un même point matériel , on projette ces mouvements et le mouvement résultant ou les vitesses correspondantes sur un axe quelconque par aulanl de plans perpendiculaires h cet aie, on verra avec évidence que la projection du mouvement résultant ou de la vitesse résultante , qui n'est autre chose que la diagonale du polygone polyédrique dont nous avons parlé , est égale a la somme algébrique des projections des mouvements ou vitesses corn posants-
llti COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
ltï. Cas uù la résultante est nulle. — Lorsque h ligne qui joint les extrémités du premier cl du dernier côté du polygone |>lan ou polyédrique formé sur les directions des cliemins ou vitesses composants est nul, ce qui arrive quand ce polygone se referme sur lui-même, le mouvement ou la vitesse résultant est nul.
IIS. Théorème des moments de Varigtion.—Si d'un point 0 quelconque pris dans !e plan du parallélogramme ABCD des vitesses, et en dehors de l'angle BAD, ou mène les droitcsOA,
01) et OC, on remarquera d'abord que, le quadrilatère OADC élanl la somme des triangles OAD cl ODC, on aura
Si de plus on abaisse du point 0 les perpendiculaires Oa ou Oc, 06 et Orf, sur les cotes AB, AC cl AD, on aura pour les surfaces des triangles
OAC = OAI)-f-ODC-ADC.
OAC = i AC X 06, OAD =i AD X Orf, ODC = i 1)C X Oc, ABC = 1 HC X "c.
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Par conséquent la relation ci-dessus devient ACXOÙ = ADXOJ + ABxOa.
Les produits AG X Où, AD X Orf, AB X On, des côtes AC, AU, AB, par les perpendiculaires Ofi, Qd, Oa, abaissées du poinl 0 sur leurs dircciioiis respectives, s'appellenl les Moments, et la relalion ci-dessus montre que si l'on applique ce qui précède aux mouvements composants et résultants d'un point A, on peut énoncer le liicorcme en disant que le moment de la diagonale ou ile la résultante est égal à lit somme des moments des côtés ou des composantes.
Dans le cas de la figure précédente, le corps, eu vertu de ses deux mouvements ou vitesses, éïail sollicité h tour-
ner dans le nuline sens autour du point 0, placé en dehors de l'angle BAD.
Si le point 0 se trouvait dans l'intérieur de cet angle, il est facile de voir que l'on aurait encore
OAC = OAD ÛDC — ADC , puis 0AC=iACX06, OAD — jjjADxOd,
0DC = iDCxOc, ADC=iDCXo<-, et par suite
ACx06 = AUX0ri — ABxOo.
Kl comme dans te cas le corps, en vertu de ses deux mou-
vemenls, fond à tourner dans des sens contraires autour du [loiul 0, le théorème de Vtirignon peut s'énoncer eu général , el en l'élendant de suite à un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés, en disant que te moment de la résultante est égal à la somme îles moments îles composantes qui tendent à faire tourner le corps dans un sens moins lu somme des ni'itticnte d<'s ivinpoutnles i/ui tendent à le faire tourner en sens contraire, ou [dus généralement en disant que le Moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes, pourvu que, prenant positivement les moments relatifs à un certain sens du mouvement, on convienne de prendre négativement ceux qui se rapportent au sens contraire.
114. Extension de ces théorèmes aux corps ou systèmes mn/rrîr!s iiniméa d'un moneemenl commun de translation. — Tout ce que l'on a dit plus haut pour un point matériel s'étend immédiatement aux corps ou systèmes matériels animés d'un mouvement de translation commun, puisque , quand on aura déterminé la vitesse ou le mouvement résultant de l'un des points, on en déduira celui des autres, qui est le même. Cor si tous ces points sont animés simultanément d'un ou plusieurs mouvements communs, d'une ou de plusieurs vitesses connu mies dans dos directions données, le mouvement résultant ou la vitesse résultante sera le même pour tous.
118. Indépendance de ['action simultanée depiusieuri forces sur un même point. — Des observations qui montrent qu'un point matériel peut Être animé de plusieurs mouvements ou vitesses simultanés et indépendants, il suit aussi naturellement que les causes ou les forces qui produisent ces mouvements ou impriment ces vitesses exercent des actions indépendantes les unes des autres. Aussi l'expérience inonlre-1-elle que, quand un corps est soumis à l'action de plusieurs forces, chacune d'elles lui communique dans un élément de temps (, et dans sa direction propre, un petit
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degré de vitesse v proportionnel h son intensité, et qui est le même que si elle agissait seule, quel que soit d'ailleurs le mouvement que le corps possédait antérieurement.
t lit. Cas où les forces mjisswt dans Ut w'-me direction. — lorsque toutes les forées agissent dans la même direction , les vitesses qu'elles impriment étant aussi dans celle même direclion, elles s'ajoutent, et le corps est animé d'une vitesse résultante égale à la somme algébrique des vitesses partielles composantes.
Or, les forces étant proportionnelles aux vitesses qu'elles impriment dans un même temps a un même corps, il s'ensuit aussi que toutes les forces qui agissent sur le point malériel considéré ont une résultante égale à leur somme algébrique.
En effet, en appelant F, F', F", les forces qui agissent dans la. même direction sur le point malériel considéré, dont la masse est M,
v, v', if, les vitesses finies on élémentaires qu'elles lui communiquent dans le même temps, on a
et comme îa vitesse résultante est
V,=v+»' +&+ etc.
on a aussi en appelant R la résultante des forces m, M» . Mu' . Ma"
ou R=F + F+F"+etc,
ce qu'il fallait démontrer.
De plus, si l'on multiplie cette dernière retalion par le chemin e parcouru par le point malériel dans la direclion commune des forces et de leur résultante, on a
a«=Ffl + F'e+Ffl + etc.
Ce qui exprime que le travail de la résullanle est égal à la somme algébrique des travaux des composantes, lesquels peuvent d'ailleurs être des travaux moteurs ou des travaux résistants (n 1 95).
Enfin, pour que te mouvement du corps soit uniforme, il faut que ta somme des forces qui tendent à lui imprimer de la vitesse dans un sens, soit égale à celle des forces qui tendent à lui en imprimer dans le sens contraire, ce qui conduit à la relation
R = F + F' + F", elc.=o, Ou Re = Fe + F'e -f Ve, etc. = o,
ce qui exprime que la résultante est nulle ou que le travail des forces motrices est égal à celui des forces résistantes.
L'équilibre n'étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, la condition précédente est aussi celte de l'équilibre.
117. Cas où les forces qvi sollicitent le corps n'ont pas la même direction. — Nous avons vu par l'exemple du n" 100, relatif à la cbute des graves animés en même temps d'un mouvement horizontal, que les vitesses communiquées dans des directions diffère nies étaient aussi; complètement indépendantes les unes des autres. .
Eu obéissant ainsi à l'action simultanée de ces forces, le corps recevra des vitesses Ab, Ad, proportionnelles à leurs intensités et dans la direction des forces, et ces vitesses composantes auront uno résultante qui sera la diagonale Ac du parie- »t- rallélogrammc Abcd.
Si l'on prend AB et AD proportionnels aux degrés de vi-
DES VITESSES ET DES FORCES. 131 lesse Aft, Ad, pour représenter les forces P cl Q, qui produisent ces petits degrés de vitesse , la résultante de ces forces, à laquelle est duc la vitesse résultante, devra être proportionnelle au degré de vitesse communiqué dans le meme temps et dans le sens de son action, ou a Ac -, on aura donc
