AC'=R'=AB'— AD'=P'— Q

et par suite

R'.Ao=P'.Ao-Q'.Afl.

La différence des deux résultais provient de ce que dans le premier les forces P et Q agissent toutes deux dans le sens du chemin parcouru, tandis que dans le second la force Q agit en sens contraire de ce ctiemin et donne lieu a. un travail résistant.

Cela résulte d'ailleurs avec évidence de ce que la projection de la résultante est égale à la somme algébrique des projections des composantes sur une ligue quelconque, pour laquelle on peut prendre la direction du chemin réellement parcouru, et qu'en multipliant les deux membres de cette égalité par le chemin parcouru, elle exprime le théorème général suivant :

Quand un point matériel est sollicité par un nombre quelconque de forces situées dans le même plan, qui tendent à lui imprimer ou lui impriment un mouvement de transport, le traviil déosloppé par la résultante est égal à la somme des quantités de travail des forces qui sollicitent le corps dans te sens du cliemin parcouru, moins la somme des quantités de travail des forces gui le sollicitent en sens contraire.

Sans entrer dans des Fi* »■ développements théori-

ques que ne comporte pas l'objet spécial de notre enseignement, nous nous bornerons à dire que des raisonnements analogues s'appliqueraient au cas de plusieurs forces agissant sur un même corps dans des directions quelconques dans l'espace.

Le travail élémentaire étant la même chose que ce que l'on nomme le moment virtuel, l'énoncé ci-dessus revient îi dire que la somme des moments virtuels des composantes, pris avec le signe convenable, est égale au moment virtuel de la résultante; ce qui est le principe connu des vitesses virtuelles.

DES VITESSES ET DES FORCES

ISS. Cas où le point matériel tend à tourner autour d'un point ou d'un axe fixe. — Si le point 0 d'où l'on abaisse les perpendiculaires sur les directions dos deux forces P et Q (fig,'36) est la projection de l'axe de rotation, ou le point autour duquel le plan des forces et le corps tendent à tourner, la relation des moments (tr 113)

Bx06=P.Oo±Q.Oc ou R.r=Pp±Q î , en faisant Ob=r, Oa=p et OC=g, devient , en multipliant tous les termes par l'arc a, décrit a l'unité de distance,

Or rd[, pa„ qa tl sont respectivement les arcs élémentaires ou finis décrits par les pieds des perpendiculaires, ou

montre pour le mouvement de rotation la proposition établie déjà pour le mouvement de translation.

1S3. Condition du mouvement uniforme ou de Vêquilibre.

Cas où toutes tes forces sont contenues dans le même plan. — Si le point matériel que l'on considère n'est sollicité mie par des forces situées dans le mémo plan , il restera dans ce plan, et il ne pourra d'ailleurs il un instant quelconque obéir qu'à un mouvement de translation ou à un mouvement de rotation, ou à ces deux mouvements h la fois.

Tout mouvement de translation du corps pouvant, d'après ce que l'on a vu, êlre décomposé en deux autres, selon deux

Rra, = Ppfli ± Qq ai .

les chemins parcourus par les points d'application des forces B , P et Q , dans leur direction propre , et par conséquent Qrui , Pp«| , Qqa lt sont les quantités de travail respeclivement développées par ces forces, et la relation ci-dessus dé-

directions quelconques prises dans ce plan , le mouvement réel du poinl matériel sera uniforme si les dcu\ mouvements relatifs ou composants le sont. Donc la condition de l'uniformité du mouvement de translation revient h celle de l'uniformité du mouvement suivant deux directions données. Celle dernière sera satisfailc si les forces qui sollicitenl le point matériel, ou leurs composantes dans le sens de chaque axe, qui agissent pour accélérer si>n mouvement, déiefopiieut un travail (pil à relui des forces qui tendent h relarder ce mouvement ; ce qui revient à dire que la somme des composantes qui agissent dans un sens doit être égale à la somme de celles qui agissent dans un sens contraire, ou que la somme totale doit être nulle, selon la convention établie précédemment.

Donc le mouvement de translation d'un point matériel sera uniforme lorsque, les sommes respectives des composantes des forces qui le sollicitent selon devx dira-lion*, quelconques prises dans ceptan seront srpanment égales à zéro.

L'équilibre n'étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse esL nulle, la même condition sera celte de l'équilibre quant à la translation.

Pour le mouvement de rotation, il est évident que, si loules tes forces qui agissent dans le sens du mouvement et teintent à l'accélérer développent un travail égal à celui des forces qui agissent en sens contraire et tendent a retarder le mouvemen! , celui-ci reslcra uniforme cl le travail résultant sera nul , ce qui revient ù dire que pour l'uniformité d» mouveulent de rotation il faut et il sufji/ que lu .vmiint: des quanti' tés de travail ou celle des moments des forées qui tendent à faire tourner dans un sens soit égale à la somme des quantités de travail ou des moments de celles qui tendent à faire tourner en sens contraire.

L'équilibre n'étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, les mêmes conditions seront celles de l'équilibre d'un nombre quelconque de forces situées dans un plan.

DES VITESSES ET DES FOItCES. 137

124. Cas oit les forces agissent d'une manière quelconque dans l'espace. — ■ Le mouvement le plus lïi'ik'imI qu'un corps puisse prendre se compose d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation autour d'un point quelconque; or, quant au mouvement de translation, il est encore évident qu'il sera uniforme si les (rois mouvements parallèles a troix axes quelconques perpendiculaires cnlre eux , dans lesquels on peut toujours le concevoir décompose, sont uniformes , ce qui conduit a la condition que les sommes des quantités de travail développées dans chacune des directions des axes soient séparément nulles.

Quant au mouvement de rolalion, remarquons d'abord que dans le cas le plus général , le centre autour duquel le mouvement de rolalion s'ciïcclue peut varier h chaque inslanl, ce qui lui fait alors donner le nom de centre instantané tic rotation. Cela posé, il est évident que la rolalion autour d'un centre quelconque peut être décomposée en trois rotations, autour de trois axes parallèles aux précédents , el passant par le centre inslantané de rotation , pour le moment que l'on considère. Dés lors aussi le mouvement résultant de rotation sera uniforme, si les mouvements composants le sont. La rotation autour de chacun de ces axes n'étant due qu'aux composantes perpendiculaires u cet axe, l'uniformité du mouvement aura lieu si les sommes des moments des composai) Les des foi ces respectivement parallèles à deux des axes pris par rapport au troisième sont séparément nulles, ce qui conduit a trois relations enlre les moments qu'il faut successivement prendre par rapport h chacun des axes.

Les conditions générales de l'uniformité du mouvement d'un point matériel sollicité par des forces extérieures quelconques se réduisent donc aux suivantes :

1° Les quantités de travail développées par ces forces dans le sens de trois axes rectangulaires quelconques, ou les sommes des composantes dans le sens de ces axes , doivent être nulles.

2" Les sommes des moments des forces données par rapport à ces irais axes doivent être séparément nulles.

L'équilibre n'élant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle , ces conditions sont aussi celles de l'équilibre des forces.

La discussion précédente montre que l'élude des mouvements produits par des forces quelconques peut toujours Cire ramenée à celle du mouvement de translation dans ]e sens des forces ou de leurs composantes , et du mouvement de rotation autour d'un axe donné. Nous avons déjà examiné le premier de ces mouvements, il nous reste à nous occuper du second ; mais auparavant il convient d'étendre les théorèmes de la composition des forces au cas où elles sont parallèles.

125. Forces parallèle!. — L'on a vu au n° 108 que la projection de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées îi un même point matériel, sur une droite quelconque est égale n la somme algébrique des projections de ces forces sur celte même droite. La démonstration de celle proposition élant complètement indépendante des directions des forces cl des angles qu'elles forment entre elles et avec leur résultante il eu résulte qu'elle est encore vraie quand on fait la projection sur la résultante elle-même , d'où il suit: que larésvltante d'un nombre quelconque de forées appliquées à un même point, est égale à la somme algébrique des projections de ers forces sur sa direction propre. C'est d'ailleurs ce qu'il est facile de voir directement. La figure 37 monlrc en effet que l'on a

AC ou R = CD' + D'A=AB'+AD'

ou R=P'+Q'

DES VITESSES ET DES FORCES

en nommant P' la projection AB'deAB ouP'sur AC, el Q'ia projection AD' de AB ou Q sur AC.

Les projections P' et ff des forces P et Q sur la direction de la résultante sont d'ailleurs évidemment les composantes de ces forces dans le sens de celle résultante.

Dans le cas où l'angle formé par les directions des forces

projections de ses composantes. On voit tout de suite en effet sur la figure que

AC ou R = AB' — CB'=AB' — AD'=F — Q'.

126. Conséquences relatives à la composition des forces parallèles. — Les deux propositions précédentes sont tout à fait indépendantes de In grandeur des angles BAC et DAC, ou de la direction des forces P et Q ; elles ne cessent pas d'être vraies a mesure que le point A de concours des forces s'éloigne de plus en plus et quand, ces forces devenant parallèles, il se trouve à l'infini. On a alors pour deux forces parallèles, dans le premier cas oùelles agissent dans le mémo sens,

et pour le second cas où elles agissent en sens contraires , R=P-Q.

127. Point d'application de la résultante des forces parallèles. — Le théorème des moments fn" 119) démontré pour un point quelconque autour duquel les forces tendraient a produire la rotation , étant pareillement indépendant de la direction des forces, il est vrai aussi pour le cas où elles sont parallèles, d'où il suit, d'abord, que le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles situées

rig.it.

P et Q serait obtus, il est facile de voir que la proposition du n° 108 subsiste et que celle que nous venons d'établir se modifie en ce sens que ta résultante est alors égale à la différence des

dans un même plan par rapport h un poinl quelconque pris dans ce plan est égal à la somme algébrique des moments tic ces forces, ce qui fournil un moyen de déterminer la position de la résultante.

Soient par exemple doux forces parallèles P et Q agissant dans le môme sens, La proposition précédente devient

Rr — Pp±Q?

et l'on a d'ailleurs R=P+Q.

Si l'on prend pour centre des moments un point de la résultante elle-même on a évidemment r—o cl Rr~o, et par suite Vp^Qg— o, ce qui ne peut être qu'autant que l'on a Vp = Qtj et que les forces P et Q dirigées dans le même sens tendent îi produire la rotation par rapport au poinl choisi pour centre des monit'iils dans des sens contraires. Donc ,

directions des forces I' et Q, cl toutes les droites perpendiculaires à la résultante et aux deux forces, sont partagées en parties réciproquement proportionnelles a ces forces; ce

qui est exprimé par la relation S = 2. Il on esl de même

réciproquement proportionnelles à leurs "*'"*' intensités. On a d'ailleurs, d'après la figure, en nommant à la distance des directions de P et

de loule siTault' menée entre les directions des forces P et Q; quels que soient les points d'application A et B de ces forces l'on voit <jiic la résultante de ces forées coupe austi celle li^nc en parties

de Q

par suito

d'où

d=p+g q=d—p clVp = Q{d—p);

d'où

DES VITESSES ET DES FORCES. 141 Dans le cas où les forces P et Q sont dirigées en sens contraires,

et Ton a la relation

Rr=Pp—Qq=o.

Or, pour que, dans ce cas, les forces P et Q qui sont de o sens conlraires, puissent produire

rî jp | f ■ la relation en sens opposés par J C || " ra PPort a un point de la résul-

i»rr f lanlc, il faut que ce point et la

M 'f résullanle elle-même soient en défi " hors des deux directions des forces.

!l& ,0 - Si l'on appelle d la dislance de ces deux directions l'on a par les relations ci-dessus </=?— p d'où q=p-\-d et

Pf =Qp + (tf ou (P—Q)p = Qd d'où p=£- Q ,

ce qui donne la distance de la résultante à la direction de la force P et par suite sa position.

Si les points d'application des forces P et Q sont en A et B, la résultante coupe la droite AB prolongée en un poinl C loi que ses dislances p et q aux direclions des forces PelQ sont réciproquement proportionnelles à ces forces.

128. Réciproquement Imite force donnée peut être décomposée en deux autres forces parallèles agissant en des points donnés. — - Soit en effet une force R agissant en un point donne C, d'une droite supposée rigide et inflexible, il sera toujours facile de trouver les valeurs de deux autres forces P et Q agissant à des points donnes A cl B, donl les dislan- CCs P cl Q à la direction CR de la force R, produisent le même effet que celle force. Il suffira de les déterminer de manière que l'on ail en même temps

P+Q = IL si elles doivent agir l'une à droile et l'autre ù gauche de R ,

P— Q = R si !cs points A et B sont tous deux du même cûlé de It , et dans les deux cas

Ppe=Û3 d'où Q=£ P.

Ces deux relations donneront

p(l+£) = Il d'où P=4-R=?R,

d étant la distance des deux directions données ;

ou p(l—2)=K d'où P = -3— R.

Ce qui indique que la force P agit en sens codI rai rc de R.

Les deux forces P et (J ainsi déterminées ont une résultante unique précisément égale a H el peuvent par conséquent remplacer cette force puisqu'elles développent le même i ■-■.h

Celte décomposition d'une force en deux autres parallèles agissant en des points donnés trouve de fréquentes applications dans la pratique.

Quand par exemple l'on veut déterminer la pression qu'une poutre, qu'un arbre de roue hydraulique, d'un poids connu ou chargé d'un poids douné, exerce sur ses points d'appui on est conduit i une décomposition de ce genre.

Soit ainsi une poutre chargée en un point C de sa longueur Se, d'un poids 2P, et reposant sur deux points d'appui A et B * situés aux dislances F et I" du point C. En appelant

F et P' les deux pressions ou composantes cherchées, observant que

P'-|-P"=2P et en prenant les momeuls de la résultante

DES VITESSES ET DES FORCES

el des composantes alternativement par rapport aux points d'appui A et B, on a dans le premier cas ,

dans le second,

P'X2c = 2PXl' d'où P = ^f-

S'il s'agissait d'une roue hydraulique ces deux composantes P' et F' seraient les pressions exercées par ses tourillons sur leurs coussinets en vertu de la force 2P.

En décomposant ainsi toutes les forces qui agissent sur l'axe y compris le poids propre de la roue et de son arbre , on aurait sur chaque tourillon un groupe de forces concourantes dont la insultante partielle donnerait la pression totale exercée sur chaque coussinet.

12D. Extension des théorèmes précédents à m nombre quelconque de forces parallèles comprises ounon comprises dans vn même plan. — Les théorèmes précédents peuvent s'étendre à un nombre quelconque de forces parallèles en composant de proche en proche la résultante des dcu.\ premières avec une troisième, et ainsi du suite; d'où l'on conclut :

1= Que la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles est égale à la somme de celtes qui agissent dans un sens moins la somme de celles qui agissent en sens contraire}

sur un plan quelconque, et qu'on nomme 0 X le point de

P"X2c = 2PXC d'où V-^-,

2" Que, si les forces sont dans un mémeplan,ler/tomentdela résultante pa r rapport àunpoint quelconque pris dans le plan qui contient toutes les

fis;, il.

[ 0 forces, est égal à la somme ou à la dif~ férencedesmomentsdescomposantes.

3° De même, si des points d'application A, B et 0, des forces P, Q, et de leur résultante R, on abaisse des perpendiculaires AA', BB', Oty,

Ul COMPOSITION DES MOUVEMENTS;

rencontre de la ligne AB avec ce plan, point qui se trouver» nécessairement sur l'intersecliou du plan ABB'A' qui cunlicnt les perpendiculaires avec le plan donné, il est facile de voir que de la relation déjà démontrée a.OO,=P.AO, + Q.I

n déduira :