ET DE L'EQUILIBRE DES TENSIONS. 1IÎ

exercent les unes sur les autres, soit pour calculer les effets mécaniques de ces appareils, soit pour en déterminer les dimensions, de façon qu'ils soient en état d'y résister et que la stabilité du système ou de la construction soit assurée. Nous allons indiquer quelques exemples choisis dons les applications les plus simples.

1U2. De l'équilibre des cordes. — Lorsqu'une corde ou une lige AB est sollicitée a ses Jeux extrémités A et B par des forces P, Q... el I", Q'--., pour qu'elle soit en équilibre sous l'action de ces forces cxlé- / ricurcs, il faut évidemment que les •A^ composantes de ces forces perpen- \ diculaires h In direction AB aient i une résultante nulle ou se fassent équilibre. Quant aux composantes dirigées dans le sens de la corde il faudra aussi que la somme de celles qui agissent dans un sens, de A vers B par exemple, soit égale a la somme de celles qui agissent en sens contraire.

Ainsi la condition générale de l'équilibre d'une corde ou d'une tige sollicitée par des foi-ces quelconques, c'est que toutes ces forces se réduisent ;'i iIcun forcer égales et contraires agissant dans sa direction propre. Dans le cas d'une corde qui n'offre pas de rigidité, de résistance à la compression, il faut de plus que ces deux forces agissent pour l'étendre , pour l'allonger et soient des forces de tension. Dans celui où il s'agit d'une tige ou d'une barre solide , celte dernière condition n'est pas nécessaire et les efforts peuvent produire l'extension ou la compression , maïs sous cette réserve cependant que les réactions moléculaires soient dans ce dernier cas assez énergiques pour que le corps ne se déforme pas par refoulement ou par flexion.

Dans tous les cas les deux forces égales et opposées qui sollicitent la tige donnent la mesure de la tension qu'elle éprouve ou de l'effort dccowprm/onauquel elle doit résisler. Les règles déduites de l'expérience et de la théorie de la ré-

DU CENTRE DE GRAVITÉ

sislance des matériaux monlrenl quelles proportions il convient lie donner h ces cordes ou tiges pour qu'elles résistent convcnnhlemenl à ces efforts.

1JJ5. Équilibre entre les efforts transmis par des cordes ou des tiges gui concourent en un même point. — Il esl évident que dans ce cas il faut et il suffit pour 1'équilihre que l'un quelconque des efforts développés soit égal et directement opposé i'i la résultante de tons les aulres. Dans le cas où il y a un support il faut que la résullante de toutes les forces soit égale et eonlraire îi la résistance que ce support oppose.

ltf i. Paulin mobile. — Ainsi quand un réverbère est suspendu p;ir une chape C à poulie mobile à une corde attachée en deux poitils fixes A el B, » il arrive à une position d'équilibre et les relations enlrc le poids P du réverbère, el les tensions T et T' et les angles qu'elles forment avec la verticale sont déterminées par les conditions précédentes.

11 est clair d'abord que si l'on décompose chacune de deux tensions T el T' en deux composantes, \r l'une verticale et l'autre horizon-

«(■»■ laie, la somme des composantes

verticales devra êlre égale au poids P et les composantes horizontales seront égales et de sens opposés.

Déplus l'équilibre ayant lieu, abstraction faite du frottement, il faut que les tensions T et T' soient égales. Ce qui montre aussi que leurs directions font des angles égaux de jMirt et d'autre de la verticale.

181S. Cas d'un pilier. — Si les tensions T cl T' sont celles d'une cluilne de pont suspendu, qui appuient un rouleau C sur lequel elles agissent sur un support Al!, il faut que leur militante Palisse dans la diivclion de ce support et l,>

ET l>Ë L'ÉQUILIBRE DES TENSIONS. IflJ)

presse sur sa base ; car si elle passait au dehors , selon «ne ligne CD' par exemple, elle tendrait à le faire tourner autour de son arête inférieure B el à le renverser. Quoique d'une antre part le poids propre Q du pilier s'oppose à celle rotation, il n'en est pas moins prudent et même nécessaire de satisfaire, soit par la direction des tensions, soit par la constmclion du support, a la condition que la résultante de ces tensions passe dans l'intérieur de la base BB' du pilier et aussi près que possible de la verticale de son centre de gravi lé.

136. Du polygone funiculaire. — On nomme ainsi un polygone formé par des cordes, des chaînes ou des liges dont les sommets sont sollicités par des forces quelconques. L'équilibre d'un pareil système est soumis à des règles faciles a démontrer.

Supposons d'abord que le polygone n'ait pas tous ses côtés dans un même plan et soit représenté par le contour

ABCDEF. Soient P, Q, It, S, T.... les forces qui sollicitent chacun dessommels A, B, C, D, E;

T,T,,T,, T,, T t .... les tensions respectivement éprouvées parles côtés AB, BC, CD, DE, EF.

Il est évident que si le polygone entier esl en équilibre , il devra en èlro de même de tous ses sommets séparément ,

170 DU CENTRE DE GRAVITÉ

et des lors en appliquant le raisonnement du n° (iB3) précèdent , nous voyons 1° que deux côtés quelconques qui se réunissent a un même sommet et la direction de la force qui sollicite ce sommet doivent être dans un même plan ; 2 e que la tension T, doit cire égale et contraire à la résultante de la force P et de la tension T ; que de même cette lension T, doit être égale et contraire a la résultante de la force Q et de la tension 1,, et par conséquent qu'en remplaçant au sommet C la tension T< par ses deux composantes P et T, les foi'ccs P et Q et les tensions T et T,, supposées transportées au point G parallèlement à elles-mêmes, devront s'y faire équilibre. On verrait de même que les forces P, Q, R cl les lensions T et T,, supposées transportées parallèlement au sommet D , devraient s'y faire équilibre.

En continuant ainsi , l'on arrivera à reconnatlre que, pour l'équilibre du polygone funiculaire, il faut et il suffit que toutes les forces extérieures et les tensions des deux cûlés extrêmes étant supposées Iran* portées parallèlement à ellesmêmes en un sommet quelconque, elles s'y fassent équilibre.

Ce qui précède est indépendant de la direction des forces et de la nature des côtés et s'applique au cas où ces cotés sont soumis à des efforts de compression au lieu de l'être fi des tensions, sous la seule réserve que ces côtés devront être assez rigides pour résister à ces compressions, sans se déformer.

137. Cas oit les forces qui sollicitent le polygone funiculaire sont des poids. — Dans ce cas les forces P, Q, R, S .... sont toutes verticales et parallèles, et il est d'abord facile de voir que le polygone esl née essai rem cul plan. Car la direction de chaque force et celles des deux eôtés qui se réunissent au sommet qu'elle sollicite sont dans un même plan, qui est vertical ; et comme par un même côté l'on ne peut mener qu'un plan vertical, il s'ensuit que les deux plans verticaux

ET DE L'EQUILIBRE DES TENSIONS. 171 qui contiennent un même côlé du polygone se confondent , et ainsi des autres.

De plus, toutes les forces extérieures P, Q, R, S .... et les tensions T el T, des deux cùlcs extérieurs devant se faire équilibre , il faut que ces tensions fassent équilibre a la résultante des forces parallèles.

Si le polygone n'est sollicité que par son propre poids , comme dans le cas d'une chaîne articulée, la résultante de toules les forces exlérieurcs est le poids du poljgone et passe par son centre de gravité , el les directions des deux tensions T et T. doivent, pour l'équilibre, se couper en un même point de celle résultante ou de la verticale du centre de gravité.

1S8. Détermination des tensions par construction graphique. — D'après ce que l'on a vu, si, par le côté AB prolongé, l'on porte :'i une ccrlaine échelle une longueur égale à la tension T, et qu'on construise le parallélogramme Tiabtl, le côlé Ba représentera, à la mémcéchellc, la tension T, du cote BC , et lo cillé M la force extérieure P. De plus, si l'on mène par le point B, par exemple , une horizontale indéfinie sur laquelle on porle les longueurs BC, CD', D'E', E'F', PC proportionnelles aux forces P, Q, R, S, U, et qu'au même point on élève BO perpendiculaire à AB et de longueur pro-

portionnelle a la tension T ou à B6 , il est clair mie le triangle BOC, ayant deux célés BO et BC respecli veinent perpendiculaires aux cotés Bi et Bd du triangle hbd et deux

DIT CENTRE DE GRAVITE

cotés 110 el BC proportionnels h ces mêmes côtés B& el Bd, sera semblable au triangle RM. Donc le troisième côté OC du premier sera proportionnel au troisième côté bd ou Ba ou n In tension T, , et comme il sera en outre perpendiculaire au coté BC du polygone, le triangle suivant OC'D' sera dans les mêmes conditions, par rapport au côlé CD , à la force Q el a la tension T,, qui sera proportionnelle au côté OD', et ainsi de suite.

Donc si les poids qui sollicitent les différents sommets d'un polygone funiculaire se font équilibre et si l'on porte sur une ligne droite horizontale des longueurs respeclivcment proportionnelles à ces poids, puis que des points de celte ligne correspondant a chaque sommet on mène des droites perpendiculaires aux directions des côtés du polygone, toutes ces droites se couperont en un même point et leurs longueurs seront proportionnelles aux tensions des côtés du polygone qui seront ainsi déterminées.

180. Des punis suspendus. — Les ponts suspendus nous offrent un exemple de l'application des notions précédentes à un polygone aux sommets duquel sont fixées des tiges nommées suspensoires , qui soutiennent le tablier du pont sur lequel on suppose uniformément répartie une charge d'épreuve qui est fixée par les règlements d'administration à 200 kilogrammes par mètre carré.

Le polygone est formé par des chaincs en fer à longs maillons articulés, faits en fer rond ou mieux en fer méplat laminé , ou par des faisceaux de fils de fer étendus aussi parallèlement que possible el reliés avec des fils de fer réunis. Des menottes reçoivent les tiges de suspension , qui sont elles-mêmes faites avec des barres de fer ou des faisceaux de fils de fer.

H importe de déterminer la forme du polygone ou la position de chacun de ses sommets el la tension de chacun de ses côtés. Supposons d'abord qu'il s'agisse du cas le plus ordinaire, celui où les deux piliers qui supportent la chaîne

ET DE L'ÉftlULUIRE DES TENSIONS.

onl la même hauteur et où l'intervalle qui les sépare est partagé en un nombre impair de parties égales. Il en résiliera que le côlé inférieur du polygone sera horizontal. Si l'on admel qu'il n'y ail qu'une chaîne de chaque côté, le poids

contiennent les deux poires de suspensoires consécutives, P sera la charge de chaque suspensoire.

En nommant T 0 la tension du côlé horizontal, celle Icnsiun devra, peur chaque articulation, faire équilibre aux forces verticales qui tendent !i faire tourner les côlés qui s'v assemblent. Celle considération nous permet de déterminer la relation entre les bailleurs des divers sommets et leurs distances au sommet le plus bas E ou E' de chaque branche du polygone.

Soit, en effet, y la hauteur d'un sommet quelconque B au-dessus du côté inférieur EE';

se la distance de la verticale de ce sommet au point E.

On devra avoir, pour l'équilibre autour de l'articulation B, la relotion des moments

T„v=Pi + PX2i + Px3/ + .-. + P.>jf,

en supposant que la suspensoire lié soit la-»* à partir du colé horizontal.

Celle relation , d'après les propriétés cwnuucs des progressions, revient à

FJg. M.

supporté par chaque paire de suspensoires esl égal à celui d'une travée, de sorle que si l'on nomme 2P le poids d'une travée ou de la portion du pont comprise entre les plans verticaux qui

i 1\ DU CENTRE DE GRAVITÉ

Si on l'applique ou pilier, en nommant II sa hauteur au-dessus du côté horizontal, l'on en déduit

ce qui donne la tension ilu côté horizontal et tait voir qu'elle est d'autant plus faillie que les piliers extrêmes sont plus élevés.

La relation précédente

devient, en remarquant que x = nl,

Ttf=^(**+<sQ d'où y = ^{a? + xl),

ce qui montre que la courbe qui passe par tous les sommets du polygone est une parabole.

Le sommet de cette parabole , qui doit elrc symétrique à droite et à gauche du côté horizontal E E', a évidemment

pour ahscissc x = — ^, puisqu'il est & droite du point E et que l'on a couiplé les abscisses x h gauche de ce point; on en déduit pour l'ordonnée du sommet de la parabole

y = îfe(? - ï) = — 8T'

ce qui donne la position de ce sommet au-dessous du côté horizontal du polygone.

L'emploi tic plusieurs chaînes de chaque côté du pont conduit a en disposer une partie de façon que l'un des sommets soit au point le plus bas du polygone. Des considérations analogues aux précédentes permettent d'établir la relation des tensions.

En effet, si l'on appelle T 0 la tension des deux brins qui s'articulent au point le plus bas cl qu'on la décompose eu deux forces, l'une T", horizontale, l'autre T% verticale ,

ET DE L'ÉQUILIBRE DES TENSIONS. 173 celle-ci sera pour chaque brin égale fi £ el l'on aura , pour «primer que l'équilibre a lieu autour d'un sommet quel-

conque B entre les efforts verticaux et la tension horizontale T'„ , la relation

V# = Pl + PX2J + PX3J +....+ P(n—l)l + çnl,

on , d'après les propriétés connues des progressions ,

attendu que x' = nl.

Celle relation montre que la courbe qui passe par les sommets du polygone encore csl dans ce cas une parabole, cl que le sommet de celle courbe est , pour le cas actuel , le point le plus bas du polygone.

il étant la hauteur des piliers , on en déduit

et par suite la Icnsion T s des cotés inférieurs, puisque la courbe donne la posilion de tous les sommets cl par suite l'inclinaison des eôiés.

Connaissant la tension du côté inférieur horizontal, il est facile d'en déduire celle de tous les autres côtés â l'aide du théorème du n° iBB. En effet, si l'on élevé sur une droite ALN eu un point 0 une perpendiculaire KO représentant , a

horizontal , cl que de pari cl d'autre du pied K de celte per-

scront proportionnelles aux lensjuns des côtés DE, CD, BC, etc., D'E', CD', B'C, etc., et les représenteront a l'échelle.

Or la figure montre que l'on aura

01=TW1V|-P\ 0a=T,=i/T , ,+(2P) , 1 03=T,= v /TVH3F) i ,

etc., rc qui donnera directement les tensions des différents côtés du polygone a partir du côté inférieur.

Pour le cas où l'un des sommets est au point le plus lias du polygone, on ferait la même construction et l'on aurait les mêmes formules pour exprimer les tensions T„ T,, elc, au moyen de la tension T„ des deux brins inférieurs.

ICO. Application. — Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un pont de 40 mètres, cl ayant 32 suspensoires, Écartées les unes des antres de l m ,20, sauf les extrêmes de chaque coté qui sont a l m ,40 de la verticale des appuis.

La largeur du tablier est supposée avoir 5 mèlres, et le nombre des chaînes est de quatre.

Admettons, ce qui est assez conforme aux constructions ordinaires, mie le tablier pesé 1000 kifogr. par mètre courant. La charge d'épreuve étant de MO kitogr. par mètre carré i' cela revient aussi a 1000 kiiogr. par mètre courant pour les quatre chaînes, ou en tout par chaîne et par mètre

pendiculaire on porte des longueurs El, K2, K3.... Kl', K2', K3'....

égales, à la même cchelle, aux charges P,

" 2P.3P IcslignesOl,

02,03.... Ol'.OÏ, 03'....