V = MV

Il suit évidemment de la que, pour qu'un corps ne reçoive qu'un mouvement de transport parallèle, il faut et il suffit que la résultante des foin s /'pplii/in'is prisse par son centre de gravité : car, si clic passait ailleurs, le corps, sollicité d'un côlé par cette force, et de l'autre, en sens contraire, par la résultante des forces d'inerlie , qui passe par le centre de gravilé, tendrait à prendre nécessairement un mouvement de rotation en même temps qu'un mouvement de translation.

Enfin il est encore évident que la force vive totale communiquée au corps dans le mouvement parallèle est égale à

et égale au double de la quantité de travail développée pour fa produire.

lflK. Travail de la pesanteur dans les systèmes articulés ou composés. — Le travail de toutes les composâmes étant égal à celui île lu iTsultantn, il s'eiisiiii que iliins les mouvements des corps ou des systèmes articules pesants on pourra substituer le travail total i!c la résultante ou du poids lolalau travail de tous les poids partiels, et comme le travail de la résultante se mesure par le produit du poids total et du chemin parcouru par son point d'application, il s'ensuit que dans les machines ou systèmes oit il y a des pièces qui , sous l'action de la pesanteur, montent ou descendent , le travail total développé par ta pesanteur sera mesuré par le produit du poids total, et de ta hauteur dont te centre de gravité général se sera élevé ou abaissé.

Donc aussi la condition pour que les poids qui descendent fassent sans cesse équilibre aux poids qui monlent, ou pour que le travail développé par les uns soit égal au travail dé-

182 COMPOSITION GÊN6BALE ET EQUILIBRE DES FORCES, veloppé par les autres, c'est que le cintre de gravité général reste toujours à la mime hauteur. Telle est l;i condition d'équibre des ponts-levis, des machine* ;'i iialani'ier, de.

Le principe exposé au n° Bt sur la mesure du travail que la pesanteur développe sur un corps qui parcourt une courbe quelconque, en mordant ou en descendant, s'applique donc évidemment aussi a un système quelconque de points matériels pesanls , puisque dans ce cas le travail développé par la pesanteur sur tous ses points est égal a celui qui correspond ù l'élévation du centre de gravilé, qui n'est lai -même qu'un point matériel pesant.

106. Un système de forces quelconques agissant sur un corps solide peut toujours se réduire à deux forées équivalentes , appliquées à deux de ses points et dont l'un serait clioisi à volonté. — Il est d'abord facile de faire voir que les forces proposées peuvent être réduilcs a trois autres appliquées en trois points quelconques de l'intérieur du corps. Soient en effet F l'une quelconque de ces forces et 0 son point d'applicalion ; on peut la décomposer en trois autres F„, F t , F„ selon les directions AO, BO, CO et supposer ces composantes trans-

Fig. eo. n j ns i mx poinis a, B et C trois

groupes de forces concourantes qui auront chacun une résultante unique, et le travail de ces trois résultantes R„, U ( , R„ sera égal à la somme des Iravaux de toutes les forces appliquées au corps.

De plus , le système des Irois forces R, , R, , R, peut èlre réduit à deux forces équivalentes aux proposées, cl dont l'une serait appliquée au point A choisi arbitrairement. En effel, par re poinl A el par les direclions des forces lt à el

portées aux points d'applicalion A, B et C. Ces trois composantes développeront le même travail que leur résultante. En opérant Je même sur taules les autres forces qui agissent sur le corps, on aura

R, concevons deux pions et supposons d'abord que ces plans ne se confondent pas et qu'ils aient pour intersection la droite AD. Prenons sur cette droite un point A', menons AB cl décomposons la force ft, en deux autres, l'une dirigée suivant BA' que nous transporterons en A', l'autre dirigée suivant 8A et que nous transporterons en A.

Opérons de même sur la force R, et décomposons-la en deux autres, l'une dirigée suivant CA' et que nous transporterons en A', l'autre dirigée suivant CA et que nous transporterons en A.

Les trois forces R„ R ( , et R, pourront ainsi cire représentées par deux groupes de forces agissant les unes en A' el ayant une résultante unique R', les autres en A, le point choisi arbitrairement, et ayant aussi une résultante unique R.

Donc, en deflnithe, le système de ioules les forces qui agissent sur le corps sera remplacé par deux forces équivalentes, dont l'une passe par un point pris arbitrai rein en 1 dans l'intérieur du corps.

Il csl d'ailleurs évident, d'après ce que l'on sait déjà, que le travail de ces deux forces sera égal au travail total de toutes les forces appliquées au corps.

107. Condition de l'uniformité du mouvement ou de V équilibre. — Le mouvement du corps ne sera pas troublé , modifié par l'action de ces deux forces ou de celles qu'elles remplacent, si la quantité de travail développé par l'une est égitle et contraire à celle qui est développée par l'autre ; ce qui exige que ces deux forces soient égales ci directement opposées l'une à l'autre pour tous les déplacements possibles du corps.

Telle est aussi la condition de l'équilibre , qui n'est qu'un cas particulier du mouvement uniforme.

iS* COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FOHCE9.

Réciproquement, longue pour tous le» déplacement» possibtes d'un corps la tomme des travaux des forces gvi les sollicitent est nulle, ces forces rte modifient pas le mouvement du corps ou sont en équilibre.

En effet si , parmi tous les déplacements possibles , nous concevons un déplacement élémentaire du corps pour lequel le point d'application À de la force R reste fixe, on pourra regarder ce point comme un ccnlre de rolalion , et le point d'application A' de la force R' décrira autour de A cl du rayon AA' un arc de cercle , un chemin élémentaire AW perpendiculaire à AA'. Mais puisque le travail de la force R est nul par hypothèse, sou point d'npplication ne se déplaçant pas, pour que la somme des travaux ««•<»■ élémentaires de II et de R' soit

nulle, il faut aussi que le travail de R' soit nul; ce qui exige que le chemin AV soit perpendiculaire a la direction de la force R' ou que celle-ci soit dirigée suivant la droite AA'. On ferait voir de mémo que la force R doit être dirigée suivant la même ligne.

Dès lors pour que la somme des travaux élémentaires des deux forces R et R' dirigées en sens conlrairc soil nulle , comme on le suppose , il fout que ces forces soient égales et opposées , auquel cas elles ne changeront nullement l'étal de' m ornement du corps et se feront équilibre.

Donc le mouvement restera uniforme ou le corps en équilibre.

Il résulte de ce qui précède que trois forces qui ne sont pas dans un même plan ne peuvent se faire équilibre; car, dans ce cas, la résultante de deux quelconques d'entre elles ne peut être dirigée dans le même sens que la troisième.

100. Travail et équilibre des forées dans le mouvement de rotation autour d'un axe fixe. — L'on o vu n" ISft que quand un point matériel esl soumis a l'action de plusieurs forces comprises dans un môme plan et qui tendent à le Taire tourner autour d'un axe perpendiculaire fi ce plan , le travail de la résultante de ces forces est égal a la somme des travaux des composantes.

On arrive a un résultat semblable dans le cas où les forces ont une direction quelconque par rapport à l'axe de rotation, attendu qu'alors si l'on décompose chacune des forces en deux autres, l'une dirigée dans le sens de l'axe et l'aulre comprise dans le plan perpendiculaire à l'axe et passant par le point matériel, il est évident que la composante dirigée dans le sens de cet axe supposé fixe ne pourra produire qu'un mouvement de translation détruit par les appuis de cet axe et que par conséquent le travail de cette force sera nul. Le seul travail développé sera donc celui de In composante contenue dans le plan perpendiculaire a l'axe. Il en serait de même non-seulement de toutes les forces appliquées à l'un des points matériels du corps, mais encore de celles qui agissent sur les autres parties. L'on n'aura donc à considérer que des forces comprises dans des plans perpendiculaires a l'axe, et, comme le corps est supposé inflexible cl rigide, il est, quant a la rotation, tout h fait permis de supposer toutes les forces comprises dans un seul et même plan perpendiculaire a cet axe.

Si l'on nomme

o l'arc élémentaire décrit par un point du corps situé à l'unité de distance de l'axe O, dans l'élément du temps.

r la dislance {l'un point quelconque m h ec mime axo, L'arc décrit dans ce même temps par le point m sera ra. Si la force F qui agit sur ce point n'est pas perpendiculaire au rayon Om , l'on pourra la décomposer en deux antres, l'une dirigée dans le sens de ce rayon et qui sera détruite par la résistance du solide parce qu'il n'y a qu'un mouvement de rotation autour de l'axe, cl l'autre F', perpendiculaire au rayon , qui produira le seul travail du à la force F lequel aura pour expression Fra.

Il en sera de même pour toutes les autres forces F„ F, agissant a desdistances r„ r, de l'axe, dans des plans perpendiculaires à cet axe. Leur travail respectif sera du a leurs composantes F'„ F', perpendiculaires aux rayons.

11 en résulte que le travail total de tontes les forces qui agissent sur le corps correspondant a un déplacement angulaire a mesuré a l'unité de dislance aura pour expression olF'r-î-FV-.-r-F'.r.-fete.l.

Ce qui s'exprime en disant que ce travail est égal a la somme des moments des forces extérieures multipliée par l'are élémentaire qui mesure le déplacement des points situés à l'unité de distance. 11 est évident en effet que le produit FV est égal au moment Fop de la force F, A c'est ce qu'il est facile de vérifier sur / \ la figure, et l'on a

mF ou F : mF' ou V : : ont on r : op

d'où Fxop=FV.

Le travail élémentaire de toutes les forces extérieures ne peut donc Être Hg. m. nul, pour un déplacement angulaire

quelconque, qu'autant que la somme des moments des forces par rapport à l'axe de rolalion sera nulle, ce qui

exige que le moment de leur résultante ]c soil aussi ou qu'elle passe par l'aie de rotation.

Ce que nous venons de dire pour un axe considéré isolément s'applique à loul autre axe de rolalion, e( par conséquent, pour que des forces appliquées à un corps invariable, se fassent mutuellement équilibre ou ne produisent aucun mouvement de rotation, il faut que la condition ci-dessus soit satisfaite pour un axe de rotation quelconque.

160. Conditions générales de l'uniformité du mouvement oit de Vcquilibre d'un corps solide, libre dans l'espace, soumis à des forces quelconques. — Il est évident qu'un corps solide entièrement lihre ne peut recevoir et prendre que l'un des trois mouvements suivants :

Un mouvement de translation sons rotation, un mouvement de rotation sans translation, un mouvement simultané de translation et de rotation.

Tout mouvement de translation peut Cire décomposé eu trois autres mouvements semhlnbles par mpporl h trois axes rectangulaires quelconques menés dans l'espace et il est évident que si cliacun de ces mouvements composants est séparément nul, le mouvement résultant de translation le sera aussi, puisqu'il serait représenté par la diagonale d'un parai lé lipïpèdc dont les cotés seraient nuls. Celte condition est d'ailleurs nécessaire et suffisante.

Or, pour que ces trois mouvements suivant chacune des axes soient nuls il faut que les sommes des composantes parallèles a ces axes qui les produiraient soient séparément nulles (u" 18*). Donc en définitive si l'on nomme X, YetZ les sommes des composantes des forces extérieures appliquées au solide invariable que l'on considère, ces forces n'imprimeront au corps aucun mouvement de translation si l'on a en même temps

X = 0, Y=0, Z — 0, le mouvement restera uniforme ou le corps eu équilibre quant ii lu translation.

De même tout mouvement de rotation d'un corps ou des points matériels qui le composent peut être décomposé en trois mouvements de rotation autour do trois axes rectangulaires menés par un point quelconque. Pour que le corps ne reçoive aucun mouvement de rotation il faut et il suffit que les rotations autour de chacun de ces [rois axes soient séparément nulles, ce qui exige que les sommes des moments des forces par rapport à chacun de ces trois axes soient séparément nulles, de sorte que si l'on nomme L, M cl N ces trois sommes, ou devra avoir en même temps L=0, M=0, N=0.

Quand ces conditions seront satisfaites, le travail développé pour imprimer au corps un mouvement de rotation sera nul et il continuera à su mouvoir uniformément ou restera en équilibre.

Pour que le corps ne reçoive ni mouvement de translation ni mouvement de rolation ou que par conséquent son mouvement ne soit nullement altéré, il faut et il suffit donc

1" Que les sommes de toutes les composantes des forces qui sollicitent le corps, par rapport aux trois axes rectangulaires quelconques menés dans l'espace soient séparément nulles.

C'est ce qu'expriment les relations

que l'on nomme les six équations du mouvement uniforme on de l'équilibre d'un corps invariable libre sollicité par des forces quelconques.

170. De la force centrifuge. — Tout le monde sait que quand on allachc une pierre, un corps pesant quelconque a une corde, si en tenant cette corde à la main on imprime au corps un mouvement circulaire dont celle main est \c.

OU MOUVEMENT DE HOTATKi.N.

Contre, In corde Éprouve une tension d'autant plus grande , que le mouvement est plus rapide. C'est sur l'observation de ce fait qu'était fondé l'usage de la fronde, dont les peuples de l'antiquité se servaient comme arme de guerre , et qui n'est plus qu'un jouet d'enfant. Des effets analogues s'observent dans les voitures qui tournent rapidement dans des courbes de petits rayons; dans les manèges, où les chevaux et les cavaliers sont naturel lemenl conduits à se pencher vers le centre de la courbe qu'ils décrivent pour ne pas être renversés. Nous pourrions citer, cl le lecleur trouverait facilement bien d'autres effets de la même cause. Tous prouvent que dans le mouvement curviligne les corps sont soumis à une force particulière qui tend à les éloigner ducentre, et que l'on nomme la force centrifuge.

171. Mesure de la force centrifuge. — Pour comprendre ce qui se passe quand un point matériel est soumis à l'action de la force centrifuge, examinons d'abord comment cette force se développe dans tes mouvements circulaires.

Lorsqu'un point matériel ou une masse élémentaire m passe d'un élément de courbe 06 qu'il vient de parcourir à un outre, il loud, en vertu de son inertie, a continuer de se mouvoir dans le sens du prolongement de cet élément ou de la tangente bd a la courbe, c'est ce que l'on appelle s'échapper par la tangente, et ce qui arrive dans la fronde au moment où l'on cesse brusquement de tenir la corde tendue.

Si la masse m prend la direction de l'élément suivant, c'esl qu'elle est retenue sur la courbe, soit par la résistance de la courbe elle-même sur 1.. quelle elle exerce alors une pression, soil parla tension qu'elle développe dans la corde. Celte pression, cette tension est la mesure même de la force centrifuge, et on ta nomme quelquefois par opposition la force centripète.

Celte force est dirigée dans le sens du rayon de courbure de la courbe ou du cercle correspondant ; et si l'on nomme

V la vitesse dont la masse m est animée dans la direction de ab, et qu'on prenne la longueur bd pour la représenter, il est clair que !a vitesse détruite par la résistance de la corde ou la force centripète, sera représentée par le côlé de du parallélogramme bedf, dont le colé de est parallèle au rayon ob suivanl la direction duquel s'exerce celte force. Or, l'inspection de la ligure montre d'abord que les angles abO et bdc sont égaux comme interne et externe, et les angles deb et ebO comme alterne et interne; et comme d'ailleurs les angles ebO et aOb sont égaux comme formés , île pari et d'autre du rayon, par deux éléments égaux el consécutifs du cercle ou du polygone d'un nombre infini de côlés qui le remplace, il s'ensuit que les angles bdc et deb sont égaux , et le triangle bdc isocèle. Donc, enfin, la vitesse ba, avec laquelle la masse m se meut dans le sens de l'élément suivanl bt, est la même que celle qu'elle avait dans le sens de l'élément précédent. Ainsi, dans le mouvement circulaire, la force centrifuge n'altère pas ta vitesse de rotation; ce qui est ; principes que nous avons exposés sur le travail, puisque celle force dirigée dans le sens du rayon, ou normalement au chemin décrit, ne produit pas de travail dans le sens du mouvement, attendu qu'il n'y a pas de chemin parcouru dans sa direction propre et par son

Cela posé, la vitesse détruite dans l'élément de temps ( par la force centripète, n, d'après la figure, de pour mesure, et les forces centripète et centrifuge qui sonl égales et directement apposées, ont pour mesure commune

d'ailleurs conforme a

i : jJ Lv Ci

Or, les triangles bdc et Qbt sont semblables comme ayant les angles égaux ; l'on a donc

*0: bt :: bd:dc,

„ . bdxbt Vf

Uoù <lc = - m -= li .

En appelant R le rayon du cercle décrit , cl s l'urc élémentaire parcouru dans l'élément do temps t; et comme on a

V = y, d'où i = \t,

il s'ensuit que

, VXV< Vf.

ac— g— — j-i

et enfin que la force centrifuge a pour mesure R . t R

si d'ailleurs on appelle V t la vitesse angulaire ou à l'unité Je dislancc, on a, comme on sail, V = ViR, et l'expression de la force centrifuge devient

F = bi^ , = mV 1 *R.

Ce que nous venons de dire de la force centrifuge dans le cercle s'applique au cas où le point matériel décrit une ligne courbe quelconque, parce qu'en cliacunc de ses positions l'on peut substituer à la courbe le cercle qui lui csl oscu laleur'; la seule différence, c'est que le rayon R de ce cercle varie pour chaque position du mobile, au lieu que dans le cercle il est constant.

172. Travail développé par la force centrifuge. — Lorsqu'au lieu d'élrc retenu par une courbe circulaire ou a une dislance constante du centre de rotation, le point matériel (pie l'on considère peut s'en éloigner, la force centrifuge lui faisait parcourir dans le sens du rayon un certain chemin ;

10g DU MOUVEMENT DE ROiATIUN.

elle développe sur ce corps un travail qu'il eal futile d'apprécier.

En effet, si dans un élément de temps le point matériel se déplace dans le sens du rayon d'une quantité élémentaire V, le travail correspondant de la force centrifuge sera Fr=mVi*Rr,

el le travail total dû ;'i celte force, quand le point matériel sera laissé dii la distance !t" du centre h une distance plus grande IV, sera donné par la somme de tous les travaux élémentaires analogues pris depuis K=R" jusqu'à H=lt'. Or on o vu par des exemples précédents que cette somme est égale à

si l'on nomme V'=V,R' et V=V,R" les vitesses de relation du point autour dit centre. On a donc pour le travail cherche de la force centrifuge

T = 1 ntV 1 '(Il"-R"'J= \ m(V»-VY

On remarquera que le second membre de cette relation n'est autre chose que la variation do la force vive de rotation éprouvée par le point matériel quand, tout en s'éloignant du centre de rotation , il continue de participer à ce mouvement, quelle que soit d'ailleurs la courbe ou le chennii qu'il décrit en s'éloignant du centre. On aurait donc pu déduire directement cette expression du principe des forces vives.

Dans le cas que nous venons de considérer, la force centrifuge tend à augmenter la vitesse absolue du mobile et agit ainsi comme une force motrice qui ac développe dans le mouvement de rotation.

Lorsqu'au contraire le corps se rapproche du centre la force centrifuge s'y oppose cl agit comme une résistance en développant un travail qui a d'ailleurs la même expression

DU MOUVEMENT UE HOTATlUK.

mais qui est résistait t , puisque le chemin parcouru est en sens contraire du sens d'action delà force.

Les considérations précédcnles trouveront leur application dans l'élude des effets de certains récepteurs hydrauliques.

173. Action dt la force centrifuge sur les voitures. — Lorsqu'une voilure marchant rapidement tourne dans une courue de netil rayon , les effets de- ht force centrifuge se foui sentir aux voyageurs qui sont alors pousses icrs h courbe extérieure avec une intensité qui peut Cire souvent

sous ce rapport, les plus grandes vilesscs de marche et les ruions ordinaires des courbes ne préscnlenl aucun danger. En nonttnanl en effet :

l' le poids d'un wagon ou d'une voiture quelconque , h la hauteur de son centre de gravité au-dessus du plan de la voie,

F = - Vi'R la force centrifuge, Se la largeur de la voie.

Il est évident que quand la voiture circule autour du centre 0 de la voie el qu'elle est arrêtée par un obslaclc , tel qu'une ornière ou le rebord d'un rail, elle tend a se renverser au dehors en tournant autour de son point d'appui instantané n. Ce mouvement de renversement est contrebalancé par le poids I' du véhicule, et au moment ou ce

dangereuse pour ceux qui sont places sur l'impériale et qui peut infime le devenir pour la stabilité

l de la voilure.

L'on s'est souvent préoccupé des effets de celle force sur les chemins de fer lorsque l'on a proposé d'employer des courbes de pelit rayon ; mais il est facile de fairevoirpar des chiffres que,

poids et la force centrifuge se fonl équilibre aulour de ce point, l'on a cnlre les moments des deux forces P et

F = -V,*ft la relation

ce qui montre qu'à vitesse et a poids égaux la stabilité de la voiture sera d'aulant plus grande et l'équilibre mieux assuré, que la largeur 2c de la voie sera plus grande par rapport à la hauteur du centre de gravité.

La vitesse de parcours qui correspond rail à cet équilibre sur les voies ordinaires, pour lesquelles 2c=l™,45, pour les voitures dont le centre de gravité serait à 1",00 de hauteur quand elles sont chargées cl dans des courbes de 400 mètres de rayon, serait donnée par la relation

VALsf, d'où V 1 R = y/^-R=47",50

environ , vitesse que l'on n'atleint pas à beaucoup près dans les mouvements les plus rapides des chemins de ter. Ce qui montre que sons ce rapport la force centrifuge n'occasionne pas de danger. Mais il ne faut pas perdre de vue qu'elle appuie les rebords des roues extérieures conlre les rails, produit un cisaillement qui les use et peut contribuer puissamment à des déraillements.

174. Action.de ta forée centrifuge dans les volants. — Dans les machines soumises h des causes périodiques d'irrégularité dans le mouvement, on emploie pour limiter ces irrégularités des pièces rotatives, d'un poids el d'un diamètre considérables, animées d'une assez grande vitesse et sur lesquelles le mouvement de rotation développe une force centrifuge d'une intensité considérable.

Ainsi , par exemple , le volant d'un laminoir à fer établi aux forges de Fourchambault pèse 8000 kilogrammes ; son rayon est de S- ,99.

l'JH

Le nombre de tours qu'il fuit est de 60 en 1' ou 1 par

seconde ;

L'on adoncV,=6 a ,28 en 1" et par suite V,R= 6.28x2.92.

Si l'on considère un segment de l'anneau égal a J de sa circonférence, correspondant à un scid bras, son poids sera de 1000 kilogrammes ; et si son assemblage avec les segments voisins était rompu, le bras éprouverait dans le seus de sa longueur une traction exprimée par

ce qui montre que dans les volants la force centrifuge acquiert une intensité dangereuse et qu'il convient d'assurer h leur assemblages la plus grande solidité.

Un remarquera aussi que la vitesse de rotation de ces organes doit être renfermée dans certaines limites. Car, si par exemple on voulait faire marcher le volant précédent à une vitesse double, ou de 120 tours en 1', la force centrifuge du segment que nous avons considéré deviendrait quadruple ou égale a 4G 956 kilogrammes.

17H. Application au mouvement de l'eau contenue dans un vase gui tourne autour d'un axe vertical. — Dans ce cas les

soil'norinole à la surface qu'aflecte la masse fluide, car si celte résullante était inclinée a la surface les molécules glisseraient sous son action oblique.

Cela posé, considérons une molécule m de poids p et de masse siluée a la distance mp=R de l'axe de rotation AC.

^X6^28 , X2,92=I1739 kilogrammes,

molécules du liquide sont simultanément soumises à l'action verticale de leur propre poids et à celle que la force centrifuge développe horizontalement. Pour qu'elles restent en équilibre sous l'action de ces deux forces, il faut que la résultante de celles-ci

Elle sera soumise dans le sens horizontal cl perpendiculairement h l'axe à une force centrifuge exprimée par | V t *R.

Prenons mB=^V 1 'R, mï)=p et construisons le parallélogramme mBED dont la diagonale normale à la surrace qu'affecte le fluide, rencontre l'axe eu i. Les triangles semblables inpi et (nBE nous donnent

wiB ou-WR : BE ou p:: mp ou R :pi,

Ainsi la ■] islaiice pi, qu'on nomme la sous-normale, ne dépend que du nombre constant ;/ et de la vitesse angulaire supposée aussi consLnite. Par conséquent celle distance est coii.-l.mii', ce qui , d'après les pniprii'li'S connues de la parabole , montre que la courbe génératrice de la surface du niveau est une parabole dont le sommet est au point 0 et dont l'axe est celui de rolalion ; et il serait facile de faire

voir que son paramètre est ^ attendu que l'on a

pp' ou ix:tnp au yi'.mp ou y: pi ou

d'où ' V->v£«-

176. Surface de nii-eau de l'eau contenue dans vit auyet de roue hydraulique à axe horizontal. — En raisonnant de infime que dans le cas précédent , il est facile de voir que si l'on représente par ab la force centrifuge- VR et par ad le

poids p d'une molécule quelconque située à la surface du niveau , l'on aura la proportion

ab ou £Vi*B : bc ou p :: R : 01 ,

im

ce qui monlre que la distance 01 est constante pour loin les points de la surface du liquide et que par conséquent celte

surface est celle d'un cylindre à base circulaire de rayon al donl l'axe est parallèle à celui de la roue.

Ce théorème, dû îi M. Poncelet, sert de base fi la Ihéorie que cet illustre ingénieur a donnée des cffels de l'eau dans les roues fi ougets h grande vilessc *.

177. Du régulateur à force centrifuge. — L'action de la force centrifuge est utilisée dans la construction d'un appareil que l'on nomme régulateur à force centrifuge, ou régulateur à boules. 11 consiste principalement en un axe vertical AH, figure G8, qui reçoit de la machine dont on veut régulariser la marche un mouvement de rotation. A cet axe sont suspendues deux tiges AP et AP', articulées en A, et lerminées par des poids égaux P et F en forme de sphères ou de lentilles. Aux deux points B et B' des tiges AP et AP' sont articulées deux mitres tiges égales BC et B'C formant avec les premières un losange, et qui s'articulent aussi a leurs exlrémilés C et C avec un manchon traversé par l'axe vertical avec lequel il tourne, tout en pouvant avoir un mouvement

" Voiries fMoni tur Fhyâranilque.

de translation dans le sens de la longueur de cel arbre. Ce manchon a une gorge dans laquelle s'engage la fourche d'un levier DE, qui agit sur les organes du distributeur de la vapeur, ou sur toulc antre pièce.

On comprend facilemcni le jeu de cel appareil : par l'effet du mouvement de rotation de l'arbre vertical, les boules du régulateur tendent à s'écarlcr de cet axe et obligent le manchon à s'élever a une certaine hauteur. Si la machine a atteint et conserve sa vitesse normale, les houles et le

manchon se maintiennent à la même position, parce qu'il s'établit un état d'équilibre entre la force centrifuge et le poids des diverses pièces de l'appareil. Quand la vitesse augmente, il en est de même de la force centrifuge, qui tend à écarter davantage les houles et a relever le manchon, et par suite l'extrémité du levier DE. A l'inverse, si la vitesse diminue, les houles se rapprochent de l'axe, le manchon et l'extrémité D du levier HE s'abaissent.

Examinons maintenant les conditions mécaniques de la marche de cel appareil , et supposons d'abord que le manchon CC, ainsi que les tiges BC cl B'C soient équilibrés par

le levier DE, île façon qu'en néplipcant les frotlemenls on puisse regarder les liges AU i l AB' comme libres d'obéir fi la force ceidri Tdftc qui tend è les (Varier, el a la pesanteur des houles, qui tend fi le.* rapprocher de l'axe vertical.

La force centrifuge de chaque lioute est -V*,XOP, et son moment par rapport à l'axe des articulations A est

-WXOPXAO.

Le moment du poids P de chaque boule par rapport au même axe est

PXOP.

Par conséquent, la condition d'équilibre de chacune d'elles est

fv.,xA0 = P, d'où B = ^ ;

ce qui montre que la distance à laquelle les boules s'écartent de l'axe ne dépend pas de leur poids, mais seulement de la vitesse angulaire de rotation, et permet de disposer du poids des boules pour satisfaire a d'autres conditions.

Si l'on nomme T la durée de la révolution des boules autour de l'axe vertical, l'on a V,T=2ir=Û.28

d'où V, = Ç, ctparsuite ^ = ^5.

d'où T=*.y/ç;

ce qui est le double de la durée des oscillations d'un pendule qui aurait pour longueur la bailleur AÛ, à laquelle les boules s'élèveraient a la vitesse normale.

La formule ci-dessus permet de déterminer approximativement la hauteur AO a Inquelle les boules s'élèveront en

pour

On remarquera que dans ce calcul l'on a négligé le poids cl la force centrifuge des tiges AB et AB'.

Ce qui précède ne suffit pas pour assurer l'action du pendule comme appareil régulateur, puisqu'il faut qu'il puisse faire mouvoir le levier DE et les organes de distribution de la vapeur ou de l'eau, que ce levier doit conduire, ou, en d'aulres termes, vaincre les résistances qu'éprouve le mouvement du manchon, quand les houles doivent s'dcarler ou se rapprocher. Ces résistances peuvent s'évaluer ou se mesurer lorsque l'appareil est construit , et si nous appelons

20. la force verticale appliquée au manchon dans la direction de l'axe vertical ,

Y', = (l-}-n')Y, une antre vitesse angulaire plus grande, par exemple, que la vitesse moyenne V, d'une traction n' de celle-ci.

Il est facile de voir que la force 2 Q peut être décomposée en deux autres forces parallèles et égales à Q, appliquées en chacune des articulations B et B', et qu'alors on aura pour l'équilibre correspondant h ces nouvelles conditions, à l'instant où il va être rompu, la relation