VX OP = X ,3,27) "X

ce qui, pour les deux boules, donne un effort de 36 kil., précisément égal à celui que des observations directes ont indiqué pour soulever le collier et le levier d'embrayage.

101. Modification du poids des boules pour obtenir une plus grande régularité. — Si pour certains cas l'on voulait donner à l'appareil plus de sensibilité, il suffirait d'augmenter le poids des boules ; sachant que, pour le régulateur qui nous occupe, l'effort à exercer par les boules est de 36 kil. ou 18 kil. par chacune, si le degré de régularité»' devait être ~

de la vilesse moyenne , le nombre de tours de l'arbre des boules, au moment où le régulateur commencerait à agir,

devrait cire 48+^ = 48,96. Par suite

2(ja LU MOUVEMENT DE ROTATION.

En admettant queOP = 0" ,30, on aurail pour déterminer le nouveau poids P des boules

^ X Î^Î4& , XO,30= 1SF>.

182. Observation relative à la transmission du mouvement. de la vis sans fin à la vanne. — Dans les premières applications qui ont éié faites des régulateurs de ce genre, l'on remarquait qu'ils étaient sans cesse en jeu el que la vanne était continuellement en mouvement pour s'élever et pour s'abaisser, de sorte que la marche de lu rime élail fort irrdgulicre et s'écartait beaucoup en plus ou en moins de sa vitesse moyenne. Cel inconvénient, qui avait été reconnu déjà dans beaucoup d'autres applications, avait conduit les constructeurs;! regarder le régulateur à boules comme défectueux et comme plus nuisible qu'utile à la régularité du mouvement. Mais en examinant de plus prés les circonstances de sa marche ctdcccllede In vanne, je reconnus que les variations perpétuelles de vitesse provenaient de ee que les mouvements communiqués à la vanne étaient trop grands , de sorlc qu'elle s'abaissait ou s'élevait trop rapidement et toujours au delà de la limite qui convenait pour la marche moyenne, el qu'alors aux irrégularités du monvemcul inhérentes au mode d'action de la machine, aux variations du niveau des eaux, etc., s'ajoulaieni sans cesse celles que produisaient les mouvements exagérés de la vanne. Je lis changer les transmissions de mouvement de lu vis à la vanne, de manière Ù ralentir beaucoup le mouvement de celle-ci, ef je parvins ainsi a renfermer les variations de la vitesse dans des limites convenables.

Des observations analogues ont été faites à l'une des grandes ai guis cri es de la manufacture d'armes de Chatcllcraull sur 1'cffel d'un régulateur appliqué a une turbine, cl l'on est parvenu à bien régler la marche de ce moteur eu

UU MOUVEMENT DE ROTATION. 21)9 établissant un rapport convenable dans la transmission- du

D'après ces observations Ton a reconnu que quand l'arbre vcrlical ilu régulateur et celui de la vis sans lin sont réglés a une vitesse moyenne de -18 tours en 1 minute, les vannes en déversoir des roues de coté ne doivent pas s'élever ou s'abaisser de plus de lu à 15 millim. pour 10 tours de la vis sans lin, et que pour les turbines fontaine, pur exemple, la course des vannes ne doit pas s'éloigner beaucoup île 1"'",5 à 2""",0 pour dix tours de la vis.

En satisfaisant à ces conditions, par il(w rapports convenables dans les transmissions de mouvement cuire la vis et la vanne, ou parviendra à renfermer les écarts de la vitesse dans des limites suffisantes.

185. Disposition indispensable dans l'emploi de ces régulateurs. — La vanne du moteur hydraulique auquel on applique des régulateurs de ce genre étant conduite par le moteur lui-même, on conçoit que, pour les vannes m déversoir, qui doivent s' a baisser quand le mouvement se ralculilct pout les vannes avec charge sur le sommet, qui doivent se lever quand la résistance augmente, la course de ces organes étant forcément limitée, il importe de faire cesser l'action du régulaleur avant qu'il ait altcinl ces limites, sans quoi il en résulterai 1 quelque rupture.

11 faudra donc disposer un appareil de débrayage qui interrompe l'action de la xis sans fin sur la vanne, dés que celle-ci est sur le point d'atteindre la limite de sa course.

184. Modification de f appareil précédemment décrit.— Pour rendre l'appareil encore plus sensible h de faibles variations de vitesse, M. Drlonsirliamp, ingénieur civil, a en l'idée de transmettre le mouvement aux roues coniques par une courruie qui passe d'une poulie toujours folle sur deux aulrcs, placées l'une à droite i autre à gauche de celle-ci, cl qui sont calées sur l'arbre des roues d'angle ;

l'action do pendule se réduit alors à faire passer lu courroie d'une poulie à l'autre, ce qui n'exige qu'un faible cfïorl et évite le choc des griffes du manchon, dans l'aulre dispositif.

Ainsi modifie, un régulateur d'un seul modèle suflil pour un grand nombre de cas différents.

iBiî. Autres régulateurs. — 11 cxisle d'aulrcs appareils régulateurs, construits dans le mime but que le précèdent, donl nous n'avons parlé que peur monlreruu exemple de l'usage que l'on peut faire de la force centrifuge. Nous citerons seulement eu passanl le régulateur Molinié, celui île M. Larivlère, celui de Siemens, basé sur l'emploi du pendule conique d'Iluyghcns, elc. L'on peut obtenir avec ces appareils de bons résultats, mais ce n'est pas ici le lieu d'eu parler.

iUO. Du mouvement varié tiu/our d'un axe. — On a vu par ce qui précède que, dans le mouvement de rotation autour d'un axe, le travail de toules les forces extérieures qui sollicitent le corps est égal nu travail de leur résultante. On peut donc supposer toutes ces forces remplacées par celle résultante.

Si le mouvement est uniforme, il est évident que le travail des forces qui tendent ;i accélérer le mouvement sera égal il celui des forces qui tendent à le retarder, ou que le travail de la résultante sera nul.

Mais, si le travail de celle résultante n'est pas nul, il produit nécessaire me ni dans la vitesse du corps une certaine variation , cl alors l'inertie de chacune des masses élémentaires qui le composent développe, eu sens contraire, des efforts proportionnels auï degrés de vitesse uui leur sont communiqués ou enlevés.

Nommons V, la vitesse angulaire ou le chemin dinilaire qui serait décrit par un point situé à l'unité de distance de

DU MOUVEMENT DE ROTATION. tU

l'axo, pendant l'unité de temps si, a l'instant que l'on considère, le mouvement dcvenail uniforme, clv, la variation élémentaire qu'éprouve celle vitesse dans l'élément de lemps ( ; une masse élémentaire m quelconque du corps, située a la distance r sera animée de la vitesse \\r, et la variation élémentaire de celte vitesse sera v,r. Par conséquent, l'inertie par sa réaction développera, en sens contraire du travail de

la résultante des forces extérieures, un effort m dirigé langenlicllemcnt h la circonférence décrite par la masse m.

Or, si à chacune de ces masses élémentaires m on appliquai!, en sens contraire Je la variation du mouvement, une force égale a et dirigée dans le même sens que la

réaction de l'inertie, celte force serait capable de délniirc la variation de vitesse ty, cl par conséquent l'effet de la résultante générale dos forces extérieures sur celle masse m; donc l'ensemble de toutes ces forces détruirait l'efTel de la résultante générale des forces extérieures, et par conséquent elles lui feraient équilibre. Or ces forces que nous venons de supposer appliquées a chacune des molécules du corps sont précisément égales aux réactions développées par l'inertie cl dirigées dans le même sens. Il y a donc aussi, à chaque instant de la variation du mouvement, équilibre entre ces réactions et la résultanle des forces extérieures , ou , ce qui revient au même, le travail développé par toutes ces réactions doit être égal au travail développé par cette résultante.

L'arc élémenlaire décrit par la masse m étant a,r, en appelant a, l'arc élémentaire à l'unité de distance , le travail développé par la force d'inertie pendant la variation de la vilesse sera pour la masse m :

Ory =V ou la vitesse possédée par la

m a l'instant

que l'on considère; donc te travail élémentaire de la force

d'incrlie de la masse m a pour «pression

Le produit de la masse m par le carré de sa distance r à l'axe de rotation qui entre dans celte expression se nomme le moment d'inertie de celle masse.

Pour une autre masse élémentaire m' située à la distance r", on aurait de même pour le travail de l'inerlie wVViiii, et pour un nombre quelconque de masses semblables, la somme (les quantités de travail élémentaires développées par leur inertie sera

[mi 1 +M'f*+TOV , +ete.)V*t.t.

187. Observation importante sur tes moments d'inertie. — La géométrie apprend a calculer la somme des moments d'inertie des êlémenls des corps de diverses formes , ainsi que nous l'indiquerons plus loin; mais il est utile dès à A présent de faire connaître un

\\ théorème imporlanl relatif au

] \ moment d'inertie d'un corps

! \ par rapport à un axe quel-

momenl d'incrlie par rapport à un axe parallèle passant par ; le centre tic gravité de ce corps.

Considérons une masse élémentaire m d'un corps dont le centre de graillé soil (1, el qui tourne autour d'un axe A. Le moment d'inertie île cet élément par rapport à l'axe A sera

w.Âm*=fflr*.

Mais si l'on nomme KG=d la dislance du centre de gravité a l'axe de rotation , et Gui = n la distance de la molécule au

nu MOUVEMENT DE ROTATION. 313

centre de gravité , on a d'abord par le Iriangle A«»i formé en abaissant ma sur Ad prolongé

Âm , =Âô*+m3 , )

ou attendu que

Ân =AG , +2AGXaG + G3 1 ; À»?=ÂG'+GH?+3ÀGXaG, ou r , =<P+r,"+2rf.«G, Le moment d'inertie de la masse m est donc

formule dans laquelle il Tant observer que m . aC, est le moment île la masse m par rapport a un plan perpendiculaire à la ligne AG et passant par le centre de gravité. De même pour d'autres masses m', m", etc., siluées à des distances /, r°, !■", de l'axe A, et a des dislances ri, r", r", du centre de gravilé, on aurait

m't» = m'd' + fM'r,"+ Sm'd . a'G ,

)HV'=m"rf , +mV 1 * 1 +2m , 'd. a"G.

Et par suite, en appelant 1 le moment total d'inertie par rapport à l'axe A, et 1,= wr.'-f-HiV^-fMV^'+clc. , le moment d'inertie par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de gravilé G el M la masse lolale du corps = m+"t'+'«,"+clc, on a

[=M.<P+I,+8d[m.ttC+m'a'G+mVG+elç.].

Or le terme entre parenthèses est la somme des moments des masses élémentaires qui composent le corps par rapport a un plan qui passe par le centre de gravite; elle est donc nulle, et la rclalion ci-dessus se réduit a

i=m. ffl+hi

ce qui exprime que !<■ moment d'inrrtie iPun eorpt par rap-

part à un axe qvelconque est égal au moment d'inertie du même corps par rapport à un axe parallèle ait premier, et passant par le centre de granité du corps, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.

188. Principe des forées vives dans le mouvement de rotation autour d'un axe. — 11 suit de ce qui a été (fit au n" 180 qu'en appelant I le moment d'inertie total du corps que l'on considère, le travail déveluppi: par l'inertie pendant la variation élémentaire v t de la vitesse angulaire sera IiViVi, el l'on a vu que celte quantité doit être égale au travail développé dans le mémo temps par la résultante des forces extérieures ; cela paraîtra d'ailleurs évident en observant que, si le travail des forces d'inerlie était inférieur à celui de la résultante, en retranchant le premier du second , l'excès du travail de la résultante produirait une accélération ou une diminution do vitesse autre que celle qui a réellement lieu.

On a donc à un instant quelconque I.V,t;,=R.n,r,

en appelant R la résultante de tontes les forces extérieures et r, son bras de levier.

Au bout d'un temps quelconque, le travail de celle résultante Invariable ou constante, s'obtiendra, soi! directement, soit par la méthode de Simpson , cl pourra être représentée par T.

Quant au travail total des forces d'inerlie , le facteur I ne dépendant que des dimensions treuiii étriqués el de la matière dont le corps est composé , la somme de toutes les quantités de travail semblables, depuis le moment ou la position pour laquelle la vitesse angulaire était V, jusqu'à celte où elle est devenue V,', sera , d'après ce que l'im a vu précédemment, représentée par

si le mouvemenl s'est accéléré, R étant une furce motrice, ou par

si le mouvemenl s'est retardé, R étant alors une résistance.

Par conséquent , au hnnl d'un temps quelconque , où la vitesse angulaire aura passé fie la valeur V, a la valeur V,', on aura entre les quantités de travail développées par les forces extérieures ou leur résultante el parles forces d'inertie, la relation

T = il(V 1 "-\V).

On remarquera que, 1 étant la somme des produits élémentaires fflr 1 , mV, etc., on a

IV 1 *=mr»V 1 , + mVV.'-l-etc. , expression dans laquelle mr*\'f , m^'V,', sont évidemment ce qu'on a appelé précédemment les forces vives des masses m, m', etc.; donc IV, 1 , IV/', sont les sommes des forces vives, ou la force vive totale du corps , et la relation ci-dessus nous montre que, dam le mouvement de rotation

comme dans le wumiirnl à-' tataflul 'inn, le travail développe par les forces tT.lerirurrf, un huut tt'un temps quelconque est égal à la moitié de la- force rire acquise <hi perdue par le corps pendant le même temps.

lin voit donc que le principe des forces vives, démontré précédemment pour les mouvements parallèles de translation , est encore vrai pour les mouvements de rotation autour d'un axe.

Or, comme un mouvement, une vitesse, un travail élémentaire quelconque, peut toujours ûlre décomposé en deux mouvemenis, vitesses on travaux élémentaires, l'un de transition, dans le sens d'un certain axe, l'autre de rotation, perpendiculaire a ce même axe, et que dans celle décomposition le carré de la vitesse résultante est égal à la somme

des carrés des vilcsseseomposanlcs, que la somme îles forces vives composantes csl égale à la force vive résultante et que le travail résultant est égal a la somme des travaux composants, il s'ensuit évidemment que dans un mouvement quelconque le travail développé au bout d'un certain temps par tes forces extérieures est égal à la moitié de ta variation de ta force vice correspondant au même intervalle.

Tel est sous sa forme la plus générale l'énoncé du principe des forces vives, qui sert de base à îa théorie sènéralc des machines et des mou- Avant d'appliquer ce principe au mouvement des machines, nous en ferons usage pour l'étude du mouvement des pendules, et en particulier des pendules balistiques.

pnneipes pnn-Jents occupons-nous de la théorie du pendule, et d'abord supposiui* , qu'il s'agisse du mouvement d'une masse élémentaire suspendue à une lige infiuic Hg. îa. menl déliée, cl cher-

chons les diverses circonstances du mouvement de cet appareil , qu'on nomme un pendule simple , et qui se trouverait ainsi , h fort peu près , dans les mêmes con-

1»! MfH'YEHEST DE ROTATION.

il 7

.minus qu'une Italie do plomb suspendue à un fil de soie trus-An, suppose, rigide.

Supposons que le pendule, parti du point B, soit parvenu en M et suit descendu par conséquent d'une hauteur 111'= H, le travail développé par la gravite sera my.U, et si l'on appelle V la vitesse de la masse m, dirigée dans le sens de la tangente au cercle décrit, sa force vive sera wV, et d'après le principe des forces vives on aura

mW=2mgB ou Y'=2sH.

ïji vitesse V de ce mouvement varié a d'ailleurs pour

expression le rapport | de l'arc élémentaire parcouru

dans l'élément de temps t; la relation ci-dessus revient donc a

d'où

Si l'on compare ce pendule, dont la longueur Ail— r, à un autre dont la longueur serait ABW, qui décrirait un angle égal et qui serait placé dans un lieu où la vitesse communiquée aux graves dans la première seconde de leur chute serait </, on aurait île même

On aurait donc pour ces deux pendules la prnportinn

M.ii* In condition que les angles décrits par les deux

pendules 6oient égaux nous donne pour un même déplacement angulaire élémentaire

slJ-.-.r-.r', ou s':s"::r , : T » t

et de plus on a H:H'::r:r',

d'où b : ïf

Par conséquent

d'où *=^v^- v?-

On remarquera que, les rapporls ^ dp étant donnés et

indépendants des angles décrits, il résulte de la que les temps éléiiu'iihuivs, employés h paie ou tir les ;ircs élémentaires j et s', sont dans un rapport constant, cl que par conséquenl il en es! de même de la somme de ces temps élémcnlaires ou des temps iotaux T et T' employés à parcourir une oscillalion entière. On a donc aussi

Telle est la relalion entre les durées des oscillations des pendules simples en difTérenls lieux et pour différentes longueurs.

Si l'on compare des pendules de même longueur , on a r = r ! , cl alors

oc ipli montre ipie 1rs (Jurées îles oscillations îles pendules simples de même bngiicur , rn différents lieux de la lerre, sont entre elles en raison inverse des racines carrées des valeurs de g, et peuvent servir à déterminer celles-ci.

Dit MOUVEMENT DE ROTATION. 91»

Quand on opère dans le même lien , on s g= g\ et alors

d'où il suit qu'alors les durées des oscillations sont entre elles comme les racines carrées des longueurs des pendules, ainsi que Galilée l'avait découvert par l'observation directe avant que la théorie eût été faite. •

IOO. Durée des oscillation/ d'un pendule dont l'écart ut très-petit. — Si dans la relation

nous cherchons ù introduire la valeur de l'arc élémentaire s, décrit dans l'instant (, en fonction des données de la figure, nous avons par les triangles semblables MQS el MAE, fljï. 73, MN:QN::AM:ME, ou »:QN::r:ME;

d'où MN=*=r.jjjJ

Or ME est moyenne proportionnelle entre CE et 2r — CE, tr étnnl le diamètre du cercle décrit pur le pendule; on

a donc

ME=y'(2r — CE;CE=V2rXCE— CE'-

Mais quand l'amplitude des oscillations est tres-pelitc , on peut négliger le carré de CE ou de la Déclic de l'arc décrit, par rapport au produit 2r^CE, ce qui réduit la valeur cidessus «

ME = \/2rxCE.

■fjH'CE 2pH"