NOTIONS PRÉLIMINAIRES

cnmprise entre la courbe et les ordonnées c\téricures de la ligne des .ihscisscs, calculée par In formule de Simpson, donne le volume du déplacement du navire.

On résout, comme nous le verrons plus tard, par la méthode des quadratures beaucoup d'autres questions pour lesquelles le calcul offrirait quelquefois des difficultés insurmo niable s.

8. Divisibilité des quantités en cléments infiniment petits. — Avant d'aller plus loin il est utile de remarquer dés ù. présent que, loules les quantités élant susceptibles d'accroissement ou de diminution , elles peuvent être considérées comme composées de parties, d'éléments dont le nombre est d'autant plus grand que les parties sont moindres; et, comme au-dessous de toule partie finie on peut en concevoir une plus petite, on voit qu'en définitive les quantités ou les corps peuvent être regardés comme composés d'éléments infiniment petits, ou plus petits que toute quantité donnée, dont la réunion , la somme, produit une quantité Unie.

Si l'on se reporte à l' accroissement progressif des objets que nous offre la nature, on concevra plus facilement cet accroissement ou cette diminution graduelle des quantités,' par l'addition ou la soustraction continue de quantités infiniment petites.

Les végétaux dans leur croissance si variée et parfois si rapide ne poussent cependant que par degrés insensibles, par développements infiniment petits, qui, ajoutés les uns aux autres pendant un mois, une année, funnenl la pousse de cette période.

Un enfant grandit rapidement vers 10 h 12 ans quand II croit de O m ,10 par an ou en

ou de

ou 3 millionièmes de millimètre en 1"; et comme on peut

KOTIOTÏS PRELIMINAIRES. 7 fractionner la seconde en quelque sorte indéfiniment, on TOil que l'accroissement peut l'être de même.

C'est encore ainsi que le passage des piétons' qui en quelques années usent les dalles en lave d'un trottoir, la chule d'une cascade qui depuis dee sièeles ronge le rocher de granit sur 'lequel elle tombe , le passage île la \apeur it travers le tiroir distributeur qu'elle use en20ou30 ans, enlèvent et détruisent à etiaque instant des quantités infiniment petites qui, ajoutées les unes aux autres, produisent une destruction fln%

A. Observations sur ces exemples. — Ces exemples n'ont pour but que de faire sentir que toutes les quantités croissent et diminuent graduellement par éléments infiniment petits qui, ajoutés les uns aux autres pendant des temps finis, forment des quantités finies.

Ces notions nous seront nécessaires pour l'étude des effets mécaniques, qui ne s'accomplissent jamais brusquement et dans des temps nuls, mais par degrés quelquefois lenls et parfois si rapides, que nos sens et nos moyens d'observation ne peuvent en saisir lu durée , sans que pour cela celte durée puisse jamais être supposée nulle. Elles nous permettent de regarder les corps comme un assemblage de points matériels aussi petits que l'on voudra, mais ayant toutes les propriétés de la matière telles que la pondérabiiité, l'impénétrabilité, etc., etc.

DES FOltCEH ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.

3. Inertie de la matière. — - Tout corps persévère dans l'étal de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite flans lequel il se trouve, à moins que quelque cause étrangère n'agisse sur lui et ne le contraigne à changer d'étal. " (Newton, I"/oi du mouvement.) De celle loi fondamentale il résulte , comme nous l'avons déjà vu , que , dans le mouvement varié, si la cause qui produit la variation cesse son action, le mouvement devient uniforme; et que, dans le mouvement curviligne , si la cause qui oblige le corps à changer à chaque instant de direction cesse d'agir, le mouvement se continue dans la direction du dernier élément curviligne décrit, et par conséquent suivant la tangente.

6. Définition des forces. — Ces causes étrangères qui produisent, modilient, ou tendent h produire ou à modifier le mouvement, sont ce qu'on nomme des forces. Telles sont : l'attraction , la pesanteur, l'action des animaux , de l'eau, de l'air, de la vapeur, la résistance de l'air, le frottement, etc.

Puisque une action exlérieure est toujours nécessaire pour changer l'état de mouvement d'un corps, cela lient donc îi ce que le corps oppose mie certaine r ésistance provenant de son inertie. Voici comment Newton l'a clélinie : * La force qui réside dans la matière (vis insila] est le pouvoir qu'elle a de résister. Le corps exerce cette force tontes les fois qu'il s'agit de changer son état actuel de mouvement , et on peut alors la considérer sous deux différents aspects : ou comme résistante, en tant que te corps s'oppose à la force qui fond a lui faire changer d'état ; ou comme impulsive , en tant que

le même corps fuit effort pour changer l'étal do l'obstacle qni lui résiste. Ainsi on peut donner à la force qui réside dans les corps le nom très-expressif île force d'inertie. •■ (Nkwtoh, Principe), oie, vol. I, p. 2.)

On peut rendre évident par des exemples que Y inertie est une force dont l'action se manifeste dans tous les change-

corps AB ; il est clair que toute cause qui produira le renversement du corps , supposé symétrique, soit en avant, soit en arrière, équivaudra au poids P, et sera une force.

Or, si l'on fait marcher le plan AD d'un mouvement accéléré , on observera que, si l'accélération se fait avec une certaine rapidité, le corps AB serenverseraen sens contraire du mouvement. Son inertie aura donc agi, dans ce cas, comme une résistance a l'accélération avec une intensité égale ou supérieure au poids P. — Si au contraire le mouvement, parvenu à une vitesse notable, uniforme ou accélérée, est retardé brusquement, le corps se renverse dans le sens du mouvement. L'inertie du corps a donc alors agi comme une puissance qui s'opposait au changement du mouvement avec une intensité égale ou supérieure au poids P. L'inertie avant dans l'un et l'autre cas produit le même effet que la.force, le poids P, on est donc aulorisé à la regarder aussi comme une force.

Dans la communicalion rapide du mouvement que des -chevaux ardents tendent à imprimer à une voiture, c'est Yinertie de la voilure qui , par sa résistance, fait casser les Iraits, les palonniers, etc. C'est la même cause qui fait ver-

ment s de mouvement. Ainsi supposez un corps AB posé sur un corps AD, et déterminez par expérience le poids P qu'il faut suspendre à l'extrémité d'un fil CE

, D attaché en un point C et passant sur une poulie de

renvoi pour renver

ser une voilure lorsque, animéo d'un mouvement rapide , elle éprouve en tournant un ralentissement brusque. C'est elle qui projette dans l'espace les voyageurs placés sur l'impériale d'un convoi de wagons art ôlé dans sa marche ; qui fait rompre les cordages à l'aide desquels on veut retenir quelquefois trop rapidement des linteaux emportes par un courant , les ancres ou les cables en fer des bâtiments auxquels tes flots et les vents on! communiqué une grande vitesse, les boulets qui pénètrent dans les maçonneries, dans les terres , dans les sables , bien moins durs que la foule, les dents des engrenages, quand on embraie brusquem ni des machines pesantes , comme des canons à forer , des meules do moulins a poudre , eto., etc. "

On ne saurait trop engager tes élevés fi rechercher par euxmêmes des exemples de ces effets de l'inertie comme force motrice ou résistante , pour sa bien pénélrer de son existence et de son influence dans les mouvements variés.

7. lloda d'action des forces. — Les forces agissent toujours graduellement d'une manière qui peut être constante ou variable, mais Ion jours continue on progressive, pendant des temps d'une certaine durée. Celle action se manifeste tantôt par des degrés insensibles et avec lenteur, tantôt avec rapidité, mais jamais dans des temps nuls. Si les phénomènes s'accomplissent parfois dans des inlervallcs de (emps inappréciables h nos sens et il nos moyens d'observation , cela tient uniquement a l'imperfection de ceux-ci ; et, ce qui le prouve, c'est que plus on rend ces moyens sensibles, et mieux on peut apprécier la durée de phénomènes qu'on regardai! auparavant comme instantanés.

Tons les corps élan! plus ou moins compressible*, Oexibies, mous ou élastiques, ils se déforment dans leur réaction réciproque en exerçant les uns conlre les autres des efforts qui varient d'un inslanl a l'autre, el ces déformations , ces flexions plus ou moins grandes ne peuvent s'accomplir que dans des temps d'une certaine durée. Dans

ET DE LA MESURE DE LEEB TRAVAIL. M les phénomènes si rapides de transmission du mouvement pnr le choc, les efforts développés el les vilcsses transmises ou perdues no le sonl que graduellement et avec continuité. Il est facile de montrer des exemples de ce que nous venons de dire dans le choc des projectiles , le jeu de paume, le jeu de ba'lon.ele.

C'est donc Caire abstraction d'une manière Irop grave des effets naturels et partir d'une hypothèse trop conlraire aux faits que de supposer, comme on se le permet quelquefois, que des clincs, des transmuions de mouvement aient lieu instnnlanémcnt. Il en résulte toujours des notions et parfois des conséquences tout h fait fausses, et il importe au conlraire de ne pas perdre de vue que toutes Igi forces qui agissent dans la nalure sont analojiif* cl romparables ii des tensions, a des pressions, qui agissent graduellement et avec continuité".

0. Mesure des forces, — Pour parvenir a la mesure des forces nous admettrons comme un axiome que deux forces saut égales quand , substituées l'une à l'autre , elles produisent le même effet dans les mêmes circonstances ou en détruisent une troisième qui leur est directement opposée.

Cela pose, si nous prenons un ressort, un peson, un dynamomètre, dont les flexions sous l'action de poids connus aient été mesurées et observées sur une étendue suffisante, et si nous soumettons ensuite ce peson a l'action d'une force quelconque , lorsque celle force aura produit dans le ressort une flexion égale à celle qui était due a un certain poids, il est clair que, si dans les deux cas le ressort a conservé son élasticité , la force et le poids ayant produit le même effet, surmonté la mémo résistance à la flexion, ces deux forces seront égales. Le poids pourra donc servir de mesure a la force.

Ce que l'on vient de dire pour le cas très-simple où il s'agissait seulement de mesurer 1a force, l'effort développé par des moteurs animés on inanimés exerçant des

DBS FORCES

efforts de traction, tels que .les chevaux, des locomotives, des remorqueurs, peut aussi se réaliser clans la pratique par des moyens simples, que nous ferons connaître plus lard.

Nous admettrons donc à l'avenir que tontes les forces gui agissent dans tes machines sont comparables à des poids. *

8. Unité de mesure des forces. — Les forces étant comparables a des poids , nous adopterons l'unité de poids pour unité de mesure des forces , et nous les exprimerons en kilogrammes, ce qui signifiera simplement pour nous qu'elles produisent dans les mêmes circonstances le même effet que le nombre correspondant de kilogrammes agissant de la même manière.

10. Dénominations diverses des forces. — On distingue quelquefois les forces par différents noms selon les circonstances dans lesquelles elles agissent. Ainsi on nomme forces motrices ou mouvantes celles qui produisent le mouvement ou l'entretiennent, forces résistantes celles qui tenilcnl à l'empêcher ou ù le relarder , forces accélératrices ou retardatrices celles qui l'accélèrent ou le relardent , forces attractives ou répulsives celles qui sont relatives aux attractions ou répulsions. Enfin on emploie les mois du puissances et résistances pour distinguer les forces qui favorisent le mouvement cl celles qui s'y opposent.

11. Constitution des corps. — Nousavons déjà dit que tous les corps de la nature devaient être considérés comme composés d'éléments, de molécules infiniment petites. Ces molécules sont rapprochées les unes des autres par des forces attractives et tenues en même temps a de certaines dislances par d'autres forces appelées répulsives. Ce sont ces forces , qu'on nomme force* iiiulêculriircs, qui maintiennent le corps, ou les parties qui le composent, dans sa forme lanl que quelque cause ne vient pas l'altérer.

Lorsque les fortes répulsives el attractives ont une grande intensité, les corps résistent avec énergie à ton le cause, à loute force qui tond à les déformer , a les comprimer ou à les étendre, et Ton dit qu'ils sont solides. Mais cette dénomination esl relative plutôt qu'absolue el les corps qu'on nomme liquides ou gaseux sont constitués comme ceux dont nous venons de parler et qu'on appel solides. Toule la différence consiste , comme nous l'avons indiqué , en ce que dans les corps solides les forces moléculaires attractives sont prépondérantes, qu'elles maintiennent les molécules h un plus grand étal de rapprochement et qu'elles s'opposent avec plus d'énergie à leur écartetnent, à leur séparation, que dans les liquides où la facilité avec laquelle les molécules se séparent , se meuvent et se disjoignent sous l'action du plus faible efforl, semble indiquer qu'il y a presque égalité cnlre les forces attractives et répulsives. Enfin , dans le gaz les lorces répulsives l'emportent sur les forces attractives et ces corps tendent d'eux-mêmes à occuper des volumes de plus eu plus grands à mesure que les obstacles, les .enveloppes qui s'y opposent, deviennent plus faibles.

II suit de ces considérations qu'à proprement parler il n'y a pas de limite tranchée entre les solides, les liquides et les gaz, qu'ils sont constitués d'une manière analogue, qu'ils jouissent do propriétés communes, qu'il ne faut jamais perdre de vue que les molécules, les points matériels qui les composent sont susceptibles de se rapprocher ou de s'Éloigner sous l'action de forces extérieures. Ces notions conformes à la nature même des corps excluent l'idée absolue de .corps dur* ou inflexibles et celle de corps mous dénués de loute faculté de retour partiel ou complet vers leur forme primitive ou de toute élasticité.

12. Principe tic l'action rijabt el contraire à la réaction. — <ln concevra facilement, d'après ce qui précède, que quand deux corps se pressent, se tirent ou se choquent, il se dé-

veloppe aux points de contact, de la part de l'un, des efforts de compression ou d'extension , cl de celle ilo l'autre des efforts do repulsion , de résistance, opposés et égaux. Les molécules comprimées, les ressorts moléculaires fléchis ou tendus, réagissent avec une force précisément égale et contraire 6 celle qui les comprime, les fléchit ou les tend. 11 en est de même dans les actions attractives ou répulsives qui s'exercent à dislance, de sorte que les corps ou les molécules qui les composent s'attirent ou se repoussent avec des énergies précisément égales et contraires. Ces effets réciproques constituent l'un des principes fondamentaux ou axiomes de la mécanique , quo l'on énonce en disant avec Newton, qui l'a exprimé le premier, que l'action est toujours égaleet contraire à la réaction, c'esL-a-dire que les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et dans des directions contraires. (3 - Loi.)

15. Observation sur cette loi. — (Cas de deux hommes tirant aux extrémités d'une même corde. — Pénétration des projectiles, réaction du milieu pénétré.)

14. Point d'application des forces. — L'nction d'une force sur un corps ne se transmet que de proche en proche du point où elle est immédiatement appliquée a. l'intérieur, par une succession de flexions des ressorts moléculaires ; il faut , comme on l'a dit au n° 7, un certain temps pour que celle transmission s'opère. Lorsque la force devient constante, il se produit un étal d'équilibre entre elle et les ressorts qu'elle fléchit, et, h partir de cet instant, si l'équilibre subsiste , on peut regarder les corps comme rigides et inextensibles. Or, dans les machines, on emploie toujours des corps assez peu flexibles et proportionnés de telle sorte que les efforts auxquels ils sont soumis les fléchissent d'une quantité assez petite pour qu'on puisse négliger les effets des (luxions, qui ne se produisent en général d'une manière sensible qu'au commencement de l'action ou du mouvement; et dans tous les cas semblables on peut regarder les

ET DE LA MESURE DB LEUR TRAVAIL. 15 corps comme rigides el les efforts comme transmis dans leur direction propre en un, point quelconque de cette direction invariablement, lié au véritable point d'application.

Mais quand ii y a des chocs, îles efforts variables, donnant lieu a des compressions fréquemment répétées, nous verrons qu'il en résulte des perles d'effet donl ii faut tenir comple.Cede réserve s'applique évidemment aussi aux corps mous qui se déforment sous l'action des forces extérieures.

13. Effet et travail des forces. — Il résulte de ce qui précède qu'à partir du moment où une force commence a agir, elle produit dans le sens de son action des flexions cl des compressions; et que son point immédiat d'application cède, marche, se déplace, dans le sens de celle action jusqu'à ce qui', In résistance des ressorts moL'nihires élnnl <''L r :ilc !i l'action qui lend a les fléchir, ce déplacement relatif cesse. Alors, si le corps est relenu par des obstacles ou par des résislances supérieures, l'action de la force est annulée; son effet esl nul,, en ce sens qu'il n'y a pas de mouvement produit. Tel esl le cas d'un support, d'une colonne, d'un homme supportant en place un fardeau, d'une cariatide, des chevaux qui ne peuvent tiirc iiurilicr une voilure inibinirl;ée, d'un laminoir Iroft surré qui ne peut vaincre la résistance du fer, etc.

Pour que les forces produisent im effet mécanique, iudnslriel, un travail utile, il faut donc qu'elles f.isscnt parcourir .1 leur point d .ippli. .ilion un certain elieruin dans leur direction propre Ainsi la condition fondamentale du travail mécanique ou industriel des forces, c'est qu'il y ail a la fois effort exercé, et chemin parcouru en vertu de cet effort.

10. Mesure du travail d'vne fora- constante, quand le chemin parcouru par son point d'application l'est dans sa direction propre. — 11 est alors évident que l'effet, le travail produit par la force, est proportionnel ; 1° a l'intensité de son effort,

2' au chemiu parcouru, et par conséquent au produit de ces deux facteurs. Ainsi, dans l'Ole valion des fardeaux, l'extraction des minerais; le tirage des toitures, des charrues; le halage des bateaux, et l'épuisement des eaux, il est évident que pour un mômç poids, un même effort, l'effet est double si le chemin parcouru esl double ; et que pour un même chemin l'effet est double, triple, si la résistance est double ou triple.

Les efforts élunf comparables et comparés ii des poids dout l'action produirait le même effet, cl les chemins parcourus étant exprimés en mitres , on voit que le travail d'une force constante sera représenté par le produit de son intensité exprimée en unilédi: poids ou en kilogrammes par le chemin parcouru dans sa direction propre exprimée en unités de longueur ou en mètres. Or, si l'on prend pour unité de travail celui qiu correspond à un kilogramme élevé à 1 mètre, le travail il'une force F, qui aura fait parcourir à soit point d'application un chemin E, sera exprimé par F.E kilogrammes élevés à i mètre, ce que l'on désigne par l'indice A m écrit à droite cl un peu au-dessus du produil F.E. Ainsi qu'il suit FE' m .

17. Jleprésentationde ce travail par la surface d'un rectangle. — Si l'on prend le chemin parcouru E pour la base d'un rectangle dont la hauteur serait à une certaine échelle l'effort F, il est évident que le produit F.E sera la mesure de la surface de ce rectangle, ou que réciproquement celte surface pourra Être prise pour représenter le travail F.E.

18. Mesure du travail d'une force variable. — Lorsque la force varie, ou peut encore appliquer le même mode de mesure à chacun des espaces élémentaires infiniment petits parcourus e cl pendanl lesquels il esl permis de considérer la force comme constante. Le travail correspondant a chacun de ces espaces élémenf aires est donc représenté encore par le produit F.e.

Si l'on porte sur uue ligne droite AB prise pour axe des