ET DE LA MES
les chemins pin
courbe limitée par la liinic dos abscisses, par les ordonnées extrêmes et par la courbe qui
Le travail total pottr un chemin E se composant de la somme de toutes les quantités de travail élémentaires ¥e, il est évident qu'il sera représenté par la surface totale limilce par la courbe. 11 ne s'agira donc que de trouver celte surface on la somme de tous les produits élémentaires F.e. Le calcul donne dans certains cas le moyen de l'obtenir directement; mais dans beaucoup d'autres, et pour la pratique, il est plus commode d'employer les méthodes de quadrature, et en particulier celle de Simpson, que l'on a exposée dans la I» leçon.
Il est d'ailleurs tout à fait indispensable de recourir a ces mélliodes quand on veut eslimer le travail transmis par les moteurs animés, et par beaucoup de machines, dans lesquelles l'effort transmis varie sans cesse, suivant des lois impossihles à trouver.
10. Application au Irai-ail développé pur les chevaux dans le halage d'un bateau poste sur le canal de l'Ourcq. — A l'aide d'instruments, que nous décrirons prochainement, on a obtenu une courbe expérimentale on relation graphique entre les espaces parcourus et les cITorls exercés. Il serait impossible par aucune méthode de calcul direct d'obtenir
la relation qui lie les efforts aux chemins parcourus pour en déduire le travail, mais la quadrature nous eu fournira les moyens. Opérant, par exemple, sur un espace de 48 mè-
tres de longueur, que l'on partage en 12 parlies égales, trouve pour les ordonnées F„ F,..., F Ul F B , les valeurs si vantes, d'après l'échelle des flexions du ressort.
ktl. Ul.
Fi
Ft,
. Le travail total pour cet espace est donc : % |x4[215,5 + 2410,8 + 952,2]=4771 l ",33.
Cette expérience est relative à un cas où le bateau pesait avec son chargement 7147 kit., et marchait a la vitesse de 4-.71 en 1", ou 16 Uk ",95fl a l'heure.
20. Machine à vapeur à Indret. — Le diamètre du piston étant de 0-.36,
sasurfacc = :-4iW=102O centimètres carrés.
ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 19 La course totale est de 0»,92. En la partageant -en 16 parlies égales on n
Le relèvement de la courbe des pressions fournie par l'in-
rîg. i.
dicatcur donne les résultats suivants pour les pressions sur chaque centimètre carré de la surface du piston.
F, =0,103 F, =1,102 Fj =1,535 F,-f-F„ = 0,400
F w = 0,807 F, =1,030 F, =1,965 4fF,...+ Fi«) = 45,048
0,400 Fi=l,985 F, as 1,985 2(Fi...+ F») = 31,820
F u = 0,724 Fy = 0,634 F„ = 0,468 10,010 X 2 = 21,820
Et pour le Iravail développé par la vapeur dans une course
21. Effort moyen d'une force variable. — I! est souvent utile ou même nécessaire de connaître l'effort moyen d'une force variable, c'est-à-dire l'effort constant qui produirait le môme travail en faisant parcourir le même chemin a son point d'application. D'.ipres cette définition cl ce que l'on a dit précédemment, si l'on nomme T le travail développé par
l'effort variable cl E le chemin total parcouru par le point d'application, on aura T=F.E ; d'où
Ainsi l'on obtiendra l'effort moyen d'une force variable en 2 divisant le travail iolal par
le cliemin parcouru, il ré- • suite aussi de là que, le travail de l'effort variable élatil , représenté (lig. 8) par l'aire \abedefH, le travail de l'effort moyen constant correspondant sera rcprcsrtilé par la surface du reclangle AA'M'M de même aire que la courbe.
il est bon de remarquer, des à présent, que les poinls b, c et e, où la courbe des efforts variables coupe la ligne A'M' de l'effort moyen constant, correspondent à des positions où ces deux efforts, ainsi que le travail élémentaire qu'ils développent sont égaux. De plus les aires k'ab et ede audessus de la droite A'M' représentent l'excès du travail de l'effort variable sur celui de l'effort constant pendant que le corps parcourt les dislances AB cl CE , tandis que les aires comprises entre la courbe el le dessous de A'M' représentent les excès du travail de l'effort constanl sur celui de l'effort variable. La somme des premiers excès doit d'ailleurs évidemment ûlrc égale a la somme des seconds.
22. Observations sur le mode de calcul suivi par les praticiens anglais. — Quelques aulcurs , el parliculièrcmcnl des ingénieurs praticiens anglais, prennent souvent dans le calcul de l'effet des machines à vapeur la moyenne arithmétique entre les efforts ou pressions- extrêmes pour l'effort moyen, el la multiplient par le chemin parcouru. Or, si, par exemple, il s'agit du travail développé par la vapeur pendant sa détente, la courbe qui donnerait l'effort corres-
ET DE LÀ MESURE DE LEUR TRAVAIL. îl
pondant îi chaque course du piston serait, comme on le verra et comme l'indique la figure , convexe vers la ligne des abscisses; et, en prenant la moyenne arithmétique entre les ordonnées extrêmes, puis la multipliant par ne, on aurait l'aire du trapèze abdc, Lien supérieure à celle de la courbe.
23. Cas où l'on peut prendre la moyenne arithmétique d'un certain nombre de valeurs variables pour celle de l'effort moyen. — Mais quand les valeurs de l'effort oscillent périodiquement autour d'une certaine valeur ou entre certaines limites, qu'elles sont en très-grand nombre et prises d'une manière indépendante de la périodicité pins ou moins régulière de leurs oscillations, on peut, avec une exactitude suffisante pour la pratique ordinaire , prendre la moyenne arithmétique d'un grand nombre de ces valeurs pour l'effort moyen. C'est en particulier ce qui arrive dans les expériences sur l'action des moteurs animés, sur l'effort transmis aux machines diverses de fabrication, ainsi qu'on en verra dus exemples.
24. Applications. — On a vu que, dons une expérience citée à la précédente leçon , le travail développé par les (rois chevaux attelés à un bateau poste était de 477l ll ",33 pour un espace de 48™. L'effort moyen qui aurait produit le même travail suait
ou par chaque cheval
De menu, dans l'exemple relatif au travail développé sur le pistou do la machine de ï'alelier d'ajustage d'indret , on a
ïî DES FORCES
trouvé pour une course de 0-.92 un travail total de
ms^lS. L'eflort moyen correspondant serait
La surface totale du piston élnnt de 1020 cent, carrés, cet effort moyen correspond a une pression de
par centimètre carré.
118. La notion du travail est indépendante du temps. — On voit par ce qui précède que la mesure du travail ne suppose qu'un effort exercé et un chemin parcouru dans la direction propre de cet effort. Elle est donc par elle-même indépendante du temps. Ainsi, par exemple, dans l'élévation des fardeaux ce n'est pas par la durée du travail que l'on règle les prix, mais par le produit de la charge et de la liaulcur d'élévation.
Cependant, lorsque le travail est longtemps et périodiquement répété de la même manière, il est clair que, quand on a sa mesure pendant un certain lemps, elle surfil pour déterminer celle qui est relative à une autre durée. C'est ainsi que , dans la marche périodique des machines à vapeur, des roues hydrauliques, des moteurs animés, on rapporte le travail à l'uni té de lemps , que l'on prend ordinairement égale soit à 1 jour, à 1 heure, à 1 minute ou à 1 seconde. Celle dernière unité est celle que nous emploierons le plus souvent.
Pour les moleurs animés, dont le travail a une durée limitée por la fatigue cl par la nécessité du repos, il faut joindre a l'estimation du travail en 1 seconde l'indication de la durée totale de ce travail , car elle influe beaucoup sur le Iravail dans chaque unité de temps. Ainsi un fort cheval de roulage peut travailler 8 à 10 heures par jour en développant au pas à la vitesse de 1",00 en 1 seconde une
ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 23 quantité Je travail do 60 a 65*", tandis que les chevaux employés au haiage du bateau poste qui , dans le cas que nous avons calculé, développaient un effort moyen de 33 kil ,13 en parcourant 4™, 71 en 1 seconde, ce qui correspond à un travail de 33 1 ' l ,13X4 ra ,7l = 156 l -,04, ne peuvent travailler que 2 heures au plus par jour en quatre reprises , se reposent un jour sur quatre , et succombent rapidement à ce service pénible.
20. Dénominations diverses du travail mécanique. — L'effet mécanique des forces, que nous mesurons par le produit de l'effort et du chemin parcouru dans s.i direction propre, a reçu différents noms qu'il est utile de con-
Sheatos , ingénieur .uiL'lals , auquel on doit d'utiles expériences sur les roues hydrauliques et sur les moulins a vent, le nommait puissance mécanique} Carnot, moment d'activité; Monge El Hachette, effet dynamique; Coulomb et M. Nivnts, quantité d'action; MM. Cohiolis et Ponceeet, quantité de travail. — C'est celle dernière expression que nous adoplerons comme la mieux appropriée au point de vue industriel, sons lequel nous considérons la mécanique.
27. Unité du travail mécanique. — Quant a la valeur de l'unité de travail, nous avons dit que nous adopterions le kilogramme élevé a 1 mclre. Quelques auteurs ont proposé pour unité de travail l'élévation de lOOOkil., ou d'une tonne à 1 mclre de hauteur, et lui ont donné le nom de dyname ou dijnamode.
Une autre unité qui, malgré sa dénomination vicieuse , est passée en usage , c'est celle qu'on appelle lu force de cheval. Celte expression, introduite par Watt, alors que la machine à vapeur se suhsliluait surr , i. , wi\irmenl aux manèges, exprime en mesures anglaises un travail équivalent a 33 000 liv. avolr-du-poids élevées à 1 pied anglais en 1 minute; en la réduisant en mesures françaises, on trouve
330OO l "XO,4534=l4<JG2 lil ,l pied anglais = 0™ ,305, ce qui donne pour la seconde de temps.
!lSgg^gs3os =7ff . |Mml .
La valeur généralement adoptée en France est de Tû l ™ en 1 seconde.
Quoique celle estimation de la force de cheval soit aujourd'hui en quelque sorte une unité de convention , clic n'a pas de valeur légale , cl il serait Tort a désirer qu'une mesure législative lui donnai ce caractère, car c'est la monnaie du travail industriel. 11 est sans doute inutile de dire que celle expression n'a pas de rapport direct avec le travail réellement développé par les chevaux atlelés a des manèges, lequel ne s'élève guère en moyenne qu'a 40 ou 45'"' en l seconde.
Exemple, Dans l'expérience relative A la machine à vapeur d'Indrct, où nous avons trouvé le travail développé par la vapeur dans une course du pislon égal è I315 lm ,3l8, il y avait 28 coups doubles en i minute, cl le travail par seconde était
1316 h °,3i8X5G =:ia ^,„ [ , >
et la force en chevaux de
jag7^,6 10i37 chcyuux<
Si). Observations sur les conditions du travail mécanique. — Sous avons dit que le travail d'une force se mesurait par le produit de son intensité cl du chemin parcouru dans sa direction propre; mais il doit èlre sous-entendu que ce chemin est parcouru par l'effet même de la force. Ainsi un homme qui, dans un bateau; un convoi de chemin de fer, exercerait dans le sens du mouvement un effort sur un objet qui n'en recevrait pas île mouvement relatif, ne produirait aucun travail utile, quoique par l'effet du mouve-
ment de transport général le corps se mût dans la direction de l'effort.
Il en est do même du cas où l'effort est perpendiculaire au chemin parcouru : alurs d y a pression, effort , mais punit .le travail produit par l'clfort. H en résulte des de format ions, des frottement», donnant lieu, comme nu i<- \cm, «des pertes de travail , mais point d'effet utile immédiat. >'uus feruus niisii remarquer que la délimlion du travail d'une force s'applique aussi bien au cas où le chemin parcouru par le point d';ippliralmn de la force est dirigé en si:»* contraire do la force qu'à celui où il est dirigé dans le même sens. Dans ce dernier cas, le point d'application cédant et marchant dans le sens de la force , on dit que celle-ci développe un travail moteur; dans l'autre, où le point d'application se meut dans un sens contraire à celui de la force , on dit que le travail de celui-ci est un travail résistant.
21), Transport horizontul des fardeaux.— Ce genre de travail échappe au mode de mesure que nous avons adopté , ou du moins donne lieu à des effets, à des consommations de travail qui dépendent moins du poids transporté en luimême que du mode de transport. Ainsi le transport d'un poids de 1000 kilogrammes qui se ferait par un tftineau glissant sur le sol , en donnant lieu à un frottement égal a 0,30 de la pression , exigerait par mètre parcouru un travail de 300' X l"; par voiture des proportions ordinaires? le
tirage étant ~ de la charge , il faudrait un travail de 33 l ,33 X 1" = 33 l ",33 ; par chemin de fer à faible vitesse, la résistance n'étant que ^ de la charge , le tirage serait
et le travail pour 1 mètre éfrnl à 3 ln, ,33.
On voit donc que le travail relatif nu transport horizontal des fardeaux ne peut se mesurer, comme on le fait quelque-
foi» , par le produit du poids transporté et du chemin parcouru, qu'autant que l'on compare les résultats relatifs a des services, it des modes de transport du même genre.
30. Cat oit la forrf. n'agit pas dans la direction pu'-nic du chemin parcouru, — Si le chemin parcouru est Aa , tandis - j que la direction de la force est ^ AF, il csl clair que le chemin parcouru dans ]a direction même de la force sera déterminé par la perpendiculairc ai>, abaissée de a sur AF, et égal 6A6. Le Iravail développé par la force F sera donc, d'après la définilion, FXAfr.
C'est d'ailleurs ce qu'il csl facile de faire sentir par la considération de la figure ci-contre. Soit AB la direction de la force P sollicitant a un instant quelconque le corps qui décrit la courbe LM, sur Inquelle il est supposé parvenu au poinl A. Si l'on conçoit que la ligne AB soif un fil inexten- — jhsiblc et parfaitement flexible, et que l'action de la force P soit remplacée par celle d'un poids Q agissant fi l'extrémité de ce fil, que l'on suppose enroulé à la circonférence d'une poulie o parfaitement mobile autour de son axe, il est . 1i clair que dans le déplacement élémentaire du corps de A en o le travail de la force P sera mesuré par le prodoit du poids Q multiplie ng. ii. par la quiintilé bb' dont il sera des-
cendu. Or celle quantité M'est égale à la différence de longueur des lignes ABet oit, dont le point d'intersection Bpcnt être regardé romme le point de contact instantané des directions AB et oit avec la circonférence extérieure de la poulie. Mais, en enroulant la ligue oB sur la circonférence, son ex-
ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 27 [rémité a décrira un arc élémentaire de développante de cercle aa' perpendiculaire à AB, et la longueur Aa' mesurera précisément la différence cherchée. L'arc aa' se confondant à la limite de la petitesse avec la perpendiculaire abaissée du point a sur AB , on voit en définitive que Aa' est ce que l'an nomme en géométrie la projection du chemin réellement parcouru Aa sur la direction de la force , et dès lors il devient évideut par cette figure que le travail élémentaire de la force P est mesuré par le produit P x An' de son intensité et de la projection Aa' sur sa direction propre du chemin infiniment petit Aa que son point d'application parcourt réellement.
En résumé , lorsque la force n'est pas dans la direction du chemin parcouru, le travail du îi un déplacement élémentaire Aa de son point d'application est le produit de l'intensité delà force par la projection de ce déplacement ha sur sa direction. Or ce produit est ce que l'on appelle en mécanique rationnelle le moment virtuel, tandis que nous lui donnons le nom de travail élémentaire. Celle identité nous conduira à plusieurs analogies avec les résultats de la mécanique rationnelle; mais l'expression si naturelle de travail nous facilitera plus d'une démon si ration qu'elle rendra pour ainsi dire évidente.
51. Exemples. Travail de la pesanteur sur un corps gui parcourt une courbe quelconque. — Si l'on considère le corps parvenu en A, et parcourant ensuite le petit chemin élémentaire Aa, le travail élémentaire correspondant développé par la pesanteur, dont la direction est verticale, sera le produit du poids P du corps par la hauteur Ao qu'il a parcourue dans le sens de cetlc force. La pesanteur étant constante pour un même lieu et îles bailleurs peu différentes à la surface de la terre , le Ira-
vail lolal développé «près que !e corps sera descendu de L en M sera le produit de V par la somme des projeelions analogues a A6 ou par la hauteur tolale de la descente H, cl par conséquent égal à PII. Il est donc le même, quelle que soit la courbe de descente, et ne dépend que de la différente de niveau des extrémités de celte courbe.
32. lUanivelte et sa bielle. — Lorsqu'une bielle est assez longue pour que l'on piùaf faire abstraction de ses obliquités, et si l'efforl exercé dans sa eclion est constant, il csl clair que le travail total développé pendant une demi-révolution sera le produit de ' l'efforl conslanl F et de la somme des projections F des arcs élémentaires Aa sur sa direction , somme évidemment égale au diamètre 2R. Par conséquent le travail développé dans une demi-révolution est Fx2R.
55. Observation relative au sens de l'effort par rapport à celui du chemin parcouru. ~ Si le chemin parcouru est dirigé en sens contraire de la direction de l'effort F, il est clair que le corps est cuirai in'- par une autre force par rapport a laquelle l'efforl F est une résistance vaincue ; on dit alors que le travail de la force F est résistant, souslraclif ou négatif, c'est-à-dire qu'il doit se retrancher du travail moteur donl il consomme, absorbe une partie.
Ainsi , lorsqu'un corps descend sous l'action de la pesanteur, le chemin parcouru étant décrit dons le sens même de la force , elle agit comme puissance , et son travail csl positif; lorsqu'au contraire le corps monte , le chemin csl parcouru en sens contraire de la force ; celle-ci agit comme rérfislnme, et le travail est négatif. Si le corps descend et monle alternativement de la mémo hauteur, le travail moteur développé pendant la descente est égal au travail résislnnt consommé pendant la montée, et le travail total csl
ET DE LA HESl'RE DE LEUR TRAVAIL.
nul. Il y a ainsi production et consommation alternatives de travail dans tons les cas où des corps monlcnl cl descendent périodiquement, comme les bielles, les manivelles , les pis- Ions, les pendules, etc.
54. Ressorts. — Il se produit de même une consommation de Ira va il dans la flexion des ressorts et une restitution dons leur retour à la forme primitive. Elle est complète si le ressort reprend dans le débandement exactement la forme qu'il avait avant. Kilo est incomplète et il y a consommation de travail toutes les fois que le retour a la forme primitive n'est que partiel.
5lî. Dilatation et contraction. — 11 en est encore de môme lorsque par l'action de la chaleur un corps se dilate , cl les efforts énormes développés dans ce cas sont tout a fait analogues à ceux que produisent les autres causes. En effet on sait par l'expérience qu'entre certaines limites les corps s'allongent ou se contractent de quantités proportionnelles aux efforts auxquels ils sont soumis. Ainsi , par exemple , une barre de fer s'allonge ou se contracte d'une quantité I , qui exprimée en mètres est donnée par la formule
en appelant P la charge par millimètre carré de seclion , et I l'allongement par mètre courant. Réciproquement, quand une barre se contracte, elle exerce un effort égal à celui qui aurait été nécessaire pour produire celle même contraction, et l'on remarquera que cet effort ne dépend que de l'allongement par mètre courant.
Si, par exemple, une barre de fer de 30millûn. de côté a seclion carrée s'allonge de 1 = 0™,0005 par mede, l'effort capable de produire cet allongement sera
I'=2O0C0Xû m ,OOO5 — par millimètre de seclion.
□u en tout de ffîx I0 l =9000>.
30 UKS FORCES
Remarquant maintenant que de 0" à 100° une barre de 1er doux s'allonge de l" ,m ,2205 (voir les traites de phjsiquc) par mitre, il s'ensuivra que la quanlilé dont il fondra élever sa température pour l'allonger do 0» m ,S par mètre sera donnée pur la proportion
l- ill ,2205:100 1 ::0°' UL ,5:ar=j-^=40' 1 ,96,
soit 41°. Ainsi, en augmentant seulement la température de celle barre de 41» environ , on peut lui faire produire contre des obstacles qui s'opposeraient h son allongement un elîort de 9000 kilogr.
Réciproquement, si cette barre , après avoir été chauiïée et tendue, se refroidit, elle exerce des efforts de traction considérables dépendant du degré do refroidissement. Dans le cas d'un refroidissement de 41°, une barre de 30 millim. carrés exercerait un effort de contraction de 9000 kilogr.
Cette propriété Importante des corps d'exercer des efforts de dilatation ou de retrait, de contraction , considérables, est souvent mise a profit dans les arts. Le cerclage des roues, dus moyeux, des arbres de roues hydrauliques; celui des voûtes, el en particulier celui de la coupole de Saint- Pierre de Rome; le cerclage de la fonte, etc., en sont aulant d'exemples.
Le redressement des murs du bâtiment de l'ancienne bibliothèque du Conservatoire a été, dit-on, opéré par des moyens analogues avec le plus grand succès. Les barres employées ont 60 millim. sur 22 millim. ou 1320 millim. carrés de surface. On les a chauffée! au moyen d'un gril suspendu, cl, a mesure qu'elles se sont allongées par la chaleur, on les a tendues a l'aide de forls écrous avec rondelles en fonte. Cela fait, on les a laissées refroidir. Si, par exemple, leur température a baissé de 41° seulement, le retrait o été de 0" iJ ,0005 par mètre, et l'effort correspondant de 10 kilogr. par millimètre carré; l'effort que chaque barre pouvait exercer était de
132OxiO k = 13 20O 1 '.
Quant an luttai! développé par celle force, il est facile de le calculer. En effet, de D'à 100' el mime au delà l'expérience prouve que les allongements sont proportionnels aux lempéralures , de sorte que , 1' représentant l'allongement à 100" et I celui qui est relatif à T°, on a I':100::I:T;
d'où
par conséquent si l'on nomme L, la longueur de la barre a la température zéro, cette longueur croîtra par mètre courant et en passant h la température T de la quantité I=KT et détiendra;
L=L, + KL l T=L 1 (l + KT;.
De même en passant de la température zéro à la température T' la longueur de la barre deviendra
L'=I,(l+m L'allongement de la barre en passant de la température T à la température T' sera donc
L' — L = L|K(T' — T) et l'allongement par mètre courant sera
I = ii=I J =K(T'— T).
D'où l'on voit que l'allongement par mètre courant ne dépend que de la différence des températures et non de l'élévation de cliacune d'elles en particulier.
Il en est par conséquent de même de la force
P=IX20000 la =20000K(ï'— T) qui croit proportionnellement à la différence des temperaturcs et est la même pour des différences égales.
Cela posé , si l'on porte sur une ligne d'abscisses à parlir de zéro les allongemcnis L'— L=KLi(T'— T) qui sont d'abord
DES FOBCES
nuls pour T'=T, et qu'aux points de division qui en résultent on élève des perpendiculaires ou ordonnées égales aux efforts de dilatation ou de contraction nui ont pour valeurs celles que prend la force
il est clair que les ordonnées étant proportionnelles aux abscisses, les poinls ainsi déterminés seront en ligne droite, et que Ton formera ainsi un triangle, dont la
j ^ j — surface exprimera le travail
(r-i)Rf. développé par les efforts de
F ' a "' dilalalion ou de conlraclion
correspondants aux différentes températures T— T. La surface de ce Iriangle est d'ailleurs égale à
|a0000K'L,.(T— Vf,
de sorte que le travail développé par les efforts de dilatalion ou de contraction a, en définitive , pour valeur,
10 000K*L,0"— T? 1 -, ou en remetlant pour K sa valeur — : -^|— ■ -, cette expression du travail devient :
Elle montre que ce travail est proportionnel a la longueur de la barre k la température de zéro et au carré de la différence des températures.
On voit de plus qu'il ne dépend point de ces températures elles-mêmes, mais bien de leur différence, de sorte qu'à une même variation correspond toujours le même travail.
Si l'on suppose T=20», T'=61\ on a T— T=4l\ et par
suite le travail par mètre courant et par millimètre carré de section de la barre est
et pour les 1320 millimètres carrés, sur une longueur de 10 mètres, il sera
O l ",OO25X132OXlO=33 u, ,0O.
30. Limite de r'iriol Viiis /le tcuiprralure qu'il convient d'employer. — Nous nous sommes borné dans les calculs précédents a celle variation de température , parce qu'elle correspond, comme on l'a vu, à un allongement ou à un raccourcissement de 0" w ,5 par mètre et celui-ci à un effort d'extension ou de compression de 10 Ri]., qui, d'après l'observation des bonnes constructions, est une limite supérieure des efforts que le fer forgé peut supporter par millimètre carré de section , sans que l'on craigne d'altérer son élasticité, ainsi que nous le verrons plus tard. Il importe de se renfermer de même dans les limites d'extension ou de contraction entre lesquelles l'élasticité ne s'est pas altérée.
DES DYXAMOMÈTRES
OU DESCRIPTION ET CONSTRUCTION DES INSTRUMENTS PROPMS 1 MESURER LE TRAVAIL DÉVELOPPE PAIl LES MOTEURS AS [MES OU INANIMÉS.
57. Conditions générales et particulières auxquelles ces instruments doivent satisfaire. — Nous avons vu dans les précédentes leçons que le travail développé par une force constanje F qui faisait parcourir à son point d'application un chemin E dans sa dinvliim propre avait pour mesure le produit FE , et que , si l'effort F était variable, le travail total développé quand le corps avait parcouru un chemin quelconque F. était la somme de toutes les quantités de travail élémentaires Ve successivement développées le Ions des éléments e du chemin parcouru. Dans ce dernier cas, nous avons monlré comment, à l'aide du calcul ou de la méthode de quadrature de Simpson, on obtenait celle somme de produits analogues h Fe pour un chemin total donné E parcouru dans la direction de l'effort. Enfin nous avons délini l'effort moyen d'une force variable et indiqué comment on le déduisait du travail total en divisant celui-ci par le chemin total parcouru.
Les instruments destinés à mesurer le travail développé par les moteurs animés ou inanimés doivent donc fournir par leurs indications le produit de l'effort cl du chemin parcouru, quelles que soient leurs variations simultanées. Telle est la condition générale a laquelle il faut chercher à satisfaire toutes les fois qu'il n'y a pas d'impossibilité, comme il s'en présente pour les bateaux. L'illustre Walt est le premier qui ait satisfait à cette condition dans la con-
slruclion tic l'appareil dynainomélnque, auquel 11 a donné le nom d'Indicateur de ta pression, el dont on trouvera plus loin la description. Gela posé , voici les eondiliuns parliculières qu'il convient encore de remplir :
1° La sensibilité de l'instrument doil être proportionnée è l'intensité des efforts à mesurer et ne doil pas pouvoir s'altérer par l'usage.
2* Les indications des flexions du ressort doivent être obtenues d'une manière indépendante de l'altention, de la volonté ou des préventions de l'observateur, et par conséquent fournies par l'instrument lui-même ou moyen de Iraces ou de résultats matériels qui subsistent après l'expérience.
3* 11 faut que l'on puisse obtenir l'effort exercé en chaque point de l'espace parcouru par le point d'application de l'effort , ou dans certains cas , a chaque instant de la durée des observations.
A' Si l'expérience doit cire , par sa nature , continuée longtemps, il faut que l'appareil permette de totaliser facilement la quantité de travail dépensée par le moteur.
Pour satisfaire à la première condition, il convient d'employer des lames qui prennent des flexions proportionnelles aux cfforls exercés, et qui aient la forme des solides d'égale résistance. Cela procure beaucoup de facilité pour les relèvements el donne à l'instrument une grande sensibilité.
38. Règles pour proportionner les lames de ressort. — La théorie de la résistance des matériaux à la flexion, d'accord avec les résultats connus de l'expérience, montre que, quand une lame métallique a seclion rectangulaire constanlc est encastrée par l'une de ses extrémités, et soumise à l'autre à l'action d'un effort P, perpendiculaire à sa longueur ou à sa direction primitive , ou quand une lame élasliquc de même forme est posée librement sur deux appuis et soumise en son milieu à un effort P, dirigé comme nous venons de le
dire , la flexion F qu'elle prend , lant qu'elle ne dépasse pas les limites de l'élasticité, csl :
1° Proportionnelle à l'effort P;
2° Proportionnelle au cube du bras de levier c de ecl effort;
3° En raison inverse de la largeur a de la laine dans le sens perpendiculaire au plan de Dcxion;
i° En raison inverse du cube de l'épaisseur à do la lame à la partie encastrée pour le premier cas, et en son milieu pour le second;
5" En raison inverse d'un nombre E constant pour chaque corps, qu'on nomme coefficient ou module d'élasticité et qui exprime en kilogrammes le poids qui serait capable d'allonger d'une quantité égale à sa longueur primitive une barre prismatique formée de celle substance ayant l'unité de surface pour section transversale, si un pareil changement dans les dimensions élaitpossible sans que le nombre E variât de valeur.
De plus, si le profil longitudinal de la lame présente la forme parabolique des solides d'égale résisiance (voir les Leçons sur la résistance des matériaux), les flexions sont doubles de celles que prendrait sous les mimes efforts une lame d'épaisseur uniforme sur toute la longueur, et la résistance à la rupture reste la même.
D'après cela, on a pour des ressorts d'égale résistance, conformément à la théorie et à l'expérience, la relation
formule a l'aide de laquelle on peut calculer l'une quelconque des quanttlés qui y enlrent, quand on connaît les autres. L'expérience de la conslraction d'un grand nombre de lames de ressorts m'a montré qu'en les faisant avec de l'acier d'Allemagne de bonne qualité, trempé et recuit au degré convenable , la valeur du coefficient d'élasticité il employer était
E = 20 859 000 000 kilogrammes.
38. Rapport qu'il convient d'établir entre les diverses proportions. — La largeur a Je la lame doit être limitée à 0",040 ou tr,050 au plus, parce que le gauchissement produit par la trempe est d'autant plus sensible que la lame est plus large, ce qui offre des tlsliicultës pour l'ajustage.
L'observation des ressorts que j'ai fait exécuter m'a montré que les flexions des laines restaient proportionnelles aux
efforls, tant qu'elles ne dépassaient pas ~ de leur longueur pour les plus fortes, - pour les plus faibles, mesure prise
depuis la partie encastrée.
D'après ces données il sera facile de calculer l'épaisseur b, qu'il conviendra de donner ù une lame à sa partie encastrée, pour que sous un effort déterminé elle prenne une flexion connue. Elle est fournie par la formule
50. Profil longitudinal des lames. — Cette dimension étant obtenue, on délerminela forme du profil longitudinal de la lame au moyen de la formule
lf= -X
dans laquelle, 4 <-l c élan! ks qiiimtiii'j déjà désignées , x
représenterait l'abscisse de la courbe mesurée depuis son origine B et y son ordonnée correspondante.
-Î0. Disposition des lames de ressorts \ — Les lames des
' Voir pour plus de Mails la description rfpt Appareils dtfnamom^- Mqyut, elc. Chez L. Malhiai, 16, quai Malaquals.
ressorte destinés à mesurer la Iraclion des moteurs animés, sur des voitures, des charrues, des bateaux, etc., sont disposées comme l'indique la figure (pl. I, flg. 1).
Deux lames aof et 66' exactement semblables, dont les faces intérieures sont planes , et les faces extérieures paraboliques, sont terminées à leurs extrémités par un nœud d'articulation de même largeur, percé d'un trou alésé. De petits boulons en acier traversent ces trous à frollemenl doux et s'engagent dans des brides /"/"sur lesquelles ils sont fixés par des écrous.
Une griffe postérieure c est percée d'une ouverture pour le passage de la lame qui s'y introduit dans le sens de sa longueur; un épaulcmenl d'une longueur égale a la largeur de la griiïe a été ménagé au milieu de la lame et enire avec précision dans celle ouverture. Des vis de pression g h poinlc conique serrent la laine dans cet encastrement.
Une griffe antérieure d reçoit pareillement la lame oa' et porte un anneau r, auquel s'accroebe la volée on lu corde sur laquelle le moleur agit.
L'accouplement des lames a pour effet d'ajouter les flexions de chacune d'elles et d'augmenter la sensibilité de l'instrument.
Pour les grands efforts h mesurer, on peut réunir quatre lames dont les résistances concourent à faire équilihrc a la puissance.
On évite que les lames puissent être forcées en fixant à la griffe postérieure c deux brides d'arrêt i réunies par deux entretoises e contre lesquelles la lame antérieure vient s'appuyer quaud la tension atteint la limite supérieure que l'on a fixée.
41. Disposition pour obtenir une trace permanente des flexions du ressort. — La griffe antérieure porte une vis a travers laquelle peut glisser a frottement doux un tuyau de cuivre creux terminé par une douille conique, dans laquelle ou adapte un pinceau sans plume. On remplit le tube d'encre
de Chine délayée a la consistance convenable. Quand le pinceau est bien lave et convenable nient serré dans sa douille conique. In capillarité suffit pour produire une alimentation constante cl régulière.
On peut a volonlé remplacer le pinceau par un crayon de mine do plomb ordinaire ou du genre de ceux qui ne se taillent pas. 11 faut alors que le tube et le crayon pèsent environ 4ù grammes pour que la trace soit suffisamment visible.
Los traces du style sont reçues sur une banrto de papier enroulée sur un cylindie I servant de magasin, cl qui passe sur trois petits cylindres qui la guident sous les styles et empûclieul le papier de fléchir sous l'action du vent ou sous son propre poids.
La feuille de papier s'enroule sur un autre rouleau g qui sert de récepteur et sur lequel une de ses extrêinilés a été fixée avec de la colle a bouche.
Un second style A, porté par l'une des brides d'arrêt, et par conséquent immobile, trace sur le papier une ligne qui correspond à un effort nul ou a la position des lames au repos et donne ainsi le zéro des effoi ls ; de sorte que l'effort exercé est toujours mesuré par l'éearloment de la courbe tracée par le style mobile a celte ligne du zéro.
42. Manière de faire mouvoir le papier gui reçoit la (race du style. — Le mouvement de transport perpendiculaire & la direction des efforts exercés est transmis à la bande de papier au moyen d'une corde sans lin , qui passe sur le moyeu de l'une des roues de devant de la voiture et sur une poulie de renvoi. Sur le prolongement do l'axe de celle poulie csl une vis sans fin pnrallMe aux lames , et qui conduit un pignon monté sur l'ave d'un petit cylindre. Sur celui-ci s'enroule une corde de soie qui transmet le mouvement au cylindre récepteur du papier.
En proporlionnant convenablement celle transmission, on peut, au moyen de bandes de papier de 16 à 1S mètres
40 DES DYNAMOMETRES,
de longueur, prolonger avec une infime bande les expériences sur une étendue de chemin parcourue de 800 a 1 ooo mitres et plus.
Mais si le mouvement était transmis directement à l'arbre du cjlindrc récepteur, dont ie papier, en s'enroulant , augmente le diamètre extérieur, il s'ensuivrait que, bien que le mouvement du cylindre fût uniforme ou dans un rapport constant avec celui de la roue, celui de transport de la bande de papier s'accélérerait. Pour éviter cet inconvénient , le fil de soie enroulé sur le petit cylindre intermédiaire n se fixe par sou extrémité libre à une fusée conique dont les diamètres sont calculés de manière à compenser l'accroissement graduel de diamètre du cylindre récepteur, et dont la surface est cannelée un filets héliçoïdcs.
43. Observation sur la quadrature des courbes tracées. — D'après cette description sommaire on voit que, le papier se déroulant sous le style avec une vitesse qui est dans us rapport constant avec le chemin parcouru, les longueurs de papier représentent ce chemin à une échelle connue par ce rapport. Les ordonnées de la courbe des flexions, mesurées depuis la lijne du zéro, étant projiiirliuimL'lles aux clïorls exercés, il en résulte donc que l'aire comprise entre la courbe, la ligne du zéro et deux ordonnées quelconques, représentera, selon ce qui a été dit au n" 10, le travail total développé dans cet intervalle par la puissance motrice.
Ai. Sloyens d'opérer ect/e quadrature, — Celte quadrature peut s'opérer, soit par de simples tracés cl calculs ordinaires, soit par le relèvement des ordonnées a l'aide d'une glace transparente , préalablement divisée. Mais celle méthode est longue, et l'on peut lui substituer l'une des deux suivantes.
La première, qui dispense de tout calcul , consiste à tracer d'abord parallèlement à la ligne du zéro MN une ligne droile AB à une distance donnée de la ligne du zéro plus grande que la flexion maximum ou qui lui soit an plus
égale. A cette ordonnée correspondrait un effort fictif constant, auquel sérail du un travail connu, représenté par
l'aire du rectangle MNBA. Or, a£ctf...NU étant la courbe réelle des efforts donnés par l'expérience, on a évidemment la proportion.
L'aire MNBA : l'aire oèc.NM : : le travail de l'effort llclif constant : au travail cherché.
Mais, le papier étant fabriqué à la mécanique et d'épaisseur uniforme, les aires MNBA et Mai* N sont enlre elles
comme leurs poids. Donc en les découpant, et pesant d'abord lereelanglc entier, puis l'nire curviligne Mofic N, on
aura par une simple proportion le travail cherché.
Si, par exemple, l'on a employé un ressort de 700 kilogr., pour lequel un accroissement de flexion de 1°' :|I ,25 corresponde h un effort de 10 kilogr. et une flexion constante ou une hauteur du rectangle de 70 mill. à 5G0 kilogr., en appelant P te poids de la bande de 70 mill. de hauteur, p le poids de la pallie comprise entre la courbe et la ligne du zéro , E la longueur du chemin parcouru, F reflet moyen développé par le moteur, on aura
F= 560. p kilogrammes,
et le travail total de l'effort variable aurait pour valeur le produit FE.
48. Usage rfu planimèlre. — Le second moyen d'oblenir la quadrature des courbes rapidement et sans calculs , c'est d'y employer le planimèlre d'Ernst muni d'un cône en bois.
il ' DES DYNAMOMÈTRES.
Cet instrument se compose {pl. I, Sg. 3 et *) d'un cône bcb, dont l'axe est incliné sur le plan de la lable qui porte lïnslrumcnt , de façon que son arélc supérieure soit parallèle a ce plan. Ce cône est monté a pointes sur deux supports fixés à une platine X, et sur son axe prolongé est une rouletle an, qui est pressée contre une bande LL, parallèle aux guides, suivant lesquels peut glisser la platine XX ; de sorte que, quand on pousse cette p!nlinc en avant ou en arriére , dans le sens de LL , la roulcllc et le cône tournent et font un nombre do tours proportionnel ou chemin parcouru par le plateau.
Un compteur, dont la pièce principale est une roulellc dd verlieole ei perpendiculaire a l'arùtc horizontale supérieure du cône, tournant autour d'un axe parallèle à celle môme arèle, est monlé a pointes sur une pièce a coulisses ff, qui ae meut avec la platine XX , mais qui peut en outre recevoir un mouvement perpendiculaire ù la bande LL, de façon que la roulelle peut se rapprocher ou s'éloigner à volonté du soiiimel du cône.
Le compteur reposant sur la surface du cône par son propre poids, on conçoit que, quand ce cône tourne, la roulette en fait autant, cl il est évident que le nombre de tours qu'elle Tait est toujours proportionnel : t* au nombre do tours du cône ou a la longueur du chemin parcouru dans le sens LL, et 2° à la dislance de la roulette au sommet du cône, ou au produit de ces deux quantités.
Cela posé, supposons que, la roulette étant au sommet du cône, une pointe <j placée sur la coulisse (f corresponde à une ligne RS parallèle au guide LL et soit sur le point R, il est évidenl que, si l'on pousse la platine XX, de façon que cette pointe suive exactement la ligne RS, la roulelle ne tournera pas, puisque la vilesse du sommet du cône est nulle; mais si la pointe g est en M, et la roulette à une distance du sommet du cône égale à SIR — NS, lorsque la poinle sera poussée de M en N, le nomhre de tours de la roulette sera proportionnel a la longueur RS, qui est la base
du rectangle MNSR et a la hauteur du même rectangle. Il le sera par conséquent à la surrace de ce rectangle. De même, si l'on lait suivre a la pointe g la ligne OP, le nombre de tours de la roulotte sera proportionnel h la surface du rectangle ORSP.
Mais dans l'exécution de l'instrument l'on ne peut faire arriver la roulette jusqu'au sommet du cône, qui est supprimé, et il faut modifier un peu la manière d'obtenir la surrace du rectangle à mesurer.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de calculer la surface du rectangle OMNP. L'on amène d'abord In pointe g au-dessus de la ligne MS en s'assurant qu'elle la suit bien exactement dans le mouvement de transport de ta platine XX. On pousse alors tout l'instrument de raçon que celte pointe g aille de M en N. La roulette du compteur Tait alors un nombre de tours proportionnel à la surface du rectangle RJHNS. Ou tire ensuite la coulisse If et l'on conduit la poinle g au-dessus du point P, puis l'on ramène la platine XX en arrière, de manière que la poinle g suive la ligne PO.
Dans ce mouvement rétrograde la roulette tourne en sens contraire et fait un nombre de tours proportionnel h la surrace du rectangle ORSP, et comme dans ces deux mouvements consécutils elle a marché dans deux sens opposés, il est évident que le nombre détlnitir des tours qu'elle a faits est proportionnel a la différence des deux rectangles ORSP et MRSN ou à la surface du rectangle OMNP.
Le mouvement de la roulette se transmet par des engrenages aux aiguilles de deux limbes, dont l'une donne les unités, dizaines et centaines de millimètres carrés, et l'autre les mille de millimètres carrés.
Ce que nous venons de dire pour un rectangle s'applique exactement a la quadrature d'une surface terminée, comme dans les courbes tracées par le style des dynamomètres, d'un côté par une ligne droite et de l'autre pur une ligne courbe ondulée qp, car chaque élément de celte surface
44 DES DÏNAMOMÈTRES.
wexy peut ôtrc regardé comme un petit rectangle dont la base est vx, et la hauteur la moyenne arithmétique entre
Pour procéder au relèvement d'une courbe ou à la quadrature d'une surface Mfyo, on opère ainsi qu'il suit : On fixe la feuille de papier sous la planchette du plan i mètre, de façon que, la pointe g étant reculée au plus près de celle planchette, elle suive exactement la ligne MN du zéro des efforts , quiind on pousse le plateau Xx dans le sens de M en N. Cela fait, l'on ramène la pointe g au-dessus de H, on soulève le compteur cl l'on ramène à la main les aiguilles des deux limbes au zéro ; on pose doucement la roulette sur le cône, et l'on pousse la platine XX, de façon que la pointe g aille de M en N. On tire alors la coulisse ff, pour amener la pointe g sur le point p; puis, à l'aide du double mouvement qu'on peut lui imprimer, on suit exactement avec cette pointe toutes les sinuosités de la courbe, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue en o. On lit alors sur les deux limbes le nombre de millimètres carrés contenus dans la surface à carrer, et en la divisant par la longueur de la base MN, exprimée en tnillimèlres, on a pour quotient l'ordonnée moyenne ou la hauteur du rectangle de même surface, et par suite l'effort moyen exercé. Mais, pour que les opérations que nous venons d'indiquer conduisent à un résultat exact, il faut que dans ses mouvements d'avancement ou de recul la roulette no glisse jamais sans tourner. L'on obtient ce résultai en substituant au cône poli de métal des planimùlres ordinaires un cône en bois complètement dépoli.
46. Dynamomètre pour totaliser In quantité d'action développée pendant un intervalle de temps ou lie chemin considérable. — Lorsqu'il s'agit d'observer le travail développé par des moteurs animés ou autres pendant un long intervalle de chemin parcouru, le dynamomètre à style, dont la bande de papier ne peut guère servir que pour une distance de 800 i\ 1 00O mètres, serait insuffisant. 11 est d'ailleurs souvent
DES DYKAïOM ÊTRES.
beaucoup plus commode d'obtenir de suite lu quantité de travail développé le long d'un chemin donné, et il importe d'avoir un appareil qui totalise de lui-même les quantités de travail élémentaires successives, cl dispense ninsi des quadratures que nous avons appris à exécuter. Tel est le but de la modification suivante apportée au dynamomètre décrit dans les numéros précédenls.
La griffe postérieure c (pl. I, fig. 5) est traversée par un axe de rotation sur lequel est vissé le plateau B de 0 m ,O80 de rayon, placé au-dessus des lames, et qui reçoit h sa partie inférieure une poulie I) à laquelle le mouvement de la roue est transmis par une corde sans fin passant sur des poulies de renvoi. Un support E faisant corps avec la griffe anlérieure d souticnl un compteur qui par conséquent suit tous les mouvements de flexion de la lame antérieure.
La pièce principale du compteur est une roulette montée sur un ose parallèle au plateau et à la direction des efforts de traction. Celle roulette agit comme celle du compteur du planimètrc; seulement, puisque, au lien d'un cône, nous avons ici un plan, elle peut atteindre le centre de ce cercle quand l'instrument est au repos. D'après ce qui a été dit au n° 4tî, il est inutile d'indiquer le jeu de l'instrument, et l'on conçoit de suile que le nombre de tours de la roulctle est proportionnel h la somme des produits élémentaires des efforts exercés et des éléments de chemin parcouru ou au travail total.
En nommant r la dislance de la rouletle au centre du plateau en mèlrcs sous l'effort de traction F exprimé en kilogrammes ou la flexion du ressort sous cet effort, attendu que i'instrument est disposé de façon que la roulette repose au centre du plateau quand l'effort est nul ;
r, le rayon de la roulette ;
e le chemin parcouru en une seconde par la voiture dans le sens du tirage , si l'effort est constant , ou dans un instant infiniment petit , si l'effort est variable ;
[I le rayon de lu roue sur laquelle oc prend le mouvement ;
n J!__ le nombre de tours de la roue correspondant au chemin e\
K=- le rapport des efforts aux flexions mesurées ; N le nombre de tours de la roulette correspondant au chemin e ;
R' le rayon du moyeu de la roue sur laquelle on prend le mouvement du plalcau ;
r" le rayon de la poulie du plateau ;
11 est évident que ce plaleau fera un nombre de tours égal à\ pour un tour de la roue, ou bien à -p pour le chemin e parcouru dans le sens du tirage.
La roulette fera r - tours pour un tour du plateau ; on aura donc ^
pour le nombre de tours de la roulette correspondant à un chemin parcouru * sous l'ciïort de Iriclion F.
U nombre N élant d'ailleurs fini ou infiniment pclil selon qu'il a'agit d'un effort constant et d'uu chemin fini . ou d-un effort variable et d'un élément de chemin. Mais on a par définition
K=£, doùr=g, cl par suite N = '2nKr'r,K' Fe '
d'où
Ainsi, soit pour un effort constant et un travail «ni, soit pour un effort variable et un travail élémentaire, on voit
DES DYNAMOMETRES. 17
que le travail développé par le moteur est mesuré par le produit du facteur constant
3nR.rV,K
et du nombre S de tours, ou fraction élémentaire de tours faits par la roulette , de sorle que , le travail total au bout d'un intervalle quelconque étant la somme des quantités de travail élémentaires successivement développées, il sera égal au même produit en prenant le nombre N égal au nombre total de tours de la roulette pendant l'intervalle observé.
Dos instruments de ce genre ont été employés avec succès et avec la plus grande facilité à des expériences prolongées sur le tirage des voitures , et ils ont permis de déterminer les quantités totales de travail développées pur des attelages de 6 chevaux pendant des journées entières de marche, et pour des routes de Paris a Amiens, à Nancy et au Mans.
47. Disposition pour obtenir des indications du nombre de tours faits par la roulette. — Il est facile de concevoir que, l'axe de la roulcltc portant une vis sans lin, son mouvement se communique aisément par des engrenages convenablement proportionnés h deux limbes, dont l'un indique les unités cl les dizaines de tours, et l'autre les centaines, les mille de tours de la roulette. Mais de plus, afin de pouvoir observer les divisions de ces limbes sans arrêter l'instrument ou la marche, on a disposé deux styles qui, traversant deux godels remplis d'encre grasse, viennent déposer sur des limbes émaillés un point noir quand on appuie le doigl sur un boulon. Les observations peuvent ainsi être faites et multipliées sans que les résultais se confondent.
40. Dynamomètre à moteur chronamétrique. — lorsque l'on veut faire des expériences sur la résistance des bateaux au halage ou sur les charrues sans avant-train , il serait au
4g DES DYNAMOMETRES.
moins Tort difficile, el dans quelques eus impossible, de mettre le mouvement du papier en rapport constant mec le chemin parcouru. Dans ce cas , il est beaucoup plus commode d'employer un moteur chronomcliïuuc qui communique au papier un mouvement sensiblement uniforme. Alors les longueurs de papier développées représentent les temps, cl la quadrature de la courbe des flexions donue la somme îles produits F X 'de chaque effort par sa durée Élémentaire , ou ce qu'on appelle, comme nous le verrons plus tard , la quantité de mouvement totale développée dans l'intervalle de temps considéré. En divisant ensuite l'aire obtenue par le temps total ou par la longueur du papier développé, on a l'effort moyen de la puissance motrice.
■ Dans le halagc des bateaux el dans tous les cas où la vitesse peut exercer de l'influence sur les résultais, on se sert de deux pinceaux auxiliaires dont l'un sert à marquer sur le papier des points correspondants à des intervalles égaux de temps de 15", 30", clc. , et l'autre les chemins parcourus d'après l'observation des passages devant des poteaux ou objets éloignés de distances connues.
•S9. Dynamomètre de rotation.— Les instruments que nous venons de décrire n'ont été construits que pour mesurer l'effort ou le travail développé par les moteurs dont l'action a lieu en ligne droite ou circulaire ment ; mais il a été facile de les modifier de manière à obtenir le travail transmis par un axe de rotation à une machine quelconque , en appliquant le principe des styles ou celui du compteur.
BO. Description du dynamomètre de rotation à styles. — Sur un arbre posé sur deux supports en fonte fixés a un plateau en bois sont placées trois poulies de même diamètre (pl. II, fig. i et 2) : l'une , A , est fixe ; l'antre , C , voisine de la première , est folle , cl la dernière , B , est mobile autour de l'arbre entre des limites que nous indiquerons.
Cet appareil étant interposé entre un arbre moteur et une machine dont on veut mesurer la résistance , la poulie folle
C reçoit la courroie de transmission de l'arbre moteur, et quant} on fait passer cette courroie sur la poulie fixe A , l'arbre se met en mouvement cl prend une vitesse qui dépend du rapport du diamètre de la poulie à celui du tambour de l'arbre moteur.
La poulie B reçoit une courroie qui doit transmettre le mouvement à la machine et vaincre la résistance; mais comme elle est â frottement doax sur l'arbre , elle ne serait pas entraînée dans le mouvement communiqué à cet arbre par la poulie fixe, si un arrêt, qui fait corps avec elle, n'était pressé par l'extrémité d'une lame de ressort implantée dans l'arbre suivant un de ses rayons. Cette lame, tournant avec l'arbre, agit stir l'arrêt, dont la résistance la l'ail ilédiir, et quand sa résistance îi la flexion est susceplihle de vaincre celle que la machine oppose , le mouvement commence , et se trouve ainsi transmis de l'arbre moteur à la machine en expérience par l'intermédiaire d'une lame de ressort , dont les flexions sont la mesure immédiate de la résistance à vaincre.
Un style ajusté sur l'un des bras de la poulie s'approche à volonté d'une bande de papier doufie d'un mouvement propre en rapport constant avec celui de la poulie ou de l'arbre, et y tracé une courbe des flexions du ressort absolument de la même manière que dans les dynamomètres employés pour les voilures- Un autre style , immobile par rapport au premier, trace en même temps une ligne correspondante a une flexion nulle , ou à la position qu'occupait le style mobile quand l'effort était nul. Cette ligne du zéro se trouve vers le milieu de la largeur du papier, afin que l'effort puisse être mesuré indifféremment dans un sens ou dans l'autre.
Les lames employées sont à section parabolique, et l'on peut les multiplier autant qu'on le veut, selon l'intensité des efforts que l'instrument doit mesurer.
Un arrêt fixe , placé sur l'arbre , limite le déplacement de la poulie et par suite la flexion des lames, ce qui les cm-
pèche d'être forcées dans le cas d'efforts accidentels trop
considérables.
ttl. Transmission du mouvement de l'arbre à la bande de papier. — Un anneau dénié est ajusté à frollcment doux sur l'arbre, cl sa denture liéli^ filiale enjrrèiie avec un pisriirin dont l'axe, compris dans un plan perpendiculaire h celui de l'arbre, ne rencontre pas celui-ci. L'arbre de ce pignon porte une vis sans fin, qui conduit un aulre pignon monlé sur le prolongement de l'axe du petit cylindre sur lequel s'enroule la soie qui entraîne la fusée. Quand on veut faire marcher la bande de papier, on rend immobile i'anncan dénié au moyen d'un embrayage sur lequel un arrêt fixé a cet anneau vient se poser, quand on le tourne convenablement. Alors, l'anneau denté étant fixe dans l'espace, tandis que le pignon emporté par l'arbre roule autour de lui , ce pignon prend un mouvement relatif qu'il transmet à la vis, a la fusée et à la bande de papier.
Dans ces appareils on se sert encore d'une fusée conique pour commander le mouvement de la bobine qui porte le papier; on compense, par l'emploi de ecl organe intermédiaire, l'accroisse m eut relatif dans la vitesse de translation de la bande de papier qui résulterait, sans cette précaution, de l'augmentation de diamètre du rouleau moteur, sur lequel les épaisseurs successives du papier viennent s'accumuler a mesure que s'effectue le tracé de la courbe dynamométrique.
i>2. Résultais d'expériences faites avec le d'jnamomiire de rotation. — Comme exemples des résultats que l'on peut obtenir avec les dynamomètres de rotation, nous rapporterons ici quelques-uns île ceux qui ont été obtenus sur les scieries et machines de charronnage mécanique des ateliers des Messageries impériales à Cbaillot.
Scierie Te
Machines de la eharronnerie mécanique.
;Sric ;i ilOliillarJcr
Machine à lenons des rais. . .
— àpercerlesjantes..
ta ,
Machine à faire les broches. .
— a percer le fer
Orme de ! ans de coupe
F ririt lit .i ans île (T.ii;io
fJicne d~. ; ans de cnu|ie
Orme de 2 ans de coupe, Irouides rais.
— Irons dea bruches.
CliSne, brochet de O-.UM
Fer, trou de 0",03S
19 feus faisant U8C ]
DES DYNAMOMETRES.
U3. Dynamomètre de rotation à compteur. — La poulie mobile cl lu monture des lames de ressort sont lout à fail semblables ÎL celles du dynamomètre h styles. Un anneau à frottement doux et denté en roue d'angle engrène avecun pignon conique dont l'axe rencontre à angle droit celui de l'arbre. L'axe de ce pignon se termine par une vis sans fin , qui conduit une roue dentée, dont l'axe, parallèle à celui de l'appareil , porte h l'autre bout un plateau en cuivre , dont le plan est perpendiculaire à l'arbre. La poulie mobile porte un compteur à roulette semblable b celui qui a été décrit au n° i(S, et qui se déplace arec cette poulie d'une quantilé proportionnelle a la flexion des lames. Des vis de rappel permettent de placer la roulette au centre du plateau quand l'appareil est au repos.
La théorie et le jeu de cet instrument sont d'ailleurs analogues a ceux du dynamomètre à compteur pour les voitures.
Cet inslrumcnl peut facilement être proportionné de manière a tolaliscr la quantité de travail transmise par un axe de rotation pendant un jour, une semaine , un mois , et sous ce rapport il serait fort utile pour des observations relatives au partage de la force motrice entre divers ateliers ou h la consommation de combustible des machines à vapeur.
34. Indicateurs de hi pression de la vapeur dans les cylindres des machines.
Indicateur de Watt perfectionné par Mae-Navght. — 11 est de la plus grande utilité , pour l'appréciation des ciïels de la distribution de la vapeur dans l'intérieur des cylindres des machines a vapeur ou de leur état d'entretien , d'avoir un moyen de mesurer la pression de la vapeur aux différents points de la course du piston. Watt s'était déjà occupé de construire pour cet usage un petit instrument , qu'il nomma l'indicateur de la pression, et qui a reçu depuis lui divers perfectionnements de détail.
Il se compose d'un piston libre à frottement doux el sans garniture (pl. III, fig. 1), contenu dans un petit cylindre
Lin i b,
terminé intérieurement par un bout de tuyau muni d'un robinet et que l'on visse sur le chapeau du cylindre. Lorsque ce robinet est ouvert, la vapeur qui afflue dans le cylindre tend à repousser le piston au dehors; maïs la tige de celui-ci élant liée a un ressort en spirale, ce ressort se comprime, et sa flexion sert de mesure h l'effort exercé. On parvient avec du soin à obtenir de ce genre de ressorls des flexions proportionnelles aux efforts, et il ne s'agit plus que d'avoir une trace de ces flexions.
A cet effet, la tige du petit piston porte un bras ou levier a articulation muni d'un crayon que l'on peut mettre en contact avec une feuille de papier enroulée sur un cylindre en cuivre dont l'axe est parallèle a la lige du piston. A la partie inférieure de ce cylindre est pratiquée une gorge dans laquelle s'enroule un fil dont l'extrémité est fixée sur un petit treuil. Le nombre de lours du 111 enroulé sur ce treuil a un développement un peu moindre que celui du cylindre ; et sur son axe est une poulie qui reçoit plusieurs lours d'un fd dont le développement est égal ou supérieur h la course du piston. En dedans du cylindre est un ressort spiral qui le ramène a sa position primitive, quand le piston revient sur lui-même.
Il résulte de celle disposition que, pendant l' introduction et la délenle de la vapeur, le style trace sur la feuille de papier une courbe qui donne l'excès de la pression intérieure sur la pression extérieure ; puis que, dans la période d'émission, le cylindre revenant sur lui-même, le style trace une autre courbe qui donne la pression pendant l'échappement , et que celte seconde branche vient à la course suivante se refermer sur la première.
La longueur do papier développée étant proporlionnelle h la course du pislon , et les ordonnées limitées par les deux courbes étant dans tous les cas proportionnelles aux pressions motrices de la vapeur, il est évident que l'aire des surfaces comprises dans ces courbes fermées représenle le travail développé sur le pelit piston, et par suite sur le grand.
DES DYNAMOMETRES.
L'usage et l'application de cet instrument sont faciles, et, quand il est une [ois bien taré, il peut donner de bonnes indications; mais il faut remarquer que, si le crayon trace plusieurs courbes successives, elles se confondent ou se superposent de manière îi occasionner quelquefois de la confusion. Néanmoins la facilité de son installation doit faire reehereber cet appareil de tous les constructeurs de machines h vapeur.
SB. Nouvel indicateur à style. — Pour éviter la confusion des courbes [pl. II, fig. 2, 3 et i), je me suis proposé d'adapter à l'indicaleur la disposition que j'avais employée pour les dynamomètres ordinaires. .
Au lien d'agir sur un ressort spiral, le piston de l'instrument porte une léle carrée fi privée d'une ouverture dans laquelle s'engage l'extrémité d'une lame de ressort parabolique ee, fixée par son autre extrémité a un support /. La lame a une longueur (elle, qu'elle peut prendre d'un côlé et de l'autre plusieurs centimètres de flexion, et, comme on peut employer des lames plus ou moins roides, l'instrument peut servir îi mesurer des pressions comprises depuis une jusqu'à dix atmosphères. Ainsi, par exemple, pour une machine à haute pression fonctionnant à quatre atmosphères en sus de la pression atmosphérique , chaque almosplière pourrait correspondre à 10 ou 12 mill. de flexion de la lame, ce qui est d'une précision bien suffisante.
La lèle du piston porto en avant de la lame un style g, qui trace sur une feuille de papier la courbe des flexions ou des tensions de la vapeur. Un autre stylo flxe h, ajusté de manière à tracer la même ligne droite que le stylo mobile quand le ressort est au repos, indique le zéro dos pressions. Lorsque la vapeur est introduite sur le piston de la machine , elle repousse celui de l'instrument en dehors , et la courbe tracée est au delà.dc ta ligne du zéro ; quand au contraire la vapeur se détend et s'échappe, soit dans l'air, soit au condenseur, la courbe se rapproche de la ligne du zéro
DES DÏSAM0J1 ÊTRES.
ou mime la dépasse. Dans tous les cas on a sur la bande de papier une trace de toutes les variations de la pression.
Un troisième style fixe h marque a chaque coup un point qui sert à repérer la courbe avec l'origine des courses du piston. Malgré l'avantage que cet indicateur peut avoir, pour des Éludes sur l'effet des machines à vapeur, par la multiplicité et la séparation des courbes qu'il fournil, il faul reconnaître que, pour la pratique ordinaire, l'indicateur de Wall perfectionné, d'une inslallation plus commode, et plus portatif, est très-suffisant pour constater l'élat d'une machine a vapeur. Nous en reparlerons en traitant de ces machines.
On voit que les deux principes sur lesquels sont fondés lous les instruments que nous venons de décrire, savoir : P l'emploi d'un style traçant une courbe des cfforls sur une feuille de papier mise en mouvement par un moye ^direct , et 2" l'usage d'un compteur à roulelte pour totaliser la quantité de travail, s'appliquent avec facililé à tous les genres d'observations que l'on peut avoir à faire. En terminant, je rappellerai que l'idée fondamentale de ces deux solutions de la question qui nous occupe m'a été indiquée par M. Poncclet, mon matlre el mon ami , et que la part qui me revient dans la construction des instruments n'est relative qu'a la réalisation de celle idée féconde et ingénieuse.
86. Observation générale relative aux lois du mouvement. — Nous avons tu dans les notions de mécanique géométrique quelles étaient les lois des mouvements uniformes et celles des mouvements uniformément accélérés ou uniformément retardés. L'expérience nous a , de plus , montré qu'il existe des mouvements assujettis à ces lois. Ainsi, par exemple. Ton reconnaît, à l'aide des appareils chronométriques divers qui servent à ces oLservations , que le mouvement de descente des corps de diverses formes dans Veau ou dans l'air devient promptement uniforme quand ils offrent des surfaces suffisantes pour que la résistance de l'air acquière une intensité convenable.
On a également reconnu que les corps pesants offrant peu de surface tombent vers la surface de la terre d'un mouvement uniformément accéléré.
Après avoir constaté ces faits, il convient d'en déduire les conséquences.
L'on sait (n s 8) que, d'après celle propriété fondamentale de la matière qu'on nomme l'inertie, •• tout corps persévère dans l'état de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque cause étrangère n'agisse sur lui et ne le contraigne h changer d'état. "
Si donc un corps est animé d'un mouvement uniforme, c'est qu'il n'est soumis à aucune cause, à aucune force qui puisse changer son élat de mouvement, ou que si plusieurs forces le sollicitent à de semblables changements, leurs actions se conlre-balonccnt, se neutralisent, se font équilibre,
Tel est, comme on le conçoit de suite, le cas des parachutes qui descendent dans l'air d'un mouvement uniforme. L'action de la pesanteur et celle de la résistance de l'air se compensent, se détruisent.
87. Conséquence relative aux causes gui produisent l'accélération ou le retard. — Dans les mouvements uniformément accélérés ou retardés les accroissements ou les diminutions de la vitesse étant toujours les mêmes pour des temps égaux, la force qui produit cette modification du mouvement est donc constante, puisqu'elle produit des effets conslanls.
Ainsi, quand l'observation nous aura montré que le mouvement est uniformément accéléré ou retardé, nous serons en droit d'en conclure que la cause, la force qui l'accélère ou le retarde, est constante.
88. Mouvement vertical des graves ou corps pesants. — L'expérience prouve que dans le vide tous les corps soumis h l'action de la pesanteur tombent d'une même hauteur dons le même temps, quelle que soit leur densité. Il en résulte que la pesanteur agit de la même manière but toutes les molécules matérielles. Dans l'air et dans les autres milieux résistants, la résistance que les corps éprouvent dépend de l'étendue et de la forme de leurs surfaces , et elle modifie notablement la nature de leur mouvement, quand les vitesses sont considérables cl que les corps ont des volumes très-grands par rapport îi leurs poids. Mais pour les corps tels que ta pierre, le bois, les métaux, employés dans les constructions, et pour les hauteurs ordinaires de chute , l'influence de la résistance de l'air est assez faible pour qu'on puisse ordinairement la négliger.
Galilée, le premier, en observant les temps employés par des corps roulant sur des plans inclinés ou descendant ver- Ucalement, a reconnu que les espaces parcourus dans le sens de la verticale et dans celui de la longueur des plans étaient entre eux comme les carrés des temps employés ;
d'où il a conclu que pour vn même lieu à la surface de la terre la pesanteur était vniforme et constante. C'est donc a l'expérience que l'on doit cette loi importante de la mécanique.
En appliquant à ce cas les lois que nous avons trouvées pour tous les mouvements accélérés ou retardés, nous aurons pour la vilessc communiquée ou détruite après la première seconde, el qu'on ilési^nc nrdiiiiiireiui'jit par la leltre g, V| = y = 9 m ,R088. L'espace parcouru dans le sens de la verticale ou la haulcur se désigne par la lettre II. On aura alors pour les formules du mouvement des graves
39. Usage de ces for>nulcs. — ha première formule peut servir à déterminer approximativement la hauleur d'une tour, la profondeur d'un puits, par la seule observation de la durée de la cliute d'un corps. Si, par exemple, oit a trouvé qu'un corps (pour lequel on choisira, s'il s'agit d'un puils, un tison allumé, une lumière) a employé 2", 5 h arriver de la margelle au fond d'un puils , on aura pour sa profondeur
H = i"flOii X{2",5)'=30",G5.
La troisième est d'un usage fréquent, surtout dans les calculs de jaugeage des dépenses d'eau, el donne la vitesse correspondant à une hauteur de chute connue.
Ainsi pour une hauteur 11= l m ,20 on trouve
V = v/l'J,o2Xl,20 = 4-,85.
On l'a traduite en labiés que l'on Irouvc dans la plupart des ouvrages de mécanique; mais la règle à calcul supplée ces tables, quand on ne les a pas sous la main. En amenant l'un des indicateurs sous le nombre 19,02 , lu à l'échelle
supérieure, on trouve h l'échelle inférieure les vitesses correspondantes à toutes les hauteurs lues sur In réglette, ou réciproquement, en lisant les vitesses à l'échelle inférieure, on trouve sur la réglette les hauteurs correspondantes.
GO. Chute successive des corps pesants.— Les lois du mouvement de descente des corps pesants servent à expliquer entre autres phénomènes celui de la séparation croissante des corps, des gouttes d'eau, par exemple, qui, élevées ensemble cl avec contiguïté dans un jet d'eau, redescendent en pluie par gouttelettes séparées. En effet, il est facile de foire voir que, les gouttes portant du sommet de la courbe l'une après l'autre, elles doivent se séparer de plus en plus. Supposons, en effet, qu'une goutte d'eau commence son mouvement de descente O",01 avant la suivante : 1",00 après le départ de la deuxième la première goutte sera descendue pendant l",t)l et aura parcouru une hauteur
n — 4",9Q« X (l ,01)' = 6" ,003 , tondis que la suivante, qui ne sera en mouvement que depuis 1",00, ne sera descendue que de
Donc déjà la première sera en avance sur la seconde de
et, la séparation allant toujours en croissant, le jet retombera en pluie.
61. Principe de la proportionnalité des forces aux vilcises. — L'observation des faits montre et l'on sent qu'il est naturel d'admettre que les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse <i'i'iU:s iin/irimi'id dans des temps égaux infiniment petits à un même corps gui cède librement à leur action et dans le sens propre de cette action. C'est la un de ces axiomes fondamentaux admis par tous tes géomètres, et
qui De se démontrent que par l'exactitude des conséquences que l'on en tire.
Si donc on nomme F et F" deux forces qui , en agissant successivement sur un même corps, lui impriment ou lui enlèvent des degrés de vitesse infiniment petits v et tr dans l'élément de temps (, on aura, d'après ce principe, la pro-
Pour avoir l'expression et la mesure de la force F, nous pouvons la comparer à une autre force dont l'effet sur le même corps soit connu, a la pesanteur, par exemple, et comme nous savons que la vitesse communiquée aux graves dans l'élément de temps est v' = gt, cl que nous désignons par P, le poids du corps ou la force exercée par la pesanteur, la proportion ci-dessus devient alors F:P::«:yf;
d'où
Avant d'aller plus loin , remarquons que le même principe appliqué aux actions que In pesanteur exerce sur un même corps en des lieux différents, où le poids de ce corps est respectivement P et F, nous donne la proportion V:V::gl:g't:: g:g'.
D'où il suit que le rapport - = -i est constant pour tous les lieux de la terre. C'est, en effet, ce que l'observation a démontré.
Ce rapport constant du poids d'un corps à la vitesse qne la pesanteur lui communique dans la première seconde de son action est ce que l'on nomme la masse , et se désigne par la lettre V.
08. Mesure àcs forces motrices et d'inertie. — On a donc pour l'expression de la force F, capable de communiquer
ou d'enlever au corps de poids P ou de masse M un élément de vitesse v dans l'élément de temps (
On voit par celte expression que, toutes les fois que le poids du corps ou sa masse sera donné , on aura la valeur, la mesure de la force en kilogrammes , quand on connaîtra le
rapport j. Si, par exemple, ce rapport esl constant, ce qui
arrive dans le mouvement uniformément accéléré ou retardé , la force F est constante.
Mais, puisque , pour communiquer a un corps de poids P une variation de vitesse v dans l'élément de temps t , il faut
développer un effort — il y a donc ù vaincre une résistance dont cet effort est la mesure.
Celle résistance c'est la force d'inertie, h réaction qui se développe toutes les fois qu'une variation dans le -nouveimmt se produit. Ainsi l'expression précédente sera a la fois la mesure de la force motrice qui produit la variation du mouvement, et celle de la force avec laquelle le corps, en vertu de son inertie, s'oppose, résiste à cette variation.
L'examen de la formule F= montre que, pour un
poids Pou une masse donnée SI, la grandeur, l'intensité de la force F, croîtra d'autant plus que la variation du mouvement sera plus rapide, ou le rapport j plus grand. C'est ce
qui explique la grandeur des efforts et des réactions qui se développent dans les transmissions rapides du mouvement, dans les chocs qui s'accomplissent entre des corps durs, dons des intervalles de temps fres-couris , où la vitesse varie ou s'éteint si promptement.
Ce rapport - de l'accroissement ou de la diminution de la
vitesse dans l'élément du temps pendant lequel celle varia-
lion se produit, est ce que depuis quelques années les géomitres nomment V accélération.
Ainsi, dans lu cas où il s'ugit de l'action de la gravité, S' accéléra lion constante qu'elle produit est représentée par
le nombre j= y.
fl suit de cette définition et du principe général précédait, que la force qui produit une variation élémentaire djans le mouvement d'un corps, est proportionnelle au
-'poids P de ce corps ou à sa masse ^ , et à l'accélération j qu'elle produit.
On peut rendre sensible l' accroisse m en! île l'effort à exercer F, avec la rapidité de communication du mouvement au moyen d'un peso il ou de tout autre ressort dont la flexion, indiquée par un stjlc ou un curseur, est d'aulanf plus grande que la transmission du mouvement est plus rapide. Si, par exemple, on suspend nu peson un poids de 5 kilogr., auquel cas un curseur en carte placé contre la brandie supérieure s'arrêtera h la cinquième division, et qu'ensuite on élève le peson et le poids d'un mouvement accéléré , le ressort flécbira davantage, et d'autant plus que l'accélération sera plus rapide. L'accroissement de flexion indiqué par le déplacement du curseur mesurera l'clToit, la résistance opposée par l'inertie a l'accélération du mouvement.
65. Cas où la force est constante. — Si la force F, ou si le rapport - est constant, on a alors au bout d'un temps quelconque T, et quand la force a communiqué ou détruit une vitesse V, l'égalité
H = y, etparsuitc F=MY = Myi d'où FT = MV et Ff = Mu.
6-î. Relation des forces aux accélérations. — Si deux forces " F et F' agissent successivement sur un même corps, et lui
PAIl LES FORCES. 03 communiquent des accé lérations différentes j et j, , on voit qu'elles seront proporlionn elles à ces accélérations , et que l'on aura
C'est par suile de cette proportionnalité que l'on prend
quelquefois les accélérations - pour la mesure des forces.
Mais ces quantités ne sauraient être une mesure exacte des forces, attendu qu'elles n'exurimeuf qu'un rapport.
Ainsi, quand on dit d'une manière absolue et sans autre explication que la quantité g, qui exprime l'accélération produite par la pesanteur, est la mesure de celle force, on donne aux élèves une notion incxaclc, attendu que g n'est en réalité que la vitesse communiquée ou enlevée au corps par la pesanteur, pendant chaque seconde de son action, et qu'une vitesse qui s'exprime en mètres ne peut mesurer une force qui doit être comparée au kilogramme.
(IJî. De la quantité du mouvement. — Les produits MV, Mu, égaux a ? V ou 5 ti, oui reçu le nom de quantité de mouvement; c'est une expression de convention a laquelle il ne faut attacher d'autre sens que celui du produit d'une niasse par la vitesse qui lui a été communiquée ou enlevée.
On remarquera d'ailleurs que ce produit MV, Mu, est égal à celui FT et F( de ia force par le temps pendant lequel elle a agi. Si l'on considère deux forces F el i" agissant pendant des temps différents sur deux corps de masses inégales, on aura
¥t=ilv, F'(' = MV;
et par suile
F(:F'('::Mo:MV..
D'où il résulte que les quantités de mouvement Mu, M'a', communiquées ou enlevées à des corps différents dans des temps inégaux, sont cnlre elles comme le produit des
Gi DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
farces auxquelles elles sont dues par les temps pendant lesquels ces forces ont agi.
Ce n'est que quand les lemps sont égaux que les quantités de mouvements imprimées ou détruites sont proporlionnelles aux forces el peuvent leur servir de mesure.
Il suil aussi de ce qui précède , comme on va l'expliquer au numéro suivant, que dans le choc il n'y a pas de perte de quantité de mouvement, co que l'on exprime en disant qu'il y a conscrvation*]cs quantités de monvement. niais nous verrons plus loin que les chocs donnent toujours lieu a une perle de travail.
80. Forces égales agissant pendant des temps égaux. — Si les forces sont égales et agissent pendant le même temps , les quantités de mouvement communiquées ou détruites dans les deux corps de niasse H et M' sont égales. Cesl ce qui arrive dans la réaction de deux corps qui se pressent, se poussent ou se choquent. Les cfforls de compression cl de résistance élant égaux , opposés et développés pendant le même temps, il s'ensuit que la quantité de mouvement communiquée dans cette réaclion à l'un des corps est égale à celle qui a été perdue par l'autre. C'csl la une conséquence fondamentale pour la théorie du choc des corps.
Ainsi , par exemple, lorsqu'un corps dont la niasse est M , animé d'une vitesse V, vient rencontrer un corps de masse M', animé d'une vitesse V, selon la même ligne dirigée soil dans le même sens , soit en sens contraire, il se développe aux points de contact des efforts de compression égaux et opposés qui, dans un élément de temps t, enlèvent au corps choquant M un petit degré de vitesse v, et par suile une quantité de mouvement Mu, et communiquent au corps choqué M', s'il marche dans le même sens que le premier, nn accroissement de vitesse vf et une quantité de mouvement MV. Ces quantités élant égales, on a donc à chaque instant du choc ou de la compression réciproque des corps,
Dans ce cas l'un des corps perd uné quantité de mouvement Égale a celle que l'autre gagne, el la somme de leurs deux quantités de mouvement reste la même.
Pareille chose se passant a chaque instant du choc, il s'ensuit encore que la quantité de mouvement totale perdue par l'un des corps esl égale a celle que l'autre a gagnée pendant la compression , cl qu'a la (in de cette période la somme de leurs quantités de mouvement esl la même après le choc qu'avant.
Celte conséquence constitue le principe de la conservation des quantités de mouvement autrement appelé principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.
S'il s'agit de corps mous ou dont l'élasticité soit complètement altérée par le choc , et qui après la compression restent réunis en marchant ensemble d'une vitesse commune U , la quantité de mouvement après le choc esl (M-j-M'jU, et d'après ce qui précède on doit avoir
