IV', = 2M3.H

el si l'on nomme d la distance <Ui centre de gra\ ité du p dule ù l'axe, et lit la hauteur tlonl un point situé à l'uni té de distance esl descendu, la proportion,. 1 :

ii± UU MOUVEMENT DE ROTATION.

d'où H = H,rf, cl la relation ci-dessus donne

Celle relation est de nieme forme que celle qui se rapportait au pendule simple, et n'en ■! m. que par le fadeur \ , qui ne dépend que des dimensions et île la nature du

On a encore ici pour la vilesse angulaire V, = -', ce qui conduit à la relation

En raisonnant ici exactement comme on l'a fml pour le pendule simple cl en supposant les amplitudes d'oscillations 1res- petites , m: qui permet de négliger l'iullueoec de la résistance de l'air, on ferait voir encore que la fraction

4 (5/ ^Tg (S) 1

h cause de r,= 1",00; 4*oÛ il Snil que la durée d'une Traclion éléinenlairc d'une oscillation a pour expression

et que la durée totale de l'oscillation est

tO'l. Longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le mime temps qu'un pendule composé. — Si l'on compare la formule du pendule simple à celle du pendule com-

DU MOUVEMENT DE ROTATION. îtl

pusé, l'on voit que, pour que les durées des oscillations soient égales, il faut que l'on ait

ce qui donne pour la longueur cherchée du pendule simple

195. Détermination du moment d'inertie d'un pendule composé. — Lorsque dans la formule

on connaîtra lu masse totale du pendule, et la dislance d de son cenlre de gravité à l'axe des couteaux ou de la suspension, l'observation de la durée T des oscillations donnera pour le moment d'incrlic par rapport a l'axe

ce qui dispensera du calcul, assez laborieux dans beaucoup de cas, de ce moment d'inertie.

Celle formule Irouvera en particulier son application pour la détermination des moments d'inertie des volants, des pendules balistiques, etc. Il siiflira en effet de les l'aire osciller auteur d'un axe quelconque, placé à une distance connue de leur centre de gravité, en les écartant fort peu de la verticale, et d'observer la durée de leurs oscillations en comptant leur nombre.

On se rappelle de plus (u" i87J qu'en nommant Ii le moment d'inertie par rapport à un axe qui passerait par le centre de gravité et qui serait parallèle a l'axe de suspension, on a la relation

ce qui donnera au besoin le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité.

[i en résulte aussi que la lon^iu mi- .lu pendule nmplc qui fait ses oscillufions dans le même temps que le pendule compost, cl que nous désignerons par k, a pour expression

el qu'elle est Lonjours plus grande que celle du centre de gravité ù

En portant sur la ligne AG, qui joint l'axe au centre de gravité, une longueur

lous les points qui se trouveront ... ' sur la parallèle à l'axe, menée par (['S ) le poinl 0, pourront être regardés comme les centres d'autant de penh».w. dides simples dont les oscillations

se feraient dans le même temps que celles du pendule composé. Ce point 0 ainsi déterminé se nomme le centre d'oscillation du pendule.

11 est lion i)c remarquer que le point A serait récipro-

quement le cenlre d'oscillation du i centre 0 devenait celui de suspens: nomme a" la distance OG du centre c on aurait peur la dislance k' du nome ù l'axe 0

i le

pTuviLé mi point 0, i centre d'oseilUlimi

mais

et par suite

k- = k—d+il=k.

104. Détermination du ccntrr tlcgraritâ dis pendules composés. — Cette opération s'exécute [iar lo calcul ou par les moyens indiqués au n° 142, ou par la combinaison des deux méthodes. Quelquefois, pour les pendules balistiques dont le poids s'élève a plusieurs milliers de kilogrammes, on emploie le moyen suivant. On fixe en un point quelconque de leur suspension , au canon ou au récepteur, une

être négligé; on connait d'ailleurs et l'on a pu déterminer d'avance la position et même les traces du plan vertical qui contient le centre de gravilé, quand l'appareil est libre : il est donc facile de mesurer l'inclinaison que prend ce plan sous l'action d'un contre-poids donné. Cela fait, appelons p le poids du pendule;

d la dislance cherchée de son centre de gravité è l'axe des couteaux ;

a l'inclinaison du plan qui passe par le centre de gravilé et par l'axe des couteaux, avec la verticale;

corde qui passe sur une poulie de renvoi, cl à laquelle on suspend un poids qui soutient le pendule dans une inclinaison déterminée. La poulie doit être grande, son axe petit et bien graissé, de manière qu'on puisse négliger le frotlemcnt ou

coin me lire d'erreur notable en le calculant. Le frottement

Flg.-

□b des couteaux, qui ne font que rouler sur leurs coussinets, peut

L la perpendiculaire abaissée de cet axe sur la direction de la corde;

T la tension de cette corde, on a la relation

d'où

p . sin a

1U8. Centre de percussion. — Lorsqu'un corps (fig- 76) reçoit un mouvement de rotation autour de l'axe A, que nous supposons ici perpendiculaire au plan du tableau, chaque masse élémentaire de ce corps développe des forces d'inertie partielles perpendiculaires aux dislances respectives de chacune d'elles à l'axe, et dont l'intensité est mesurée par nir y , selon la notation adoptée au n" 187.

Le moment de chacune de ces forces par rapport à

l'axe de rotation est mr 1 .*-, et la somme de tous les moments semblables a pour valeur I.j.

Si l'on décompose chaque force partielle m.r^

en deux autres, l'une ho- "■ rizontale et l'autre verti-

cale, el qu'on nomme x el y l'abscisse el l'ordonnée de m par rapport à un plan vertical et à un plan horizontal passant par l'axe A, la première composante sera évidemment

VlV^VHh „

tr~ t '*'

cl la seconde sera

Si l'on appelle x, el y, les coordonnées du ccnlre de granité du corps, on aura évidemment, en faisant séparément la somme de toutes les composantes horizontales et verticales, d'après la théorie des forces parallèles :

et t i(«tt+ntf + etc.] = 5 Ma:,.

D'Où il suit encore que la résultante de ces deux groupes de forces rectangulaires est

el qu'elle fait avec l'axe horizontal et l'axe vertical des coordonnées des angles dont les cosinus sont respectivement

^ et ~, en sorte qu'elle est perpendiculaire à la distance d

du centre de gra\iié a l'axe.

Cela posé, si l'on désigne par 0 le point d'application de celle résultante F = ^ M.d, son moment sera égal à la somme de ceux de toutes les forces d'inertie du corps, et

FXÀO=^.M.rfXAO = I^;

d'où A0 — ff3"

Le point ainsi déterminé se nomme le centre de percussion. 11 est tel, qu'une force capable de produire, dans l'élément de temps, la variation de vitesse angulaire v, et qui serait appliquée à ce point, serait précisément égale à la résultante de toutes les forces d'inertie des différents éléments du

corps. Donc In pression, ou, comme on dit ordinairement, la percussion qui résulterait sur l'axe , de cette force et de cette résultante , alors égales et directement opposées, serait nulle.

Donc aussi réciproquement , pour que cotte pression soit nulle, il faut que la force extérieure qui produit la variation du mouvement passe par le centre de percussion pour qu'il n'y ait pas de clioc sur les couteaux ou sur l'axe de rotation.

On remarquera que la distance du centre de percussion à l'axe est la même que celle du centre d'oscillation, et que ces deux points se confondent. C'est pourquoi l'on doit, dans les pendules balistiques, faire en sorte que l'action de la poudre ou le choc du projectile ait lieu précisément û hauteur du centre d'oscillation.

100. Théorie du pendule balistique. — On emploie généralement aujourd'hui dans le service des poudres, pour la réception et l'épreuve des poudres, un appareil connu sous le nom Acpendule balistique (pl. III, fig. 12), dont l'invention appartient a l'Anglais Robins; célèbre professeur d'artillerie, mais qui a reçu en France, dans ces dernière temps, de notables perfectionnements.

Les pendules balistiques qui sont en usage dans les poudreries françaises, soit pour les épreuves au fusil , soit pour celles au canon , se composent d'un récepteur en fonte fixé à une suspension en fer. Ce récepteur contient une matière molle ou compressible , susceptible de recevoir et d'amortir le choc et la vitesse d'un projectile, sans que la rupture du récepteur puisse avoir lieu.

Le lir a lieu à hauteur de l'axe du récepteur, qui est horizontal. Nous appellerons ici, comme dans l'Aide-Mémoire des officiers d'artillerie ,

H le rnjon de l'arc décrit par l'aiguille qui fait marcher un curseur le long d'un limbe gradué indiquant les angles de recul ;

DU MOUVEMENT DE BOTATION. ISS i la distance du point choqué ou point d'impact nu plan

horizontal des couteaux; h la distance du centre d'oscillation à l'horizontale des

couteaux;

p le poids total du pendule chargé, c'est-a-dire y compris les tampons ou barils pleins de sable, pour ceux à canons, ou le bloc de plomb et la plancliëlle pour ceux fi fusils ;

d la dislance du centre de gravité du pendule chargé a la ligne des couteaux ;

b le poids du projectile ;

e la corde de l'arc de recul ;

a l'angle décrit par le pendule ;

V la vitesse du projectile à l'instant où il atteint le récepteur ;

V, la vitesse angulaire communiquée nu pendule après le choc.

11 faut rl'abord remarquer que pendant le choc il se développe, aux poinls de contact des projectiles et du récepteur, des cltorls d'action et de réaction égaux et directement opposés.

L'action exercée sur le récepteur accélère son mouvement , et , d'après ce qui précède , le moment de cette force par rapport h l'axe de rotation doit être égal à celui de toutes les forces d'inertie des molécules matérielles qui composent le pendule.

En continuant à nommer v, le petit accroissement de vitesse angulaire communiqué au pendule, pendant l'élément de temps f , la résistance d'une masse élémentaire m située a la distance r de l'axe sera, comme on l'a déjà dit , exprimée par mr.y; son moment par rapport a l'axe sera - j; lasommedetousles moments semblables serai, y, cl elle devra être égale au moment île l'effort exercé nu même instant par le projectile.

Mû DU MOUVEMENT DE ROTATION.

Mais d'un autre côté ce projectile, qui agit perpendiculairement à sadislance i du plan horizontal des couteaux, perd dans l'élément de temps un petit degré de vitesse v , et son inertie, qui est la même pour tous les poinls qui sont animés de vitesses à très-peu près égales et parallèles, donne

lieu à un effort moteur exprimé par | . " , dont le moment par rapport a l'axe des couteaux est -i.?.

Ainsi, à un instant quelconque du choc, on doit avoir, entre les actions développées par le projectile cl la réaction du pendule, la relation

En établissant des relations analogues pour tous les dogrés élémentaires de vitesse perdus successivement par le projectile et gagnés par le pendule , on nurnen les ajoutant :

b -i [« + t,' + + etc.] = 1 [«, + v\ + <A + etc.]-

Or la somme v-\-v'-\-v°-\- tic, est évidemment égale à la vitesse totale perdue par le projectile depuis le moment où il a atteint le récepteur avec la vitesse V jusqu'à celui où, ayant perdu toute vitesse rclolivc par rapport au récepteur, il a marché avec ce corps d'une vitesse commune égale à V,f, en nommant V, la vitesse angulaire communiquée à ce corps; on a donc

v + v- + + etc. = V— V, i

D'autre part, le récepteur parlant du repos et acquérant.par le choc la vitesse finnlc angulaire V,, on a

••, + "',-|-^, + ete. = V,.

DU MOUVEMENT DE ROTATION. Ut La relation ci-dessus devient donc

|i[V-V 1 i] = IV,=?d*.V l ,

attendu que l=?dt.

On tire de cette expression

V bi\

bP+pdk'

et l'on a d'ailleurs tu que, pour qu'il n'y ait pus de choc , on doit avoir i = k.

Mais d'une autre part, quand le pendule recule, son centre de gravité s'élève, el Lien lût la force vive qu'il possédait ainsi que celle du projectile qu'il a reçu , sont éteintes, et elles doivent être égales au double du travail développé par la pesanteur et par le frottement de roulement des couteaux, que l'on néglige.

L'angle décrit par le pendule étant a, il est clair que son centre de gravité s'est élevé de la quantité

d — d cos a = d (1 — cos o) = M sin' ~ a.

Le projectile est resté à la distance « de l'axe de rotation, et s'est élevé de la hauteur

i — i cos a =a Si sin* ^ o ;

donc le travail total développé par la gravité sur le pendule el le boulet a pour expression

La force vive possédée par ces deux corps à la fin du choc ou de leur réaclion réciproque est

Y[pdk+bf].

on a donc

d'où

En ('■salant cette valeur de V, à la précédente, on a

(Toit l'on lire

v gpW§ 1 ~ bi -isin-r,.

Telle est la formule qui sort h calculer les vitesses initiales des projectiles au moyen dos données qui y entrent cl de l'angle de recul.

On remarquera qu'en nommant C la corde des ares de recul dont le rayon est R , on a

ce qui donne

C'est sous celte forme qu'elle est rapportée dans V Aide- Mémoire d'artillerie.

On a vu que la condition de ne pas avoir de choc sur les couteaux conduisait 5 celle de i — A. Si elle était complètement salisfaite, la formule ci-dessus se réduirait à

ce qui montre qu'alors les vitesses mesurées seraient proporlionnclles aux cordes des arcs de recul. Mais celte rnndilion, dont on s'est beaucoup approché

yf(pdk + b?)(p<l + bi)!/ C — bi ■ R'

^ns la construction des nouveaux pendules a canons de iletz, du Bouche! el de Vinccones , n'est pas à beaucoup près satisfaite dans les pendules des fusils, et c'est ce qui y occasionne de si sensibles vibrations.

Les officiers d'artillerie trouveront plus de détails sur ces appareils dans l'instruction sur les épreuves semestrielles des poudres avec les pendules balistiques.