APPLIQUE AUX MACHINES. SS
largeur a In couronne dans le sens de Taxe, cl O m ,1g dans celui du rayon, étaient suffisants.
320. Laminoir à grandes tôles et à gros fers. — Dans ces machines , l'observation montre que l'on peut calculer le volant par la formule suivante
1 30000 NK .
P=JÎ
N étant la force en chevaux transmise â l'arbre du volant;
V la vitesse moyenne de la circonférence milieu de cet
m le nombre de tours du volant, ordinairement placé sur le même axe que les cylindres, en 1';
K un coefficient numérique constant que l'on prendra égal à :
K — 'io pour les machines de 80 à 100 chevaux , et 6 a 8 équipages de cylindres;
K = 25 pour les machines de 60 chevaux , et 4 à 6 équipages de cylindres;
K= 80 pour les machines de 30 il 40 chevaux et un seul équipage pour grosses tôles à fer ou deux cylindres.
Exemple: D=2»,84, m=60, V=18",«.
Pour (i équipais marchant ensemble
=0599 kil.
L'usine de Fourcha m bault, placée dans ces circonstances, a un volant de 8000 kilogrammes seulement.
Lorsque les machines ilonl on veut régulariser la marche ont pour moteur des roues hydrauliques à mouvement rapide, telles que les roues à aubes planes et a aubes courbes, le moment d'inertie de ces roues étant ordinairement considérable, il s'ajoute â celui du volant, et dès lors il est possible de diminuer un peu celui-ci , surtout si le moteur esl près de la résistance.
PRINCIPE DES FORCES VIVES
221. Observation sur l'emploi des volants. — Il résulte (le tout ci; que l'on a itH^irécédcmment que les volants n'onl pour but et pour effet que Je resserrer les variations de la vitesse entre des limites données lorsqu'il y a dans la marche des pièces, ou dans l'action des moteurs ou des résistances, des inégalités ou des alternatives inévitables, ou, dans certains cas, d'accumuler, d'emmagasiner, pendant une portion des périodes du mouvement , une quantité de travail moteur, pour la restituer à d'autres instants où le travail de la résistance l'emporterait sur celui du moteur. Ce n'est donc que momentanément que l'emploi du volant peut, dans ce dernier cas, augmenter la puissance de la machine.
Hais , le volant étant toujours une pièce lourde qui donne lieu à une consommation inutile de travail par le frottement et par la résistance de l'air, on voit qu'il faut en restreindre l'emploi aux cas où il est nécessaire , et en limiter convenablement le poids.
DU FROTTEMOT.
382. — Oti distingue ordinairement deux sortes dcfrollements, L'un, qu'on nomme frottement de. ylissemcnt, se produit quand les corps glissent l'un sur l'autre , d'où il résulte que les poinls de contact primitifs se trouvent sans cesse à des dislunces respectivement dilTcrt'nles des nouveaux poinls de contact, ce que l'on exprime en disant qu'ils ont éprouvé des déplacements relatifs inégaux ou dirigés eu sens con- Iruires- Le second genre de frottement , improprement appelé frottement de roulement, a lieu quand les corps roulent l'un sur l'autre, et qu'alors les dislances des nouveaux poinls de contact aux anciens sont les mème3 sur les deux corps, ou que les déplacements relatifs sont égaux. Comme le mot frotter implique généralement l'idée de glissement , et non celle de roulement, il conviendrait de n'admettre qu'une seule espèce de frottement, celui de glissement, et de désigner l'autre par le nom de résistance au roulement.
J123. Rappel des anciennes expériences. — Les premières expériences, que l'on connaisse sur le rrollcmcnl de glissement, sont dues à Amonlons, et sont insérées dans les Mémoires de l'ancienne Académie des sciences, année 1699. Ce physicien reconnut que le frottement est indépendant de l'étendue des surfaces ; mais il eslima sa valeur au tiers de la pression pour le bois, le fer, le cuivre, le plomb, etc., enduits de saindoux, ce qui est beaucoup trop considérable.
Coulomb, officier du génie militaire cl quelques années plus lard membre de l'Institut, a présenté en 1781, ù l'Académie des sciences, des expériences beaucoup plus complètes
I)U FROTTEHEMT.
que celles d'Amonlons et qui uni été exécutées h Rochcforl. L'appareil qu'il a employé consistait eu un banc furmé Uc deux pièces de bois horizontales de 6 pieds de longueur, sur lequel un Iralneau chargé de puids glissait par l'action d'un poids suspendu a une corde qui , passant sur une poulie de renvoi, venait horizontalement s'attacher au traîneau.
A l'aide de ces dispositions, Coulomh a d'abord déterminé l'effort nécessaire pour produire le mouvement lorsque les corps sonl restés pendant quelque Iciups en contact. C'est ce qu'il a appelé la résistante ou le frottement au départ. Il a reconnu que ce frottement élaiL proportionnel à la pression, et il a cru trouver qu'il se composait d'uno partie proportionnelle à l'élcndue de la surface de contact, qu'il a nommée l'adhérence, et d'une autre partie indépendante de cette surface. Il a ensuite recherché la valeur du frottement pendant le mouvement, et à cet effet il a observé, a l'aide d'une monlrc à demi -secondes, a arrêt, le temps employé par le traîneau, a parcourir successivement les Irots premiers et les trois seconds pieds de sa course.
liais comme sur ces durées , parfois égales à 1" ou 2*, il pouvait se tromper d'une demi-seconde à la fin, et d'autant au commencement de l'expérience, il en est résulté des incerliludes assez grandes, qui ne lui ont pas permis d'établir ses conclusions d'une manière positive , et l'on peut dire qu'il a plutôt deviné qu'obsené les lois qu'il a conclues de ses expériences. Néanmoins il a reconnu qu'en général le froltement pendant le mouvement est 1° proportionnel à la pression , 2° indépendaul de l'étendue des surfaces de contact , 3° indépendant de la vitesse du mouvement , sauf quelques restrictions que les expériences ultérieures n'ont pas confirmées.
Coulomb a aussi constaté le premier que pour les corps compressibles le frotlcmenl au dépari ou après un contact de quelque durée élail plus grand qu'il n'est après le premier déplacement.
DU FROTTEMENT
Si'4, Expériences de Metz. — Les incertitudes des observations, les restrictions apportées par Coulomb et surtout l'emploi plus général des métaux Uans la construction des macliincs , ayant rendu nécessaires de nouvelles expériences, j'en ai exécuté â Metz en 1831-32-33 et 34, à l'aide do procédés nouveaux.
22i>. Description sommaire des appareils employés. — Dans la halle des Tontes de l'ancienne fonderie , sur un sol dallé et à côté de la fosse (pl. III), on a établi un liane horizontal compose de deux poutres parallèles en chene AA, de 0™,3O d'équarrissage sur 8 mètres de long , réunies et supportées de mètre en mètre par des semelles. Ces poutres, qui dépassaient de 1",30 environ le bord de la fosse, étaient assemblées avec quatre montants verticaux BB , entre lesquels était placé un plateau FF, qui portail la poulie de renvoi do la corde àlaquelleon suspendait le poids moteur, placé dans une caisse K. Cette corde venait horizontalement se fixer & un traîneau D, chargé de poids, sous lequel on fixait les corps en expérience.
La corde , nu lieu d'être attachée directement h ce traîneau, s'accrochait h la lame antérieured'un dynamomètre à style, dont la flexion mesurait la tension de cette corde, soit au départ, soit pendant le mouvement.
L'axe de la poulie de renvoi portait un plateau H en cuivre, parfaiteincnl dressé et recouvert d'une feuillede papier. Visà-vis ce plateau, un appareil d'horlogerie communiquait un mouvement uniforme à un style formé par un pinceau imbibé d'encre de Chine , dont la pointe décrivait un cercle de 0",14 de diamètre. Le parallélisme du plan de ce cercle et de celui du plateau était d'ailleurs parfaitement assuré par des moyens précis et le contact du pinceau était produit ou interrompu à volonté.
Sur la caisse K l'on pouvait en poser deux autres dans lesquelles on plaçait également des poids, eus caisses, après avoir commencé g produire le mouvement, étaient aune certaine
356 DU FHOTTKMENT.
lin m leur, arrêtées sur des taquets, de sorte que le mouvement ne continuait qu'en vertu de lu charge cl du poids de la caisse Q. Parce moyen l'on a pu, à volonté , obtenir avec lu caisse Q seule un mouvement accéléré , et avec les trois caisses, un mouvement d'abord accéléré, puis uniforme ou retardé, selon que le poids de la caisse était suffisant pour vaincre le frottement , ou inférieur h celte résistance.
On peut consulter pour plus de détails sur ces expériences, le It crue il ries sawmls étrangers, tûmes IV et V, ainsi qu'un mémoire public en 1838, chez M. Carilian Gccury.
220. Examen des résultats graphiques des expériences. — On conçoit, d'après ce que l'on a dit précédemment sur l'appareil analogue qui existe au Conservatoire des arts et métiers, que, de la simultanéité des deux mouvements dont l'un, celui du sljle, était uniforme et à une vitesse connue, et l'autre, inconnu, correspondait dans un rapport constant aux chemins parcourus par le traîneau , il devait résulter une courbe dont le relèvement donnait la loi du mouvement de ce traîneau. On a donc pu |iar ce relèvement former une lahlu des espaces parcoums cl des temps correspondants et construire la courbe dont ces espaces étaient les abeisses cl les temps les ordonnées. Les courbes ainsi construites offraient une continuité parfaite, et l'on a reconnu, ainsi qu'il est indiqué au n° 81, qu'elles élaient des paraboles, c'est-à-dire que leurs abscisses élaient proportionnelles aux carrés des ordonnées.
De ce que celte courbe était une parabole, ou a été autorisé à conclure que le mouvement avait été uniformément accéléré. Or, le poids moteur étant constant, la force motrice qui produisait l'accélération du mouvement était l'excès de ce poids sur le frottement, et, puisque cet excès était constant, il en résultait nécessairement que le frottement était constant et indépendant de la vitesse.
L'expérience , répétée avec tous les corps eu usage dans la construction des machines, m'ec ou sans enduit , ayant
DigiiizM b/Coogl
DU FROTTEMENT
toujours conduit ii la même conséquence, on u été autorisé à regarder celte loi comme générale, du moins dans les limites de vitesse où elle a été observée , c'est-à-dire jusqu'à 3-.50 environ , et à reconnaître que les restrictions que Coulomb ; avait entrevues n'existent pas.
227. Formules employée* av calcul des résultait des expériences. — L'appareil que nous venons de décrire succinctement nous offre un exemple assez simple d'une machine dans laquelle le mouvement est varié et nous permet de faire l'application des principes généraux qui ont été exposes jusqu'ici. Nous en profiterons pour montrer comment on doit procéder dans des cas analogues.
Appelons P le poids de la caisse descendante y compris son poids et celui de la portion de corde qui pend toujours sous la poulie , en négligeant la quantité dont elle augmente dans la descente, et qui ne s'élève guère qu'à 1 kilogramme; T la tension du brin horizontal; j=8'",254 le poids de la poulie.
V, la vitesse angulaire de la poulie à l'instant que l'on considère.
ti, la quantité dont celte vitesse varie dans l'élément de temps (.
I = 0,00629 le moment d'inertie de la poulie et des pièces qui tournent avec elle.
/=0,164 le rapport, déterminé par des expériences spéciales, du frottement à la pression, pour l'axe en fer de la poulie et ses coussinets en bois de sorbier à l'état onctueux -, K = 0,032T la raideur de la corde tressée, déterminée aussi par des expériences spéciales.
N la pression sur les tourillons de l'axe de la poulie.
r le rayon de la poulie.
r" le rayon de ses tourillons.
Si l'on se reporte aux principes exposés au n° ifW, sur le mouvement de rotation varié, l'on verra qu'à cliaquc instant du mouvement de la poulie, la somme des moments
DU FROTTEMENT
des forces extérieures doit être égale a la somme des moments des forces d'inertie.
Or, la somme des moments des forées extérieures est Pr— T>— Ilr — /X.r'.
La somme des moments des forces d'inertie, correspondant à une variation v, de la vitesse angulaire est facile îi trouver ; car l'une de ces forces, relative à une molécule de masse m,
située à la distance r, , Étant m . ~, son moment par rapport à l'axe est mrf^j, et la somme des moments semblables est I pour toutes les parties qui tournent autour de l'axe.
Lu force d'inertie du poids P est ^ ^ , et son moment pur
rapport h l'axe est ^■y' r > el doit s'ajouter au précédent; ou a donc, a chaque instant du mouvement varié de la poulie, la relation
i> r Tr— Rr— /W=l Z'+£?>j-.r.
La pression N sur l'axe; de la poulie est la résultante de deux forces perpendiculaires, l'une horizontale , égale S la tension T, l'autre verticale et égale au poids P de la caisse, augmenté de celui q de la poulie , et diminué de la force
d'inertie ~ ^ ■ I 11 ' se développe dans l'accélération du mouvement vertical du poids P, et qui s'oppose a son accélération ; on a donc
Or, d'après un théorème d'algèbre du à M. Poncelet, la valeur d'un radical de la forme i/u , +b' , dans lequel on sait
DU FROTTEMENT. SUS
à l'avance que l'on a a>6, est donnée îi ^ près par la formule 0,060 + 0,4(1. En l'appliquant au cas actuel, où l'on a
toujours P-f-ç— -^>T, puisque le poids P surmonte la
résistance T et le frottement du traîneau , on a à près
La relation d'Égalité des moments devient donc, en y faisant R = 0,032T,
Pr — Tr — 0,032Tr — 0,96/r' [p+ç— — 0,.4/rT
ly,r , P v^r
et en tirant de cette équation du premier degré ta valeur de la tension cherchée T, du brin horizontal de la corde on trouve
T [ J-fO.032+04 £ } = P j l— 0,96 £ j
En substituant pour les quantités connues leurs valeurs qui sont
/■=0,164,r'=0-,0093,r=0-,lil, 1=0,00620 d'où ~=0,51,
on a pour la formule pratique qui donne la tension T, quand on connaît le poids P de la caisse
T = 0,95 | P— (°' 518 +j)tÎ — °" 1 » 086 ' Lorsque l'expérience aura démontré que l'accélération^
est constante , et que le relèvement des courbes, en donnant leur équation T' = 2CE, aura fourni pour cette accélération
I)L' FKOTTiUEHT,
la valeur -y-= £1 en nommant 2C le paramètre de la parabole , on aura tous les éléments nécessaires pour ealculcr la valeur de la tension île la corde dans l'expérience. Elle
T = 0,95 jp— (o,516+ #".086,
Dans le cas où le mouvement est uniforme , l'accélération
y-=g devient nulle, et la formule ci-dessus se réduit à
ou simplement T = 0,93P, à cause de la faible valeur du deuxième terme 0*",O86.
En relevant directement, d'après les courbes de tension du dynamomètre, les valeurs de T, relatives h plus de quarante expériences dans lesquelles les charges ont varié depuis 12 jusqu'à 95 kilogrammes , on a trouvé que le rapport de la tension à la charge, ainsi fourni par mesure directe, était de 0,96, ce qui montre que l'ensemble des données introduites dans la formule ci-dessus conduit à un résultat qui s'accorde avec cette mesure dans des limites d'exactitude bien suffisantes.
S SU. Relation entre la tension de la corde et le frottement du traîneau. — Connaissant la tension T de la corde, à l'aide du dynamomètre, ou l'ayant calculée par la formule précédente, il devient facile d'en déduire la valeur du frottement cherché du traîneau, en appliquant directement le principe de l'action égale et contraire à la réaction. En effet , la tension T et le frottement cherché F sont deux forces extérieures dirigées en sens contraires , cl dont la différence T — F produit l'accélération du mouvement du traîneau. D'une autre part, la résistance que l'inertie du poids Q du traîneau oppose à celle accélération est , n° 62 ,
ll¥ 9 ' '
DU FROTTEMENT
On a donc pour l'égalité île l'action ;i lu réaction
Lors donc qu'on aura, par l'observation directe, à l'aide du dynamomètre ou par la formule du numéro précédent, déterminé la tension de la corde on en retranchera fa quantité , Tacite à calculer quand on connaît par le relèvement le paramètre 2 G de la courbe du mouvement, et l'on aura la valeur du frottement. Telle est la marche qui a été suivie pour le calcul de toutes les expériences où le mouvement a été accéléré ; quant à celles ou le mouvement était uniforme , on a simplement F = T.
On voit que la loi du mouvement étant une fois connue par le relèvement des courbes, et étant celle d'un mouvement uniformément accéléré, on a pu, après avoir constaté la constance cl la généralité de cette loi , se passer de l'usage du dynamomètre et se contenter des indications de l'appareil cl ironom étriqué.
229. Résultat» d'expériences. — Je reproduis, comme exemples des résultais obtenus, quelques-uns des tobleaux insérés dans mes mémoires , successivement présentas à l'Institut, et insérés au Recueil des savants étrangers, et comme exemple de l'application des formules précédentes, je choisis la deuxième expérience du premier de ces tableaux, relative au frottement du chêne, glissant sur du chêne sans enduit, et les libres étant parallèles nu sens du mouvement.
Dans celle expérience l'on avait
Le tracé de la courbe donne pour le paramètre 2C = 3 m ,08,
d'où
d'où
1BÏ DU FROTTEMENT.
el pur suite la tension
T — 0,95 1 P — (o,3l64-|) jj j— 0 W ,08B = 78 lu ,45. L'autre formule donne pour la valeur du frottement
Le rapport du frottement a la pression est donc ici :
Expériences sur le frottement du chêne en mouvement sur du chêne sans enduit.
OU FROTTEMENT
Lorsque le mouvement est uniforme , zième expérience du mime tableau, r
pour(J=I99 lil ,52, P = F -- 0,95 P — 91 ll, ,04 , f— \ =
L'examen des divers tableaux qui sont relatifs à des cas très-tariéa établit complètement les lois du frollemcnt qui a lieu pendant le mouvement entre la plupart des inaltérés employées dans les arls. Les résultais de toutes les aulrcs expériences ont été. conformes à ceux que nous nons contenions de rapporter ici.
F.xpfi
le frottement de rorme en mouvement si chêne sans enduit.
Lu flbrei du bob sotil parallèles bu sens du mouvement.
■ du
DU FROTTEMENT
Expériences sur le frottement de la pierre calcaire tendre oolithiqve de Jaumont , près Metz , en mouvement sur de la pierre de même nature sans enduit.
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Lorsque la pierre calcaire tendre glisse sur de la pierre calcaire lendre, et surloul quand le corps mobile ne repose que sur des surfaces de peu d'étendue , celles-ci s'usent rapidement pendant l'expérience. Celte circonstance et la présence de la poussière qui en résulte n'ont pas altéré les lois observées.
DiïtOîd ty Cl
Ml FROTTEMENT.
Expériences sur le frottement du cuir de bœuf fort, tanné, posé à plat, en mouvement tur la fonte.
