FT = 1,223X

Si l'on suppose successivement

T=l",QO, 0\50, 0",10, 0*,0l, on a F=Glt l ,5, 1223', 6115', Gl 150*.

Celte vitesse élant communiquée dans moins de— de seconde, cela donne une idée des efforts énormes développés par la poudre, quoique nous n'ayons considéré qu'un effort moyen constant, cl par conséquent bien inférieur à la valeur maximum île l'effort réel.

Lorsque les chevaux d'une diligence pesant 4">00 kilogrammes la mettent en mouvement pour lui imprimer une vitesse de 10000 métrés à l'heure, ou

. PAR LES FORCES. 7S la quantité do mouvement h communiquer est

On aura Jonc FT = 1273,81.

Si l'on suppose que chacun des cinq chevaux attelés exerce pendant quelque temps un effort moyen de 100 kilogrammes, on aura

en négligeant la résistance du sol et le frottement des boites de roues, qui pourraient exiger dans les cas ordinaires un effort particulier de

^ = 150*. ou de 30 kil. par cheval.

Ou voit donc que dans ce cas, pour pouvoir imprimer celle vitesse en 2", 55, chaque cheval devrait développer un effort moyen de- 130 kilogrammes environ, ce qui est plus que quadruple de l'effort moyen îi exercer une fois que la vitesse serait acquise.

C'est ici te lieu d'observer encore- que dans l'exemple cidessus la rupture des traits, des palonnicrs, les blessures au poitrail, les efforts de jarrets, proviennent de la Irop grande rapidité avec laquelle la quantité de mouvement que les chevaux impriment à leur masse propre est détruite par la résistance, la réaction de l'inertie du véhicule; ce qui explique la nécessité de faire tendre d'avance les traits, et d'avertir, d'exciter doucement les chevaux de la voix.

Des effets analogues se produisent dans la mise eu marche et dans le ralentissement du mouvement des trains de chemins de Ter, et dans la recherche des moyens d'arrélcr prnmptcmcnt ces masses énormes, il ne faut pas perdre de vue que des changements trop rapides de vitesse sont dangereux pour les voyageurs.

Enlin les moyens d'embrayage ou de communication ra-

pide du mouvement à employer dans les machines doivent Être disposés ou proportionnés d'après ces notions.

Les jongleurs , les clowns , les hercules, dans leurs tours d'adresse ou de force, sont conduits par l'observation à des pmliques conformes a ce que nous venons d'indiquer, et l'on ne les voit Jamais soulever, lancer ou arrêter des masses un peu lourdes ou faire leurs sauis d'une manière brusque, mais toujours graduellement, en augmentant la durée des efforts et les chemins parcourus, afin de diminuer les efforts.

71. Observation sur l'emploi de la quantité de mouvement. — Lorsque l'on connaît ie produit de la masse du corps et de la vitesse qui lui a été communiquée ou enlevée, l'on a une mesure de l'effet produit par la force pendant la durée de son action; mais on voit que celte mesure ne peut être prise pour terme de comparaison que pour" les cas analogues où des vitesses sont réellement communiquées ou détruites par la force, et il ne s'ensuit pas que le produit FF de la force par la durée de son action, égal, quand il y a changement dans l'état de mouvement, a la quantité de mouvement communiquée ou détruite, puisse servir toujours de mesure h l'effet des forces, comme on l'a quelquefois admis pour quelques instruments et dans certains ouvrages. En effet , il est facile de voir qu'un effort pourrait durer fort longtemps sans produire d'effet mécanique. Ainsi les chevaux qui tirent sur une voilure embourbée sans la faire avancer développent des efforts considérables, qui, multipliés par la durée de leur action, donneraient un produit énorme, sans cependant qu'il en résulte aucun effet utile, aucun travail mécanique, el rien autre chose que la fatigue cl l'épuisement du moteur animé.

Prenons pour aulre exemple le lirage d'une charrue, qui, dans une terre très-forte, exige un effort moyen total de 360 kilogrammes. Admettons que, le sillon ayaul 120 mètres de longueur, les chevaux mettent dans un cas 100" et dans

l'autre 200* a le tracer. On aura pour le premier cas FT = 360 l X 100"= 36000, el pour le second FT= 360' X200"=7î000, el cependant, dans un cas comme dans l'autre, ils auront Tait le même travail. Un inslrument qui donnerait le produit des efforts par les temps ou par leur durée ne conduirait donc nullement a une appréciation exacte des effets mécaniques produits.

La véritable mesure de ces effets, c'est, comme nous l'avons dit, le produit de l'effort exercé par le chemin parcouru dans sa direction propre.

72. Observation impartante. — Nous ferons encore observer que ce n'est que dans le cas d'un effort constant agissant pendant un temps T--= 1" que l'on peut prendre le produit MV pour la mesure de l'effort exercé F, et qu'alors on a

F=MV=?VouF;P::V: ? ,

proportion qui résulte directement du principe général énoncé au n° 61. Mais, quand il s'agit d'efforts variables, le mémo mode de mesure ne peut être appliqué pour des temps finis, car des forces qui varient suivant des lois très-différentes peuvent dans le même temps communiquer des quantités de mouvement égales soit à un même corps, soit à des corps différents. La formule F = MV ne donnerait alors que la valeur d'un effort moyen constant capable de communiquer dans le même temps la même quantité de mouvement,

75. Déterminai ion de l'intensité des forces pur l'observation 'es mouvements qu'elles produisent. — La formule

montre que, si par l'observation de la lot dn mouvement on connaissait pour chaque insiant la valeur du rapport |, on aurait celle de l'effort F correspondant. Si, par exemple, l'expérience apprend que le mouvement est uniformément accéléré, on a

E=iv,P,

,, . V v SE

d'où V, = T = 7=TI .

Par conséquent F=jj.^p.

S'il s'agit, je suppose, d'un traîneau pesant 1000 kilogrammes, et qui parcoure d'un mouvement uniformément accéléré un espace de 10 mètres en 2'', on a

F= X = 102 X 5 = 510 kdogranimcs

pour la valeur de la force capable de lui communiquer ce mouvement accéléré, abstraction faite du frottement.

74. Moyens employas pour déterminer tes luis du mouvement ilet corps. — On se sert, selon li's cas. de différent* appareils ou inslnimcnls pour observer les lois du mouvement des corps. Quand ils marchent lentement, on emploi? des mon-

OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT. 79 très, des pendules, et on note les temps correspondant h îles espaces donnés. Hais ce moyen ne fournil que quelques valeurs correspondantes du temps et des espaces, et ne peut cire mis en usage avec précision pour les mouvements rapides.

7S. Appareil <fu colonel Beaufoij (pl. III, Ilg. 5).— Cel expérimentateur s'est servi, dans ses recherches sur la résistance de l'eau, d'un pendule qui traçait à chaque oscillation une marque sur une règle dont le mouvement élait dans un rapport connu avec celui qu'il voulait observer, cl comme dans ses expériences le mouvement devenait bientôt uniforme, il obtenait facilement la vitesse de ce mouvement.

78. Appareil d'Eylelwein. — Ce savant ingénieur prussien parait être le premier qui ait eu l'idée de combiner un mouvement uniforme connu avec un mouvement à déterminer, de manière a obtenir une trace de ces mouvements simultanés dont il pùl déduire les circonstances du mouvement inconnu.

Pour ses expériences sur le bélier hydraulique il s'est servi d'une bande de papier sans fin (pl. III, fig. 6 et 7), enroulée sur deux cylindres, et h laquelle on communiquait îi la main im mouvement régulier. I.es longueurs de papier passées élaient donc à peu près proportionnelles au temps. Un style fixé la tige des soupapes du bélier traçait sur cette bande une courbe dont les ordonnées étaient les espaces parcourus. M. Eylelivein a pu, à l'aide de col appareil imparfait, déterminer a peu près les intervalles de temps pendant lesquels les soupapes du bélier hydraulique élaient ouvertes on fermées. Mais on conçoit que le mouvement communiqué à la main ne pouvait être uniforme, cl que ce dispositif ne saurait donner de résultats bien exacts.

77. Nouveaux appareils. — Pour les expériences exécutées à Metz sur le frottement et pour d'autres recherches, H. Pon-

cclet m'a indiqué et j'ai employé la combinaison d'un mouvement uniforme connu avec le mouvement dont je voulais déterminer la lot. J'ai depuis modifié la disposition de ces appareils, et celui qui existe au Conservatoire des arts et métiers est établi de la manière suivanle (pl. lit, fig. 8 et 9) : Un plateau de de diamètre, parfaitement plan, reçoit un mouvement uniforme, au moyen d'un poids suspendu à une corde enroulée sur un premier treuil. Le mouvement de ee treuil se transmet à un second arbre par une roue et un pignon dont les nombres de dents sont enlre eux comme 6 : 1. Une roue montée sur ee second arbre conduit un second pignon fixé sur l'arbre du plateau. Celle roue et son pignon ont aussi des nombres de dents dans le rapport de 6 : 1 ; de sorte que le plateau fait 36 tours pour un tour du treuil. Sur l'arbre du plateau est un volant h A ailettes de 0™,10 de coté, qui sert h régulariser le mouvement par la résistance que l'air lui oppose, résistance qui, entre des limites assez étendues, croît, comme on sait, à peu près proportionnellement au carré de la vitesse.

Il résulte de celle disposition qu'au bout d'un temps assez court le mouvement du plateau, dont le centre de gravité, ainsi que celui des autres pièces, est sur l'axe de rotation, devient uniforme, ainsi qu'il est facile de s'en assurer en comptant à plusieurs reprises les nombres de tours faits par le second arbre, qui porte à cet effet une aiguille indicatrice.

Vis-à-vis du plateau, et parallèlement à sa surface, esl une poulie dont le mouvement est en rapport connu avec celui que l'on veut observer, soit directement, soit indirectement. L'axe de cette poulie porte un petit bras sur lequel est monté un style, formé ordinairement par un pinceau imbibé d'encre de Chine.

Au moyen de dispositions simples on assure le parallélisme du cercle décrit par la pointe du slyle et de la surface du plateau, sur laquelle on fixe une feuille de papier. Le slyle peut, avant l'expérience, être éloigné de la feuille de

papier d'un demi-millimètre environ, cl mis en «minci avec elle a l'instant môme où commence le mouvement.

On conçoit facilement d'après celle description succincte* que, le plateau tournant d'un mouvement uniforme et le style d'un mouvement inconnu, il résulte de ces deux mouvements simultanés une trace laissée sur la feuille de papier, qui, dépendant de celle simultanéité de mouvement, doil pur son relèvement donner la relation des angles décrits par In poulie ou lies espaces parcourus par le corps observé, et des angles décrils par le plateau ou des temps correspondants.

C'est ce qu'il est facile de voir en observant que, si le plafeau élait au repos, le style décrirai l à sa surface un cercle

l'origine de ht courbe tracée pendant l'expérience; par ce point, faisons passer un cercle de rayon Ao égal à la distance du style à l'axe do la poulie , et dont le centre soit à la distance connue AC de celui du plateau, et partageons ce cercle en dix parties égales au point 0, 1,2, 3...., 0. Par chacun de ces points menons des circonférences

* Voir pour plm de détails lu description dci Appareils tftrDnoinrfirè/ues, insérée au compte rendu du congrès scientifique tenu a Meli en 1B37.

d'un rayon égal à sa distance à l'axe A de la pou lie ; tandis q u'ati contraire, si le style étnil au repos, et le plateau en mouvement, celui-ci porterait pour trace de son contact avec le pinceau un cercle ayant pour centre celui du plateau, el pour rayon la dislance du style à ce centre. Cela posé, soit o

82 OBSERVATION I)i:S LOIS DL' WOUVËUEM.

de cercle ayant leur cenlre en C el pour rayons les dislances CO, Cl. C2, ele. Ces cercles couperont la courbe en des |ioinls 1', 2', 3', elc. Or, il e*t évident que le point 1' résulte des mouvements simultanés du si vie de 0 en I, et du plateau décrivant l'angle 1 Cl '; par conséquent l'arc 01 donne l'angle décrit par la poulie ou l'espace parcouru par le corps, cl l'angle ICI' fournil In mesure du temps correspondant. On peut donc successivement relever ces espaces et en former une table qui représente la loi du mouvement.

Prenant ensuite les espaces parcourus pour des abscisses el les lemps pour des ordonnées, on aura une courbe îi coordonnées rectangulaires, dont on étudiera la nature pour en déduire la loi du mouvement observé.

Si, par exemple, les abscisses ou les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des lemps ou des ordonnées, la courbe sera une parabole, et le mouvement sera uniformément accéléré. Si la courbe dégénère soit dès l'origine, soil après un certain lemps, en une ligne droite, te mouvement étudié est uml'onne à partir de cet instant.

Lorsqu'il s'agit de mouvements très-rapides pour lesquels des styles chargés d'encre ne conviendraient pas, on peul employer des styles métalliques traçant sur des couches de matière molle, Icllo que de la cire mêlée de suif. C'est ainsi que l'on a pu déterminer facilement la loi du mouvement d'un chien de fusil, quoique ce mouvement s'accomplisse à peu près dans ^ de seconde.

On commence par tracer sur le plateau au repos l'arc de cercle décrit pnr le style fixé ;i la lôlc du chien, et formé d'une aiguille légère d acier; ce qui sert à déterminer sur le plateau un cercle de rayon CA sur lequel se projette en A le cenlre de la noix. Cela fait, on mcl le plateau en mouvemenl, et, quand on a déterminé par l'observation directe la vitesse de ce mouvement uniforme, on lâche l'aiguille, puis le chien, et l'on obtient une courbe 0, 1', 2', 3', 4'. L'origine o de celte courbe peut se déterminer d'abord a peu près exactement

OBSERVATION J1KS LUIS DU HOUVKJIG.NT. Si!

il vue |wr l'examen de sou poini de langence avec l'arc de cercle que le stvli* a tracé avant le départ ilu cliicu. On trace le cercle décrit par la poifcie el passant par celte origine o. Cet arc se termine à la circonférence que le style a tracée quand le chien s\ >t arrêté. On le partage en un nombre quelconque de parties, ou plutôt à partir du point o on prend des ares 01 , 02 égaux a un nombre donné de degrés, et cor-

respondant par conséquent h ries angles connus décrits par le ebien. Puis du point C comme centre, cl des rayons Cl, C2, C3, etc., on décrit des arcs de cercle qui rencontrent la courbe en 1', 2', 3', ele- Enfin les angles ICI', 2C2', 3C3', donnent les temps correspondants. On peut alors comparer les angles décrits par le cluen avec les temps employés. On trouve ainsi, par exemple, pour le fusil d'infanterie a percussion, modèle de 1840, les résultats suivants :

En répétant trois fois l'expérience o ■ moyen

cl, l'arc total élant de 0"\O52 on trouve T=0\01355, el par

pour la vitesse du style. Ce style était à O"\0Gl de l'axe de la noix, tandis que le centre de la fraisure n'est qu'à 0»,0602, par conséquent la vitesse du chien à ce centre est

^~X7" , ,68=7»\58 en I seconde.

On voit par cet exemple que l'on a pu déterminer un grand nombre de points de la courbe qui représente la loi du mouremenl, cl comme le rapport des espaces parcourus aux carrés des temps est constant, il s'ensuit que celte courbe est une parabole ou que le mouvement du chien est uniformément accéléré. Ainsi la force qui le produit est constanie, et la forme de la courbe de la noix, ainsi que la résistance du ressort à la flexion, sont tellement combinées, que l'effort que le pouce doit exercer pour armer le chien perpendiculairement à sa crête est constant. Cela montre comment l'art de l'ouvrier pcul quelquefois parvenir a la solution de problèmes de mécanique assez difficiles.

On peut étendre l'usage de ces appareils à l'observation de mouvements beaucoup plus rapides encore, car dans les expériences sur le chien du fusil, le plateau ne faisait que 6 tours en 1" et l'on pourrai! facilement en obtenir 10. Alors la circonférence de ce plateau, qui a I m ,(iO de développement environ, parcourrait 10000 millirn. en 1", et, comme, à l'aide de l'instrument à relever les courbes, on peut apprécier facilement \ de millimètre, on pourrait donc obtenir les

temps à rrjôjjô de seconde près.

II serait même facile d'aller plus loin en augmentant les

ilimensions du plateau.

Si île plus on combine le mouvement de ce plateau avec

l'électricité on pourra peut-être parvenir à mesurer la durée

de certains phénomènes si rapides, que jusqu'ici on n'a pu

les étudier.

De ce nombre, par exemple, serait la loi du mouvement des projectiles dans l'air, pour laquelle des essais ont déjà été (entés, mais encore avec peu de succès, parce qu'au lieu d'un appareil à mouvement continu on a employé des instruments chronomé briques a mouvement oscillatoire ou intermittent.

78. Plateaux en sine. — La feuille de papier qui dans l'appareil ordinaire reçoit les Iraces du style est collée mouillée par ses bords sur une plaque de zinc, et celle-ci se line sur le plateau. Celte disposition présente l'avantage d'éviter les inconvénients du retrait plus ou moins inégal du papier et de faciliter beaucoup le relèvement.

70. Appareil à relever les courbes. — La feuille de zinc séparée du plateau se place sur l'instrument qui sert au relèvement des courbes cl s'y trouve de suite exactement centrée. La circonférence de cet instrument est divisée en mille parties. Une alidade mobile autour de l'axe porte sur sa longueur un disque armé de dix pointes, dont les extrémités partagent en dix parties égales la circonférence que le style aurait décrite sur le plateau au repos. On desserre la vis de pression qui fixe ce disque ; on le fait tourner sur lui-même de manière que l'une de ces poinles corresponde à l'origine de la courbe. Cela fait, on serre la vis de pression, et le disque devient solidaire avec l'alidade. Dès lors il est évident que chacune des dix pointes, dans le mouvement de l'alidade, décrira le cercle auxiliaire II', 22' 33', etc., 99', el qu'en faisant tourner l'alidade de façon que toutes les poinles successivement rencontrent la courbe, et lisant les angles décrits par cette alidade el correspondant à chaque poinlc, on mira

r.H OBSERVATION riES LOIS DU HOUVEMRfT,

les temps, qui sont proportionnels à ces angles, el les angles décrits par la pmilie du stylo, par les numéros d'ordre des poinles.

Cet instrument, du ,'i M. le capitaine d'artillerie Didion, (v-L a la fois d'une grande précision et d'une grande utilité dans toutes les opérations de ce genre et les facilite beaucoup.

tes appareils que l'on vient de décrire sont les premiers île ce genre <|iie j'aie fait construire et ils sont d'un usage commode pour les expériences diverses que l'on peut avoir

cl ne parlent pas assez Immédiatement am yeux pour qu'il soit possible de les employer dans l'enseignement. 11 m'avait semblé depuis longtemps utile d'appliquer sous tmc forme plus simple le principe de leur conslruclion; C'est ce qui m'a conduit à faire faire l'appareil suivant :

t!0. Description dn l'appareil chronomètrique à cylindre el à style pour observer les lois dit mouvement. — La pièce principale de cet appareil , dans le modèle adopté pour les lycées par le Ministère de l'instruction publique, est un cylindre vertical AB (fig. 21) de 2 m ,l0 de hauteur, que l'on recouvre d'une feuille de papier blanc ordinaire, légèrement mouillée et collée par ses bords. Ci! cylindre a 0 m ,l2a de diamètre, ce qui correspond à une circonférence de 0™,392. Il repose sur un pivot et est mis en mouvement par un appareil analogue au loumebroche.

Un poids moteur est suspendu a une corde qui s'enroule à la surface d'un treuil C. A l'une des extrémités de ce treuil est une roue D à dents, inclinées à qui conduit une vis sans fin , dont l'axe vertical porte à sa partie supérieure un volant !t ailettes, qui sert à régulariser le mouvement par l'effet de la résistance de l'air. On peut incliner ces ailettes pour accroître ou diminuer l'action régulatrice de l'air el , comme on n aussi la liberté de faire varier le poids moteur, on parvient à obtenir un mouvement uniforme du cylindre

DlïtiJCd Cy Cl

OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT. 87 îi la vitesse d'un Lotir en 1 seconde ou un mouvement plus rapide si l'on en a besoin. Ce mouvement ne se régularisant que graduellement, il est convenable de ne Taire l'expérience que l'on projette que quand le poids moteur a parcouru les 3 pu les j de sa chute; il reste encore plus de temps qu'il n'en faut pour les cas ordinaires.

Il existe au Conservatoire desarls et métiers un modèle de cet appareil plus grand et plus complet, dont le cylindre a 3 m , io de hauteur et 1 mèlrc de circonférence.

supérieure cl inférieurede ce cylindre divisées à partir des

s d'une n

i gé-

nératrice en 100 partie:

les, il est clair que chacune de ces parties correspondra ft fin de la révolution ou a 705 de seconde, et comme cliacune d'elles peut Être partagée en 10 parties ou en 10 millimètres, on voit que ces subdivisions successives donont le moyen de mesurer temps avec la précision rb. de Tita de seconde même moins. On a donc fis. ai. ainsi un véritable chrono-

mètre très-sensible. La division, dont nous venons de parler, s' effectue facilement au moyen d'une règle en bois qui

se pince sur le motilant droit du billis de l'appareil parallèlement aux arêtes du cylindre et près de sa surface. La base du cylindre porle un cercle ayant 100 dénis d'arrêt équidistantes dons lesquelles un cliquet s'en pige successivement pour fixer le cylindre pendant qu'on trace ses génératrices avec la règle. Celle-ci est en oulrc divisée de 5 en centimètres par des encoches dans lesquelles on place un crayon , que l'on lient fixe pendant que l'on fait tourner le cylindre, ce qui permet de tracer des parallèles à la base dont le développement fournit les ordonnées de la courbe du mouvement. ,

Cela pose si l'on conçoit qu'un corps M, suspendu vers le sommet du cylindre à l'aide d'un levier coudé à talon ab , soit abandonné a lui-même, tombe vers la terre et sriii guidé verticalement dans sa chute, au moyen de deux liîs métalliques bien tendus h t'aide de vis », v' et bien parallèles aux arêtes du cylindre, et de plus que ce corps porte avec lui un style, formé par un pinceau imbibé d'encre ou plus simplement par un crayon de mine de plomb pressé conlre la surface du cylindre par un ressort, on comprendra facilement que, si, pendant la desi/eulc du corps, le cylindre était en repos le style y laisserait la trace d'une des génératrices même du cylindre ou d'une ligne droite. Mais comme le cylindre se meut en même temps que le poids tombe, le stylo trace sur la feuille de papier une ligne courbe qui dépend de la simultanéité îles deux mouvements.

81. Discussion lin résultat fourni par l'appareil. — Lorsque celle courbe est obtenue el que l'on a tracé la génératrice du cylindre, qui correspond à son origine, il est facile d'en reconnaître la nature et de vérifier que le mouvement du style qui l'a Ir.iree, el p; ( r conséquent celui du mrps , qui portait ce style, était uniformément accéléré.

En effet, si l'on coupe la feuille de papier et qu'on l'enlève de dessus le cylindre, la génératrice menée par l'origine de la courbe pourra être prise pour l'axe des abscisses el

les longueurs mesurées sur celte ligue, à partir de l'origine, seront, en grandeur réelle, les espaces parcourus par le corps dans sa descente. Les ordonnées île celle courbe seront les développements d'autant d'arcs de cercle de la surface cylindrique et chaque millimètre de ces ordonnées représentera une fraction donnée de seconde.

On aura donc obtenu en réalité, avec cet appareil, une courbe dont les abscisses seront les espaces parcourus par le corps et dont les ordonnées seront les temps correspondants.

Or, en comparant directement les espaces parcourus aux lemps mesurés sur la courbe, on reconnaîtra de suite que les premiers sont dans un rapport constant avec les carrés des seconds, ce qui montre que le mouvement de descente du corps était uniformément accéléré.

Par une construction graphique. Iris-simple et qui consiste à mener u vue et avec une régie une série de tangentes à la courbe, a déterminer les points où elles coupent l'axe OY des ordonnées et a élever en ces points une perpendiculaire ù chacune de ces tangentes, on reconnaîtra que toutes ces perpendiculaires se coupent en un même point, ce qui est une propriété caractéristique des paraboles, courbes dont Ic9 abscisses sont dans un rapport constant avec le carré de leurs ordonnées. Le point ainsi déterminé est le foyer de la parabole et fournit la véritable position de l'axe des abscisses et de l'origine de la courbe , dont nous n'avions précédemment supposé la position déterminée qu'à vue, ce qui laisse toujours un peu d'incertitude.

82. Détermination de la vitesse. — Puisque l'on a obtenu directement et par l'appareil lui-même la courbe qui représente la loi du mouvement uniformément accéléré cl qu'on a reconnu que celle courbe élait une parabole , on aura les vitesses du mouvement varié à chaque inslanl par l'inclinaison des tangentes a celle courbe sur ses ordonnées. Or, cette inclinaison dans la parabole est égale an double de l'ab-

scissc E divisé par le temps T, ou ,1 y : nu j donc V= -ï d'où ~ = ~ el comme, pnr la comparaison Jes abscisses E au carré des ordonnées T, on a trouvé que=^estconstanl, l'on voit aussi que le rapport ^ est constant , ce qui montre que, conformément h la définition du mouvement uniformément varié, les vitesses sont ici proportionnelles aux temps.

Si l'on cherche la vitesse V, acquise à la fin de la première seconde de la chute on trouve V,=2E,

E. étant l'espace parcouru après la première seconde ou l'abscisse corres- \\ pondant a l'ordonnée T= 1". ' On voit donc que le nouvel appareil permet de déterminer directement par l'observation toutes les circonstances de la chute des corps qui, ahandonnés à eux-mêmes tombent h la surrace de la terre, de vérifier que ce mouvement est uniformément accéléré el d'obtenir aussi avec une certaine exactitude In valeur de la vitesse acquise par les corps dans la première seconde de leur chule et qui est égale a 9™ ,8088 environ à Paris *.

SE

* Les modèles de l'appareil chronnmélrique que l'on vient de décrire et qui on! élé rails pour les lycées, sortent des alelicrs de M. Clair, mécanicien, rue du Cherche-Midi , OS.

Quelques ronsl moteurs, dans un but d'économie, ont cru simplifier convenablement cet appareil en supprimant le treuil , l'engrenage et le volant régulateur. Ils ont remplacé le Inut par une manivelle , à l'aide de laquelle on cherche a Imprimer, lant bien que mal, un mouvement uniforme d'une vitesse connue. Quand on troll l avoir atteint on laisse tomber le poids. Il est factieux de voir ainsi altérer la précision d'un appareil simple el susceptible d'une grande exactitude. C'est faire rclro-

OBStnVATlOïl DES LOIS DU «OIVEMKNT. 91 SIS. b ■ ■■■<■'»■• nTptrimi-tttalt du principe de la propor-

tionnalité dtt fntcn aux vitestei. — Ce principe fine nous avons admis ou a- 01 , tomme rt'suHanl de IcusemhU: des phénomènes observés, el d ont on n'avait jusqu'ici donné aucune démonstration directe, peul facilement être vérifié h l'aide de l'appareil qui vient d'Être décrit, ainsi que nous l'avons fait avec M. Trcsca, pour le cours de mécanique du Conservatoire. Imaginons que ie mobile, île poids P qui esl >:mmis a l'acllon de in pesanteur soil relié d'une manière ,|Uileonque. »>' moyen d'un Ûl par example, à un nuire mobilr-ïwpmdsp. libre de se mouvoir sur 1111 plateau horizontal parfaitement dressé, el disposé d'une manière lixc *, proximité de l'appareil. L'action de la pesanteur sur ce deuxième corps sera entièrement annulée par la résislance du plateau, et lorsque le corps P tombera, il esl clair que c'est la seule action de la nesnnlcur sur ce corps qui meltia les deux corps eu inouvemcnl, et qu'ainsi la seule force P

devra imprimer le mouvement a. In masse 0 a " 3 ccs conditions la chule aura encore lieu d'un mouvement uniiorincinent accéléré, mais évidemment moins rapide que quand le corps P est entièrement lihre. La courbe tracée par le style est en effet une parabole plus ouverte que dans le ras de la chule parfailement libre . el cette parabole peul servir a démontrer, co ic nous l'nvons indiqué précédemment, la vitesse V du syslcmc au bout d'un temps quelcouque, nu boul d une seconde par exemple. L'nclion continue d'une force P imprime donc, eu une seconde, a une masse une vitesse V mesurée expérimentalement.

On pourrait de même observer la vitesse V d'une niasse 51+^, dans des circonstances analogues, en subsiiluanl un poids P' au poids moteur P, cl un nouveau corps de poids p' au corps enlrainé, de poids p.

Or, on peul h l'aide de celte double substitution faire en

sorte que P+p= f+p', auquel cas In masse mise en mouvement dans les deux eus sera identiquement la même,

élanl alors égale;! P ; ou réalise de celle manière celle

circonslance que deux poids moteurs l' el 1", qui sont de véritables lorcea, agissent pendant le même temps, une seconde, sur la même masse ti?; on a obsci

acquises Vel V'dans les deux cas, el il suffit, \ le principe, île s'assurer par l'examen îles cli In proportion

qui est la traduction du principe de la proportionnelle entre les forées et les vitesses, tel que nous l'avons énonce.

Comme loules les expériences de précision , celle-ci exige quelques soins pour être conduite a bien, parée qu'il faut tenir compte des frottements et de toutes les résistances passives auxquelles le mouvement des différentes parties du système peul donner lieu.

Dans une série d'expériences, on a observé In vitesse moyenne du cylindre a In rirconfé renée , pendant que le slylc exerce sur lui sa pression; elle s'est trouvée èlre de 0™ 47(16 par seconde , et c'est par conséquent pour une aheisse égale h celle longueur que la vitesse a dû être relevée sur la courbe tracée par le style.

Le poids total élail 6* 520 Cil comprenant dans ce poids un chiffre de 0 k 226, déterminé par des expériences préliminaires , comme équivalent a la résistance due aux frottements.

Les poids moteurs ont été successivement j> = 0*245 p" = 0 l 70O

et les vitesses correspondantes observées V = 0,354 V'= 0,072 V* =0,942

0BSEIIVAT10K DES LOIS DU MOUVEMENT. 03 Les rapports des poids molciirs étant :

.les rapports correspondant entre les vitesses observées ont donné :

La presque identité de ces rapports démontre, dans les limites de l'expérience, l'exactitude de la loi, qui pourrait de la même façon cire démontrée dans les limites les plus

Les vitesses, calculées à priori, d'après la valeur de 3 = 0,8088, auraient du être respectivement

qui diffèrent très peu, comme on le voil, de celles qui ont été observées.

Iti. Mesure du travail v, '-unique développé par les forces tiiotrictts un d'inertie dans le mouvement varié. — On n vu précédemmenl que lu force motrice et lu réaction développée jnir l'inertie d'une masse M animée d'un muuvemenl de li'unsporl parallèle et varié avaient pour mesure commune l'expression

Par conséquent, en appelant e le chemin élémentaire parcouru dans l'élément du temps (, on aura pour le travail élémentaire de la force F

Fe=M.^.e.

Un remarquera que, si le mouvement s'accélère, le ellemin parcouru par le point d'application de la force d'inertie, qui agit alors comme résistance, csl décrit en sens contraire de cette forée, qui développe alors un travail résistant égnl au travail moteur de la force extérieure F. A l'inverse le travail de l'incrlie devient un travail moteur si le mouvement lend à se retarder, et il est égal a celui de la force F qui produit le ralenlisscmenl.

On se rappellera que dans le mouvement varié la vitesse Y à un inslantquclconqueestV = -,dc sorte que l'expression ci-dessus devienlFe=M.V.e.

Le travail total développé par la force motrice pour imprimer a luus tes éléments du corps de poids P ou de masse -=jM avec certaine vitesse commune V, a partir du

PRINCIPE DUS FOHCLS VIVES. OS

repos, est donc la somme do toutes 1rs quantités de travail élémentaires semblables. Or, si Ton porte les vilessessurunc K y lî;jtic d'abscisses, et qu'on élève h y/ chaque puini des porpimdiiidaijes

•~y il est clair que, pour un necroissc-

y\ ment élémentaire v = cf de h vi-

k — ci »7 » lesse, le produit Vf sera représenté

par l'aire du petit trapèze ce'/'f, el que la somme de Ions les produits semblables, depuis le départ où V=0 jusqu'à V=ÀB=HB', sera représentée par

±ABxBB'=iv,

de sorte que le travail total développé par lu force motrice ou le travail développe par la force d'inertie sera, en l'appelant T :

«8. Forée vive. — Ce produit de la masse par le cairë de la vitesse a reçu des géomètres le nom de force vive, expression de convenlion a laquelle il ne faut ajouter aucun sens métaphysique.

Il résulte donc de ce qui précède que le travail développé par une /orée gui communique ou enlève à tous les éléments

d'un corps de masse une vitesse commune V est égal à lu moitié de la force vire correspondant à celle vitesse.

Si le corps était animé d'une certaine vitesse commune V ou d'une forée vive M Y" au moment où la force commence h modifier son mouvement , il csl évident que h force ne lui aurait communiqué, quand sa vitesse sérail devenue V ou sa force viveSIV, que la différence ou L'excès de la force vive qu'il possède il la fin, sur celle qu'il avait a l'origine de son action, savoir MV'— MV" s'il y avait eu accélération, ou MV'»— MV s'il y avait eu retard , et que le travail cor-

PRINCIPE DES FORCES VIVES

rcspondant, représenté alors par la différence des triangles ABB' et ACC, serait égal a

i(MV'-MV),

ou i(MV— MV),

selon l'un ou l'autre cas.

Ainsi, en général, te travail d'une force qui accélère ou retarde le mouvement d'un corps gui se meut dans sa directionpropre est égal à la moitié de ta forée vive qu'elle a communiquée ou enlevée à ce corps.

Ce principe a reçu le nom de principe des forces vives, et sa généralisation sert de buse à toute la mécanique appliquée-

00. Effets des gai de la poudre dans les armes et dans les bouches à feu. — Les considérations des n" Cil et suivants, relatives a la communication des quantités de mouvement, et le principe des forces vives s'appliquent directement aux effets des gaz explosifs dans les armes a feu , avec une approximation qui permet d'en déduire des conséquences utiles.

Si l'on considère, en effet, ce qui se passe pendant l'intervalle de temps fort courl qui s'écoule pendant le Irajet du projectile, ci si l'on suppose que la charge soit assez faible pour que l'on puisse faire abstraction de l'inertie des gaz qu'elle produit , l'on peut admettre que les efforts exercés par les gaz sur le projectile pour le chasser, et sur le fond de l'Ame , pour faire reculer la bouche à feu, sont les mêmes *, et comme ils sont exercés pendant le même

* En réallld et dans les conditions ordinaires du service , le poli!» de la charge de poudre étant '. à ; de celui du projectile, l'on ne peut faire cette supposition, el il est alors évident que la tranche de g al lui B fi il contre le tond de l'âme a une tension plus grande que celle qui est contre le projectile. Par conséquent la vitesse de recul est plus grande que celle que l'on Indique Ici.

Dmi :-.'J Lv Ci

PRINCIPE DES FORCES VIVES

temps , en nommant P et P' le poids du projectile et celui de la bouche a feu, y compris l'affût, v et v' les éléments de vitesse qui leur sont respe clive ment communiqués dans un élément de temps, l'on aura, d'après le principe de la proportionnalité des forces aux vitesses n° (01)