EXPÉRIENCES .SUR UNE PIÈCE DE SAPIN DE G". 03 SUR

Charges ,

à plat. . . . , de champ.

Rapport des flexions.

Fleiions

^9 mill

Moyenne ^ç ce rapport * 2 20

Le rapport des cannés des dimensions étant celui de 9 : 4 ou 2.25, on voit qu'il y a accord à peu près parfait entre les résultats de l'expérience et les indications de la théorie.

Une vérificalion semblable a élé obtenue sur une autre pièce de sapin de 0~.05 sur 0™.02 d'équarrissage.

De ces expériences résulte donc aussi la vérification de celte conclusion de la théorie que la flexion est en raison inverse du produit de la largeur a et du cube 6* de l'épaisseur des pièces.

202. Flexibilité des bois en fonction de la distance des APPUIS. — L'auteur a fait varier la dislance des appuis sur les-

quels les pièces étaient posées, mais sans réduire la longueur de celles-ci, qui avaient un peu plus de 2 mètres; de sorte que pour toutes les portées inférieures à 2 mètres, une portion des pièces se trouvait en surplomb on dehors des appuis, et continuait à atténuer Teffet de la charge et par suite la flexion. Il est (acile de tenir compte de TelTct de ces parties en surplomb ; mais il a si |}eu d'influence sur les résultats, que cette correction semble inutile pour asseoir la conclusion que l'on en déduit.

En effet, les résultats des mesures directes sont consignés dans le tableau suivant :

Sapin du Nord. Règle prismatique de 0'".02 sur 0'".05 chargée de 10 kilog.

en son milieu. — I^oids de la règle. 1^'M04.

Diitanoes des appuis,

eaniètfe»

FlexioDB en œillim. . .

Cnbee ém portées. . . .

Chêne. Règle de 0.03 sur 0.03, posée sur plat.

Poids de la règle, 0'^".94.

Dîfttanœs des appuis

1.00 1.10 1.20li.30 1.40 I 1.50 1.60 1 .70 | 1.80 | 1 .90 6.0 8.10 10.8 13. S 16.7 1 21.0 25.0 1.000 1331 1.728 2.194 2.744:3.375 4.096

en mètred Fleiions en millim.

Cubes des portées. .

Si Ton prend à une échelle quelconque, comme on Ta fait (pi. III, fig. 9) pour la règle de chêne, les cubes des portées pour abscisses et les flexions pour ordonnées à une échelle suffisamment grande, on trouve que tous les points ainsi déterminés sont en ligne droite; d'où Ton conclut avec l'auteur, et conformément à la théorie , que les flexions des piècfis chargées en leur milieu sont entre elles comme les cubes des portées.

203. Conclusions de ces expériences. — De l'analyse succincte que nous venons de donner des belles expériences do M. Ch. Dupin, l'on a conclu successivement que, toutes choses étant égales d'ailleurs, les flexions dts pièces posées sur deux appuis et chargées au milieu de leur longueur sont :

!• Proportionnelles aux charges 2P qu'elles supportent ;

2» En raison inverse du produit de la largeur a et du cube de la hauteur b des pièces ;

3* Proportionnelles au cubé de la portée iG, G dans tout ce qui va suivre désignant la demi-*portée ;

4'' Que la flexion produite par une charge unlforménient répartie est les § de celle qui serait due à la môme charge placée au milieu de,la pièce, ou, ce qui revient au même, que la première charge équivaut aux | de la seconde.

D*après cela, si Ton considère deux pièces prismattipies , du même bois, posées sur deux appuis et chargées en leur milieu» et qu'on nomme :

p f, a, 6, 2P et 2C, la flexion, la largeur, l'épaisseur, la charge et la portée de la première;

2« f, a\ Vy 2P' et 2C' les quantités analogues pour la seconde ;

Z"" fi la flexion d'une pièce pour laquelle Téquarrissage et la portée seraient les mêmes que pour la première et la charge égale à 2P'.

4'' ft la flexion d'une pièce pour laquelle la charge 2P' et la portée 2C seraient les mêmes que pour la précédente, la largeur égale à a' et la hauteur égale à b\

On aura, d'après les résultats de l'expérience :

ft'.r :: C?:G\ D'où Ton lire en multipliant terme à terme :

d'où

^..PC^.FC».

^^ oTb'^ PC»

Lors donc que des expériences spéciales ont foit conmlire

7LEXI0R* 239

pour un iptisme rectangalaire d'équarrissage connu a! et V, et

d'une portée 2G' donnée, soumis à une chai^ iP\ la flexion

/■' correspondante, on Yoitque le facteur /"pn^ étant connu,

on en pourra déduire la flexion de tout autre solide prismatique de même matière pour lequel Téquarrissage y la portée et la charge seraient différents.

Ainsi, par exemple, pour k pièce de sa[mi du Nord employée paf M Charles Dupin dans les expériences rapportées au n*" 130, on a

a' = 0'».02, b'=Q'^.Qb, 2P'=10k^ SC'rrra-'.OO, /''=0"\084.

On en déduit

PC

pour calculer la flexion des bois de même nature et au même état , lorsque la portée sera 2G et la charge au milieu 2P.

N«tfMis théoriques*

ÎI04. Considérations générales sur la flexion, la compression ET la rupture des corps fibreux. — Dans l'élude que nous nous proposons de faire de la résistance qu'opposent les corps employés dans les constructions à la flexion et à la rupture , nous nous fonderons prhicipalement sur les résultats de Texpérience et de l'observation pour en déduire des règles que les praticiens puissent adopter avec confiance et sécurité. Mais il n*est pas moins utile de considérer directement en euxmêmes les phénomènes que présentent les corps qui éprouvent des flexions plus ou moins grandes, afin d'en déduire, s'il se peut, des règles théoriques dont la comparaison avec les résultats de Texpérifflce permette de généraliser et d'étendre les conséquences que l'on peut tirer de celle-ci.

5M>S. Des effets qui se PRODxnsENT dans les corps fibreux , nicms, cinii^uKÉs ou tordus par des forces extérieures. — Cherchons donc à nous rendre compte des phénomènes gêné--

2k0 TROISIEME PARTIE.

raux que présentent les corps soumis à Faction des forces extérieures qui tendent à les fléchir, à les comprimer ou à les tordre, et suivons à cet effet les notions simples exposées par M. Poncelet dans son cours à la Faculté des sciences.

Soit ABC (pi. IIl, ûg, 10) un corps fibreux sollicité par un certain nombre de forces extérieures P, Q, R, S, T, etc., dirigées selon des directions quelconques. Le corps cède d'abord à Faction de ces forces, et aussitôt se développent les réactions moléculaires ou les résistances des fibres , des molécules qui le composent, au déplacement par extension, par compression ou par torsion. Bientôt, si ces déplacements et les efforts qui les produisent ne dépassent pas les limites pour lesquelles rélaslicité serait altérée, le mouvement s'arrête, et l'équilibre s'établit entre les forces extérieures et les forces moléculaires. Tout le corps étant parvenu à cet état , l'équilibre existe séparément pour toutes les sections que l'on peut concevoir dans le corps, et l'on peut rechercher les conditions de cet équilibre pour chaque section, en considérant le reste du corps comme solidifié. Ainsi, par exemple, pour une section IK, il faudra rechercher les conditions de l'équilibre entre les forces extérieures Q et R, agissant à droite de celte section, et les forces moléculaires développées dans la section même. Lorsque cet équilibre aura été assuré pour celles des sections où l'effet des forces extérieures serait le plus grand, il le sera à fortiori pour tout le corps. Cette section a été nommée par M. Poncelet la section dangertuse^ parce que c'est en effet celles où les déformations doivent être les plus grandes, et pour laquelle il importe donc essentiellement de les renfermer dans des limites convenables. Ces considérations sont générales et s'appliquent évidemment aux effets de torsion, comme à ceux de flexion et de compression.

206. Notions sur la flexion et la courbure des lignes. — Pour l'intelligence de ce qui va suivre, rappelons quelques notions sur la courbure des lignes. Si l'on considère (pi. III, flg. 11} deux éléments consécutifs ac et cb d'une courbe et qu'on mène en leurs milieux m et n deux lignes nio et no normales à ces éléments, ces lignes se couperont en un point o qui

serait le eentre du cercle qui passerait par les points ay b é( c, e\ qui, à la limite de petitesse des éléments, se confondrait avec la conrbe. Ce cercle s*appeUe le cerde osculateur de la courbe, et les lignes égales mo et no son! les rayons de courbure que nous désignerons par r. L'angle compris entre les normales consécutives, ou Tare décrit à Tunité de distance qui le mesure, étaut désigné par e. Tare élémentaire s de la courbe a pour eiipreâ-

sion 5 = re , d'où r = - et c = -. La courbure de la courbe étant

d*aiUettrs d'autant plus grande, plus rapide, que le rayon r est

1 e plus petit, elle est exprimée par le rapport - = -, et Ton re-

marquera que Tangle e des normales mo et no est égal à celui que forment les tangentes à la courbe en m et en n, ou les prolongements des éléments ac et cb^ angle que Ton nomme Vatyfjle de contingence. Gela posé, et sans entrer à ce sujet dans des détails qui ne seraient pas à leur place, examinons ce qui se passe dans la flexion des corps.

207. Hypothèse de GaliliSe sur le moqe de késistance des MATÉRIAUX A LA FLEXION. — C*est à TiUustre Galilée que Ton doit les premières recherches scientifiques sur la manière dont les corps résistent aux efforts auxquels ils sont soumis dans les constructions; elles sont développées dans ses Dialogues, publiés en 1638. Galilée considérait les corps comme composés de petites fibres appliquées parallèlement les unes sur les autres, et supposait la résistance totale proportionnelle à l'étendue de la section transversale et indépendante du degré d'extension qu*elles prenaient avant de se rompre, hypothèse qui, comme nous le verrons plus tard, n'est pas conforme à la nature. Il admettait de plus que, dans le cas d'un solide encastré horizontalement par l'une de ses extrémités et sollicité à fléchir par une force verticale agissant à l'antre extrémité, l'axe autour duquel se bisait la rotation dans une section quelconque autmoment de la flexion ou de la rupture étkit placé à la partie inférieure de la section, de sorte que toutes les fibres du corps s'allongeaient à peu près proportionnellement à leur distance à sa face inférieure.

RSS. DES M. ]. 16

£42 TROiaillB PARTIE.

Si, dans cette hypothèse, <hi considère (pi. III, ûg. li) an solide prismatique à section rectangulaire, on voit ^''en nonniant £ la résistaBoe par onité^de sor&ce, celle d'une trancke de surface élémentaire i, située, à la distancé v de l'axe nm de rotation, serait E«, et que le moment de cette résistance par rapport à mn serait ^al à E^, ou au produit du nombre constant Ë par le moment de cette tranche élémentaire par rapport à la sectionrnn de la couche inférieure ; de sorte que le moment total ou la somme des moments semblables serait égal au produit de la surfoce totale A de la section par la résistance E par unité de sur&ce, .et par la distance de son centre de grayité à l'axe mn, le centre de gravité étant le point d'application de la résultante de toutes les forces égales appliquées aux différentes surfaces élémentaires dont l'ensemble constitue la surface totale. Dans le cas d'une pièce prismatique à section reotangulaire, de largeur a et de hauteur 6, on aurait A = a6; la

distance du centre de gravité à l'axe serait -, et la somme des

moments des résistances des fibres serait, dans l'hypothèse de Galilée,

et pour que l'équilibre sobsist&t entre les forces extérieures et la section que l'on considère, il Cuidrait donc que la somoie des moments de ces forces et celle des résistances moléculaires, par rapport à l'axe mn, fussent égales ; de sorte qu'en nommant M la somme de ces moments^ on devrait avoir

208. HvpoTHÂSES DE Mariotte ET DE Leibkitz. — Maiio . ayant voulu vérifier les résultats de la théorie de Galilée, ne les trouva pas conformes à l'expérience, et fut conduit à eonsidâ:Tr les corps comme composés de fibres extensibles qui résistaient a l'exten^on proporticmnellement à leur allongement. Cette supposition, qui avait déjà été faite par Hooke» célèbre géomètre anglais, vivant en 1670, était déjà plus voi^ne de la vérité;

mais elle fut étendue par Mariotte jusqu'à Tinstant de la rupture, qui n'arme, comme on le sait, que quand Télasticité a ^ aMrèe, et par conséquent a^rès que les allongements ont cessé Âféïre proportiomiels aux efforts.

LeibnitE, en ne basant sur Tbypothèse de Hooke, et en supposant ehoore que la rotation produite par la flexion se Caisait autour d'un axe^itué à la partie inférieure du corps, parviirl h une formule qui concorde mieux avec les résullats de Texpérience. '

En effet, si dans cette hypothèse l'on examine (pi. III, fig. 13) ce qui Me passe dans une tranche élémentaire comprise entre deux plans normaux à sa longueur et infmiment voisins, et que Ton considère en particulier une fibre élémentaire mn située à la distance v de Taréte inférieures de la section, on voit, en menant cp par^Uèle à mm\ que cette fibre mn, qui avait primitivement une longueur égale à m'c, a éprouvé un allongement pn, et que, d'après ce que l'on a dit au n* 203, on a

pi% : m'c :: moMv : m'o ou r;