U OU

Or le rapport ^ est ce que l'ou a appelé précédemment (n" 6)

rallongement proportionnel i; et tant qu'il ne dépasse pas la limite V, qui correspond à raftératîon de l'élasticité, la résistance de la fibre est proportionnelle au coefficient E d'élasticité, à Taire de la section transversale a de la fibre et à sou allongement proportionnel i ; de sorte que l'on a pour la valeur de eeile résistance :

EaiesEa-; r

et son moment par rapport à Taxe de rotation de la section , supposé en c, sera

Ea- . V = E -«• = - X au*, r r r '

E c'est-à-dire égal au produit du quotient ~ du coefficient d'élasticité divisé par le rayon de courbure, et du moment dMnertie de la section transversale de la fibre élémentaire que Ton considère par rapport à l'arête inférieure c de la section du corps. La somme des moments semblables, ou le moment total de la résistance des fibres de la section, serait donc

eu remarquant que la somme des produits av'-}-cV* + etc., est le moment d'inertie de la section par rapport à Taxe inférieur de rotation, moment que nous désignerons par la lettre I. D'après cette théorie, on devrait donc avoir, enti'e cette somme des moments des forces moléculaires et celle M des moments des forces extérieures, la relation

Mais rhypotbèse de la rotation autour de la ligne inférieure de la section transversale n'est pas d'accord avec l'observation, ainsi qu'on l'a vu par les expériences rapportées aux n*»* 190 à 8012, et l'existence d'une couche de fibres qui, pour chaque position d'équilibre, ne subissent ni allongement ni raccourcissement, se trouve au contraire démontrée par l'expérience.

209. Théorie de la résistance des corps fibreux a la FLEXION TRANSVERSALE. — C'cst sur Cette cousidératiou de l'existence d'une fibre invariable dans l'intérieur des corps, regardés comme composés de fibres parallèles, qu'est fofidée la théorie actuelle de la résistance des corps à la flexion.

La rotation qui se produit dans chaque section s'efTectuant pour chacune d'elles autour d'une ligne contenue dans cette couche des fibres invariables, il s'ensuit que l'allongement et le raccourcissement des fibres situées en dehors de la couche des fibres invariables sont proportionnels à leur distance à cette couche.

A l'aide de cette considération, examinons maintenant

(pi. m, (ig. 14) ce qui se passe entre deux sections infiniment voisines et perpendiculaires à la longueur d*un corps fibreux fléchi, que nous supposerons» par exemple, solidement encas* tré par Tune de ses extrémités, et soumis à Tautre à l'action d*ane force extérieure P qui agit normalement à sa longueur dans le plan Yertical moyen qui le diviserait longitudinalement en deux parties égales.

Soient IK et ik les sections que l'on considère et dont les plans prolongés se rencontrent suivant une ligne perpendiculaire au plan moyen du corps et qui se projette en o. Dans la flexion du corps, les sections IK et ik restant normales à la ligne des fibres invariables, le point o sera le centre de courbure de cette ligne, et l'on aura, d'après ce qui précède (n» 205),

co == r, Ce == s.

Si par le point c l'on mène une parallèle cl' à la ligne CI, il est évident qu'une fibre quelconque mn, qui avait avant la flexion une longueur égale à Ce = mp, se sera allongée de la quantité pn qui sera proportionnelle à sa distance pc à la fibre invariable Ce; la figure montre, par les triangles semblables Coc et pcn, que l'on a

pn : en :: s: r,

d'où «n=-Xcn = -t;,

en appelant v l'ordonnée du point n ou sa distance à la coucho des fibres invariables, et l'allongement relatif de cette fibre, ou par unité de longueur, sera donné par le rapport

pn pn en v .

mp Ce co 7*

Or, si l'on nomme a l'aire élémentaire de la section de cette fibre, on sait par ce qui précède que sa résistance à l'allongement, que nous appellerons p, aura pour expression

i)=Eai = Ea zrr-Xat;.

Si la force, qui tend à fléchir le corps, reste normale à sa Ion-

gneur, et que les flexions soient très-petites, ainsi que cela doit toujours arriver dans les constructions, la composante de fcKe force , perpendiculairement à Tune quelconque des sections normales, sera nulle ou négligeable ; par conséquent la force extérieure qui tendrait à produire une transfation longitudinale est aussi nuUe et négligeable. It n'y a pas de translation, et les forces moléculaires doivent se faire équilibre quanta la translation tongitodinale. Or, si les résistances moléculaires des fibres sont toutes normales à cette section, il faudra donc que les résistances à Textension des fibres placées d'un côté de la surfece des fibres invariables fassent directement équilibre, quant à la translation, aux résistances à la compression, situées de Tautre côté; et comme toutes ces forces sont parallèles, cela exige que leur somme soit égale à zéro. C'est la première condition de réquilibre dans cette section.

Si Ton remarque que Fûne quelconque de ces forces a pour expression

et que le facteur - est le même pour toutes les fibres, la somme

des forces analogues, pour toutes les fibres a, a', a!\ placées à des distances t;, v\ r", .. ., etc., qui doit être nulle, sera

- {av + a'v' + dV + . . . , elc.)= 0.

210. La ligne des fibres invariables passe par le ceivtrb DE GRAVITÉ DE LA SECTION TRANSVERSALE. — Ou voit quc la Condition que cette somme soit nulle revient à dire que la sonftme des moments des sections de chacune des fibres, par rapport à la ligne des fibres invariables, doit être nulle, c'est-à-dire, d'après le théorème connu des moments, que cette ligne des fibres inva* riables passe par le centre de gravité de la section . Or on sait, soit par les méthodes géométriques directes, soit par la méthode de Th. Simpson, déterminer le centre de gravité d'une aire plane {Notions fondamentales y n*' 145 et suivants) ; nous pourrons donc toujours, quelle que soit la forme de la section transversale du

JXEXIQH* 84?

p^ que Von considère, déterminer la ligne, perpendiculaire sens de la résultante des forées extérieures, qui contient ie^ fibres invariables*