Condition générale de l'équilibre entre les forces
EXTÉRIEURES ET LES FORCES MOLÉCULAIRES. — Si UOIIS COUtinUOnS
de considérer un corps de forme quelconque (pi. III, Rg. 14) encastré par Tune de ses extrémités et soumis à des forces extérieures P, Q, R, etc., et Tune quelconque de ses sections IK, lorsque ce corps sera parvenu à une position d'équilibre, la flexion générale, et pcnr suite la rotation des flbres élémentaires de la section IK autour de la ligne des fibres invariables ayant cessé, il faudra nécessairegient que la somme des moments des
E résistances moléculaires, telles que p=: -ai;, des fibres par rapport à cette ligne, soit égale à la somme des moments des forces extérieures qui agissent à droite de la section IK. C'est la deuxième condition de l'équilibre dans cette section.
Or, si l'on se reporte à la figure 13, on verra de suite, comme au n'' 208, que le moment de la résistance p de la fibre mn par
E rapport à la ligne des fibres invariables, est pt? = -av', et que
la somme de tous les moments semblables sera, pour la section entière,
-(at;«+a'y'*+aV* + elc...).
La somme des produits at?', a'i;'*, etc., de Valte de la section transversale de chaque fibre par le carré de sa distance à la ligne des fibres invariables est ce qu'on a nommé dans les Notions fondamentales le moment (Pinertie^ que nous avons désigné par I.
Donc la somme des moments de toutes les résistances molé-
culaires à l'extension et à la compression est -I, et cette somme
doit être égale à celle des moments Pp+Og-f etc.... = M des forces extérieures qui tendent à produire la rotation autour de la section IK que l'on considère.
On a donc en général, pour la condition d'équilibre et pour une section quelconque, la relation
FI
y = Pp + 0^ + elc... = M.
813. Ldotesdes résistances perbianentes.. — Mais pour que cet équilibre puisse subsister d*une manière permanente, et pour que la résistance de la pièce soit durable et offre la sécurité nécessaire, il faut qu'aucune des fibres de la section transversale que Ton considère ne soit soumise à un allongement ou à une compression qui dépasse les limites de l'élasticité.
Dans la rotation qui se produit autour de la ligne des fibres invariables, la fibre la plus éloignée de cette ligne est évidemment celle qui s'allonge ou se raccourcit le plus. Si, par exem-i pie, ci est plus grand que cfe, la fibre dont la longueur a subi la plus grande variation est IF, et son allongement est VL Or on n, par les triangles semblables, en appelant v' la distance ri' de cette fibre à Taxe des fibres invariables,
et en nommant % l'allongement ou le raccourcissement proportionnel que les fibres peuvent éprouver sans altération de leur
élasticité, il faut que l'allongement - de la fibre la plus éloignée
soit égal à t', ce qui donne
- = !'; d'çu - = -,.
Par conséquent,
El Eli'
Mais si, conformément à ce que nous venons de dire, on appelle R l'effort permanent d'extension ou de compression que
250 TROISlèliE PARTIE .
chaque wniiè de surfiice de la section trwiSTersale da corps peut supporter avec sécurité, on aura
et par suite
R=Ei', d'où t'=:|,
