AE

2* Par Faction des composantes parallèles à cette section, un allongement proportionnel exprimé par

* "~ Er

Donc la compression ou l'allongement total serait

. ., , T Mu' ', „ ^ Mv' T

en ayant soin de prendre dans tous les cas pour i la valeur positive fournie par Tune ou l'autre de ces relations.

On aura donc à établir dans ce cas, poor la stabilité de la construction, la relation ^

Enfin, si la fibre la plus comprimée était plus éloignée de la ligne des fibres invariables que celle qui est la plus allongée» il faudrait, dans le dernier cas que nous venons d'examiner, ajouter les deux compressions i' et i'\ comme dans le premier cas, où Ton considérait les allongements, et l'on aurait encore à la limite des compressions qui n'altèrent pas Télasticité :

218. Remarques sur les quantités A et I. — On remarquera que les quantités A et I, qui représentent, l'une Taire de la section transversale, l'autre le moment d'inertie de cette section par rapport & la ligne des fibres invariables, ne dépendent que des dimensions et de la forme du profil de cette section, et que, par conséquent, R étant connu Vaprès l'observation des bonnes constructions, comme nous l'indiquerons plus loin, T et M dépendant de l'intensité et de Ja disposition des forces extérieures qui agissent sur le corps, on pourra toujours déterminer les dimensions et les proportions de la section transversale ou les quantités A et I, de manière que les relations précédentes, qui expriment l'équilibre permanent, soient satisfaites, ce qui constitue la recherche importante des proportions du corps propres à assurer la stabilité des constructions.

219. Cas ou le corps a un profil constant sur toute sa longueur. — Dans un grand nombre de cas, le corps a sur toute sa longueur le même profil, et alors les quantités A et I sont constantes; dès lors la section dangereuse est évidemment celle pour laqueUe le second membre des relations précédentes,

Ml)' ^ T acquiert sa plus grande valeur.

Dans le cqs où le corps est encastré par l'une de ses extrémités, la section d*encâstremenl est habituellement la section dangereuse ; et si rallongement ou la compression que produit la résultante T des composantes normales à cette section est nul ou très-faible par rapport à celui qui provient de la flexion, cette section est toujours la plus dangereuse. Dans ce dernier cas, qui se présente fréquemment dans la pratique, les relations . de stabilité se réduisent à

d*où Ton tire

* Mt^' I M

1=^, ou -. = g.

' Dans certains cas, Ton peut disposer ou distribuer les forces extérieures de manière que la somme de leurs moments par rapport à la section dangereuse soit nulle, et alors la pièce n'étant plus soumise qu'à des efforts d'extension ou de compression, la relation de stabilité se réduit à

d'où l'on tire

ce qui conduit immédiatement à la détermination de la section transversale, quand on connaît la force T qui tend à comprimer ou à étendre le corps.

Ce cas est celui des piliers ou des colonnes qui soutiennent les chaînes des ponts suspendus. La direction et la tension de ces chaînes doivent être combinées de telle façon que la somme des moments des forces qui tendent à produire la rotation du support sur sa base soit nulle ou à peu près, et qu'il ne soit soumis qu'à une compression.

SflO. Obssrtations. — Les relations d'équilibre entre les forces extérieures et les forces moléeidaires que nous venons d'établir, dans lesquelles la quantité R est limitée aux efforis

AâS. DBS M. I. 17

que chaque unité de surface peut supporter sans altération de l'élasticité, out reçu à TÉcoIe de Metz le nom d'équationd'équar' rissage^ qui exprime que c'est de cette relation que l'on peut déduire les dimensions réelles des pièces.

Valeurs des momente dîner Ue des divers prollls.

221. Valeurs des quantités I et— ,, relatives aux différents PROFILS EN USAGE DANS LES CONSTRUCTIONS.— On ETU qUC

la ligne des fibres invariables devait passer par le centre de gravité y ce qui conduit à rechercher la valeur du moment d'inertie I et du rapport -r pour les différents profils en usage par

rapport à une ligne passimt par ce point et perpendiculaire an plan des forces moléculaires.

Pour donner une idée de la manière de calculer ces quantités, et montrer comment on passe des formules générales qui précèdent aux formules pratiques Menons examinerons quelques ca$ particuliers.

Mais commençons d'abord par une considération générale fort simple due à M. Poncelet. Soit IK (pi. III, fig. 15) une section transversale quelconque du corps» et a l'aire d'une fibre située à la distafice me ou m'c' =:v de la ligne des fibres invariables AB. Menons mp:=7n'(/=mc perpendiculaire a^ plan de IK; on aura évidemment av^^aXmp ou le volume du prisme dont la base est a et la hauteur mp ou v, et le produit av*=a'XmpXmc sera le moment de ce volume» par rapport au plan des fibres invariables qui passe par le centre de gravité, et qui est perpendiculaire au plan des forces moléculaires.

Donc, pour avoir le moment d'inertie total, il faudrait prendre la somme des moments de toutes les tranches élémentaires deç profils semblables à ILc et UKc, tant en dessus qu'en dessous de cM, et ajouter Tune à l'autre les deux sommes respectivement relatives aux parties supérieure et inférieure de la sectiooL

Or, pour le triangle ILc, cette somme est égale au moment du triangle par rapport à cM, ou au produit de sa surlace

TLEZIÛN. SM

^ d X IL par b distanct | d da son centre de graidté à la lîgoe ^H; elle est donc égale à ^ cP, attendu que d =:IL.

SSS. Cas où le contouk qb i^ sbcuor trahsvbrsaie caRsi-

DÉBÉE ssT QUBLCONQOB.*— Lorsque le profil dç la section trans*

Tersale sera queloMique, ai Ton appelle toujours v l'ordonnée

extérieure e^ct de son contour extérieur par rapport h la ligne

AB et e Fépaisseur d'une tranche élémentaire c'ci'du profil , le

moment d'inertie de cette tranche par rapport à AB sera { v^e

el la Tsleur de la quantité -y relative k cette tranche sera ^ v*9.

Pour avoir les valeurs totales de I et de -7 pour la section en»

tîère, il Caudra donc prendre la somme de toutes les quantités semblables, ce qui se fera facilement, soit par les méthodes de calcul connues, s'il s'agit de formes régulières et géométriques, soit par la formule de Simpson.

Dans ce dernier cas, si l'on nomme a la largeur du profil AB , on la partagera en un nombre pair 2n de partie^ égales; on aura par le tracé, pour chaque point de division, les ordonnées

^y Vit V$ t^liH-lt

et Ton en déduira

I=i.*|iLi?i'+vt'*+i+Hi^.'+v*»+etc...O+2(v«'+v^+etc...O] et

f/ étant la plus grande de toutes les ordonnées du profil considéré, on prendra séparément les valeurs de ces quantités pour les deux parties du profil situées au-dessus et au-dessous de la ligne AB et on les ajoutera pour avoir les valeurs totales

de I et de -r-

On se rappelle d'ailleurs qu'à l'aide de la même méthode de Simpson, on sait déterminer la Ugne AB ,. qui contient le centre

de gravité de la section (P* partie» n*" 149) , et c'est pourquoi nous rayons supposée connue.

S95. Formes particulières. — Dans la plupart des applications, la forme du profil transversal du corps est assez simple pour qu'il soit facile de déterminer directement les valeurs de

I et de -; : nous allons examiner les formes les plus usuelles.

224. Section rectangulaire. — Dans ce cas (pi. III» fig. 16), toutes les tranches semblables à ILcMK sont é^es, et le plan des fibres invariables partage la hauteur totale b du rectangle en deux parties égales. La somme des produits des volumes élémentaires des prismes mp par leur distance me à la ligne AB, est égale au produit du volume total ^cIXlLxa, du prisme qui ^aurait ILc pour base et la largeur a de la pièce pour hauteur, par la distance | cl de son centre de gravité & la ligne AB. En posant IR = b» le volume du prisme est exprimé

par |.-X^Xa=^a&*; la dislance de son centre de gravité à

cG est § cl = ^ 6 ; on a donc, pour le moment d'inertie du prisme supérieur à cAB, la valeur ^aV;on a la même valeur pour le prisme inférieur y attendu que tout est symétrique de part et d'autre de AB ou de cG , et par conséquent

I='J5a6»=AA6*; d'où i=ia4«=iAfc,'i

en appelant A la surface a X & de la section transversale du solide.

Si la pièce est à section carrée , on a

a=ft et I=AA6«=A&», ^=iV.

22tt. Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à l'un DES CÔTÉS. — Dans ce cas (ph III, fig. 17), le moment d'iuertie serait encore égal au volume du prisme , ou

JcIXlLXaXfcI,

FLSXION. Ml

expression qui, dans le cas actuel, à cause de cl == IL= 6, devient

Si un autre rectangle semblable était situé symétriquement an-dessous de la ligne AB^ son moment par rapport à cette ligne serait encore ^at^, et la somme de ces deux moments, ou fa^*, revient à celle du m 824, si Ton remplace 2b, qui est maintenant la hauteur totale , par b , qui exjMrimait cette hauteur dans les formules antérieures.

S26. Moment d'inertie d'un trim^gle par rapport à l^jne

DE SES BASES D. — Si l'ou cousidèrc une tranche élémentaire ab du triangle parallèle à sa base D située à une dis- ' lance H' du sommet, i! est facile de voir ^* qij'en nommant D' la longueur de cette 7 tranche y et H la hauteur totale du tfian* gle, l'aire de cette tranche aura pour expression D./i' en désignant par h' sa

hauteur élémentaire. Son moment d'inertie par rapport à la

base AB du triangle sera

DWXCH—H')*.

Or on a, d'après la figure,

H:H'::D:D' d'où D'=g.H', le moment d'inertie de cette tranche peut donc être exprimé par

et le moment d'inertie du triangle entier étant la somme des moments d'inertie de toutes les tranches semblables , depuis W=o jusqu'à H' =H , il aura pour valeur

^liH*-5H*+iH*i=AI)H'=iAH«,

A s^DH étant Taire du triangle.

96S TROISiâldS PÀRTŒ.

S27. MOMEirr D*IlfERTIE d'un PARAUiLOGRAlOai PAR RAPPORT

A l'une de ses diagonales. — Le parallélogramme étant le double de chacun des triangles dont sa diagonale serait la base, son moment d'inertie sera aussi le double de celui de chacun de ces triangles , et par conséquent égal à

JD.BP,

H étant totijours ici la hauteur de l'un des triangles, la surface du parallélogramme a pour expression 2X5DH=DH, et en continuant à l'appeler A, l'expression du moment d'inertie du parallélogramme peut être mise sou& la forme

lAH*.

SSS. Moment d'inertib d'un rectangle par rapport k une

LIGNE PASSANT PAR SON 0ENTRE ET FORMANT UN ANGLE, ET AVEC l'uN DE

SES CÔTÉS. — Le moment d'inertie cherché est la somme de ceux des deux quadrilatères égaux OABO et ODCO'. Or le moment d'inertie du quadrilatère OABO' est égal à la différence de ceux des triangles OAB' et O'BB'. Par conséquent, en appelant H et H' les hauteurs de ces triangles, et A et A' leurs superficies, l'on a pour le moment d'inertie du quadrilatère OABO' l'expression

i{AIP— A'H'«j.

En obsenrant que par suite de la similitude des triangles OAB' et OBB' l'on a

A:A'::IP:H'% d'où Aff«=A'IP,

l'on ne changera pas la valeur de l'expression ci-dessus en y ajoutant AH'*— A'H* = 0, ce qui lui donne la forme

i {AH* - A'H'*+ AH'* - A' •) =é (A —A') (H* + H'«),

la figure montre que

H=AM=rIL+AK = ^{6cosa+A^<x} et H*=BN=:IL— BP = î{6cosa— asînaj.

Par conséquent

Le moment d'inertie du quadrilatère OÂBO' est donc égal à

iz (A— A') }6« cos' ^ + 0} sin« « j ,

et celui du rectangle ABCD , qui en est le double , a pour expression en appelant son aire A, son aire ah double de A — A',

I=^A|6'oo6*a+a*sin*aj = ^û6iè*cos*a-f-o*sin*a}.

la fibre k plus éloignée de la ligne 00' étant à la distance

t?' = H= i(& cos a+a sina).

Ton a aussi

JL — 1 flft {&* cos* g 4- g* sin* «} 'o' * 6cosa+asin«

220. Profil en double T. — Dans ce cas (pi. III, fig. 18), qui se présente très-fréquemment dans les constructions , si les deux nervures, supérieure et inférieure, sont égales, il est évident que la ligne des fibres invariables AB est an milieu de la section transversale , et que le moment d'inertie est égal à a somme des moments d'inertie des rectangles qui constituent la nervure, et de celui qui constitue le corps de la pièce, ou, ce qui revient au même et conduit à des formules plus commodes pour les calculs, est égal à celui du rectangle extérieur EFGH, diminué de deux fois celui d'un des rectangles égaux 10 et KL. On a donc

et la plus grande ordonnée étant ff=^{l^

850. Fers k double T laminés. ^- Dans certains cas, et en particulier pour les fers à double T fabriqués au laminoir, la saillie a' des nenrures, ainsi que leur épaisseur e et la hauteur b, restent constantes pour une série de barres dont l'épaisseur du corps, que nous désignerons par ei, ^arie seule avec la charge que les pièces doivent supporter.

Il convient alors de prendre pour quantité inconnue à déterminer celte épaisseur d. Il est facile de voir que Iq moment d'inertie peut s'exprimer comme il suit :

Cette formule peut être simplifiée lorsque Ton connaît le rapport de V à b; si, par exemple,

6' = 0,906; d'où ft'« = 0,7296», 6»— 6'» = 0,271&»,

a' restant constant pour une même valeur de là hauteur b , la formule devient alors :

l=-ftei6"H — ,

et par suite , -y = ^ ^iV -|- 0,09036V.

Nous en verrons plus loin l'application.

83i . Fers k double T en pièces de tôle assemblées par des cornières. — Dans ce cas (pi. III, fig. 19), qui se représente souvent pour les constructions de ponts de chemins de'fer, il convient encore d'exprimer le moment d'inertie sous une forme plus commode pour les caleuls d'application.

Il est facile de voir que le moment d'inertie du profil a pour expression :

I = Jj [aV — 2(a'6'»H- a"6*» + oTb'^l

que la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie étant à la distance v' =| b de la fibre invariable placée au milieu. Ton a :

I , [a&» - aCa'd" + aV« -f a'^b'^)] t)' • b

Mous Terrons Tapplication de cette formule à quelques cas de pratique.

252. Modification du profil précédent. — Il arrive quelquefois que la forme que nous venons d'examiner n'a pas la symétrie que nous avons supposée» et que les nervures diffèrent l'une de l'autre. Dans ce cas» le centre de gravité , et par suite la ligne des fibres invariables, ne sont plus au milieu de la bauteur, mais plus rapprochés de la nervure la plus forte» et la formule devrait être modifiée. Dans bien des cas, la différence des dimensions est assez faible pour que l'on puisse se contenter de la formule ci-dessus; en supposant les deux nervures égales à la plus petite» l'excédant de résistance qui en résultera pour la pièce telle qu'elle sera réellement » n^en assurera que mieux la solidité.

Cependant, comme il se présente des cas où il y a entre les dimensions des nervures supérieure et inférieure une différence très-grande » il faut savoir en tenir compte. On y parviendra facilement » comme on peut le voir par l'exemple suivant» pour lequel nous choisirons une pièce en double T, telle qu'on les emploie actuellement pour les solives en fonte des ponts et pour les couvertures à grande portée ou les planchers en fer.

En prenant les moments des deux parties (pi. III» fig. 20) du profil, situées au-dessus et au-dessous de la ligne LM des fibres invariables » et nommant x la distance inconnue de celte ligne à la face supérieure» a et Ot les largeurs horizontales des nervures supérieure et inférieure, Ot l'épaisseur du corps de la pièce» ôi et 6/ l'épaisseur des nervures supérieure et inférieure, b la hauteur totale extérieure du solide, on a, pour le moment de la partie supérieure,

aïo? X io? -I- (a — oj) ôi x(aj — ~); et pour le moment de la partie inférieure,

266 TROISlàm PARTIE.

' Ces deux moments doivent être égara, puisque la distance x

se rapporte au centre de gravité de la section ; en effectuant les calculs, et égalant ces deux moments, Ton a :

2l{a—ai)bt + ckb+{(h'—ai)W]

Lorsqu'on a ainsi déterminé la position de la ligne des fibres neutres, il est facile de trouver, par les formules précédentes (n'^' 818 et suiv.)> les valeurs des moments d'inertie des deux parties , supérieure et inférieure , par rapport à cette ligne ; et en les ajoutant, on aura le moment d'inertie total. On aura ainsi, pour le moment d'inertie de la partie supérieure,

iaaf'—^{a—(h){x—bi)\

et pour le moment de la partie inférieure,

^a,'{b-^xy^i{(h'--a,)[b-x-b,y;

d'où, en ajoutant Tune à l'autre ces deux expressions :

Lorsque la nervure la plus forte sera en dessous, le centre de gravité sera situé à une distance plus grande de la fece supérieure que de la face inférieure, la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres invariables sera alors sur la face supérieure « à la distance «' = a? , et Ton aura

l__A<^—(<^—ai){^—bd'+(h\à—xy'^W—a,){b—x—b,'y^

Si, au contraire, la nervure la plus forte était à la partie supérieure, b. — X serait plus grand que a?, et ce serait cette valeur plus grande de b — x qu'il faudrait introduire dans la formule pour celle de v\

Ces formules, en apparence assez longues, se simplifieront beaucoup et seront d'ailleurs toujours faciles à calculer, dès qu'on y mettra, pour les dimensions des pièces, leurs valeurs numériques si elles sont constantes, ou quand on établira entr

* FLEXIQII. 267

efles des rapports fixés à l'ayance. L'on en Terra phis loin une application.

233. Tubes rectangulaires creux. — Dans ce cas (pi. III, fig. 21), Ton aurait I=A(û&' — «'*'") =A(AV-rA"5'') , en nommant M = ab ei A!' = afb' les aires des sections transversales des parallélépipèdes extérieur et intérieur.

Hais si V diSère peu de 6, comme il arrive pour les tubes en tdle de fer assez mince, on pourrait prendre b' = b^Qt alors on aurait I = ^(A'— A0b'=AA6*, en nommant A = A' — A" la surface de la section transversale du tuyau.

On en déduirait :

-7 = iA5, attendu qu'alors ^' = ô* Par conséquent la forn|ule d'équilibre serait, pour ces tubes,