RR
ci-dessus devient b/i 1 T>i>t = ii -
Ce qui montre qu'à section égale, et par suite à volume égal, le moment d'inertie, et par conséquent la résistance d'an cylindre plein , n*est guère que le tiers de celle d'un cylindre creux dont les dimensions sont conformes aux proportions ci-dessus indiquées ; cela explique aussi comment les végétaux creux peuvent, sans se rompre, supporter des flexions beaucoup plus considérables que les végétaux pleins.
259. Tubes ctlindriques a barois mincss. — S'il s'agit de tubes cylindriques à parois assez minces, le moment d'inertie I devient simplement
- ARi« , I AR,
en nommant Ri le rayon des tubes. La formule d'équilibi*e de vient alors
RI R*ARi YiT
—7 = — r — = irti.
S40. Profils ellipyioubs. — - %a étant le petit axe et St le
FLESOR. 271
grand axe, le moment d'inertie et la valeur de -7; pom* an profil elliptique plein > sont par rapport :
, vaV kb^ I izab* au petit axe, I = -^^-^ 57^ -5- ;
au grand axe, I =— =— 7="2"*
Pour le profil annulaire elliptique (pi. m, fig. 24), 2a' et 2b'^ étant le petit et le grand axe intérieurs, on a, par rapport :
au petit axe , I = - (oft"— a'6'^, ^= -^^—^ ^ ;
au grand axe, l = ^{b(f—l/a'^, V ^ 2a ^
24i. Profil en T. — Dans ce cas (pi. III, fig. 25), il faut d'abord déterminer la position de la ligne des fibres invariables qui n'est pas connue a priori. Or, puisqu'elle doit contenir le centre de gravité de la section , en appelant z sa distance à la face supérieure, on a, d'après le théorème des moments^, en prenant ceux-*<;i par rapport à la ligne supérieure ÂB,
abX^b+a'b'X{iV+b)—(nb+a'b')z;
ww. ,ab'+a'b'*+2aW ^^" ^=i âb+^' •
Cela fait, il est facile de voir que le moment d'inertie de Faire ABEGDFA est égal à la somme des moments d'inertie du rectangle ABGH et du rectangle CDIK , diminuée de ceux des deux rectangles £G et HF. Or, d'après ce que l'on a vu, cette quantité est égale à
I=^[az»— (a— a')(i?— 6)'+o'(6+6'— z)»].
La fibre la plus éloignée du plan des fibres neutres est évi-
demmeut située à la face CD ou à la distance v'=b'{-b' — z de ce plan ; on a donc :
I Jgg*— (g — a') (z -^ bf -}- a! {h '\-V — jg)»] t;'"~* b+b'-^z '
expression dans laquelle il faudra substituer , pour chaque cas, les valeurs de z relatives aux proportions adoptées.
242. Proportions ordinaires des pièces en fonte. — Pour les pièces en fonte du profil précédent, on peut adopter la proportion suivante :
a! z=.b^=^la
et 6'= a,
ce qui conduit à
et ^ = Jjo»;-
et par conséquent on en déduit la formule pratique :
d ou a' =
Si l'on fait
et i>'=|a,
l'on en déduit 2 = |^a ,
ou environ x = {a;
puis, 7^=-^a*;
RI
d'où i^ = ^Ra' = PC;
dou «-"ÏTR-
245. Pièces MINCES EN TER. — Pour les couvertures en fer» on peut adopter les relations :
b = OAOa = a^ et 6'=a,
ce qui conduit à
jy={§a, ou environ ^a;
et par suite -p= 0.030 72a'.
M«BieatB d'inertie des eoFps Irrésnllers. 244. MÉTHODE GéOMÉTRIQUE POUR DÉTERMINER LES MOMENTS
d'inertie d'un profil. — Il se présente souvent des cas où l'on peut avoir très-exactement en grandeur naturtUe le profil dont il s'agit de déterminer le moment d'inertie, mais où, par certaines considérations de construction ou de fabrication, ce profil présente des contours qui se prêtent peu au calcul. C'est en particulier ce qui arrive pour les fers laminés en forme de double T, dont les semelles sont terminées et raccordées avec le corps par des contours arrondis et dont le corps n'a pas partout la même épaisseur, et qu'il est, par conséquent^ difficile de ramener & des formes géométriques simples.
On peut, dans des cas pareils, recourir au procédé suivant, tout géométrique et d'un usage facile, qui est une application des méthodes de quadrature.
248. Applications aux fers k double T. — prenons, par exemple, l'une des barres de fer en double T sur lesquelles ont été faites les expériences relatées au n^" 198.
En prenant l'empreinte exacte d'une section transversale faite dans cette barre , l'on a un profil semblable à celui qui est ^1 représenté figure ci-contre, et en élevant des ^ perpendiculaires aux différents points de la largeur a, qui forme la base de ce profil , l'on a pu avoir pour chacune d'elles la valeur des ordonnées V du contour extérieur, et Vt du contour intérieur correspondant à une même abscisse.
ItiS. DES M. I. 18
Le moment d'inertie d'une tranche élémentaire IcL oa c'c, et d'épaisseur e y telles que celles dont on s'est occupé au n"" 221,
étant exprimé par JcPxe = Jv'e d'après nos notations, si le profil du solide présente un évidement tel que celui qu'offre la figure ci-contre, le moment d'inertie du petit trapèze élémentaire mn aura pour valeur ^(u" — v^e.
Si donc on construit une courbe dont les diverses valeurs de |(«' — i;i")e soient les ordonnées correspondantes aux valeurs des abscisses du profil précédent, on aura un nouveau profil, fig. 4, pi. II, dont chaque élément de surface aura pour valeur ^{t;* — Vi*)e et dont la surface totale, que Ton déterminera par Tune des méthodes de quadrature connues, représentera, dans les proportions des échelles adoptées, la valeur du moment d'inertie de la partie supérieure du profil cherché*
Pour éviter une sérîe de divisions par 3, dans le calcul des ordonnées successives, on a représenté sur la figure les valeurs de V" — Vi' à l'échelle de 1 centimètre pour 0.0001, ou de cent pour un, ce qui correspond à une échelle trois fois plus grande
par rapport aux valeurs véritables des ordonnées — - — -\ il
faudra donc diviser la surface trouvée par la quadrature par 300, pour avoir la valeur du moment d'inertie.
Dans le cas de la fig. 4, pi. II, la surface A'B'C'D'==0»"ï.0010I75; le moment d'inertie du solide ABCD , par rapport à la ligne AB, est donc égal à 0.000003302.
Si le profil est symétrique par rapport à la ligne des fibres invariables, qui passe par le centre de gravité, on doublera la valeur de la partie supérieure. Si, au contraire, le profil n*est pas le même au-dessus et au-dessous de cette ligne, l'on répétera la construction pour la partie inférieure , et Ton ajoutera les deux moments d'inertie trouvés pour avoir le moment total.
Dans le cas de la figure 4, pi. II, le moment d'inertie, pour la section complète de la pièce à double T, par rapport à la ligne des fibres neutres, sera, par suite de la symétrie,
' Applieatioms et ffomales pratiques.
246. Formules pratiques. — Puisque nous connaissons les Tdleurs du moment d'inertie et celle du rapport -7 de ce moment d'inertie à la distance de la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie, à la ligne de fibres invariables qui passepar le centre de gravité du profil transversal pour les formes les plus usuelles» il nous devient facile de passer de la formule générale aux formules qui se rapportent aux cas d'application les plus ordinaires et aux règles pratiques à suivre.
247. Solide encastré par l'une de ses extrémités et soumis a un effort p, agissant a son autre extrémité , perpendiculaibemert a sa longueur et a une charge uniformément BiiPARTiE. — Prenons d'abord pour exemple le cas simple et fréquent d'un solide encastré par l'une de ses extrémités, et soumis à un effort dirigé perpendiculairement à sa longueur ou parallèlement à la section encastrée, agissant à l'autre extrémité, et à une charge uniformément répartie sur cette longueur.
La formule théorique se réduira alors à une forme trèssimple , en appelant P la force qui agit à l'extrémité du corps perpendiculairement à sa longueur et parallèlement à la section encastrée;
G la longueur du corps qui est ici le bras du levier de l'effort P par rapport à la section encastrée ;
p la charge par mètre courant uniformément répartie ;
Le moment de la charge P, par rapport à la section d'encastrement, sera PC , et la somme des moments de la charge uniformément répartie sera ^pG*.
Sn effet, si l'on considère un élément c de la longueur du solide situé à la dislance G de l'encastrement, la portion de la charg^uniformément répartie que supporte cet élément estpc, et son moment par rapport à la section encastrée esipGc. Pour avoir la somme de tous les moments semblables relatifs à la charge uniformément répartie , il faut donc prendre celle des produite pCc. Or, en raisonnant comme on l'a déjà fait au
n*» 6i de la I" partie des Leçons de mécanique pratiqiie, on voit de suite que celte somme est égale à ^pO. Il résulte de là que la somme totale des moments sera
Si, au lieu d'une charge pG uniformément répartie , Ton avait ajouté à la charge P, qui agit à l'extrémité , une autre charge ^pG agissant de même à la distance C de la section d'encastrement, le moment de cette dernière charge eût été ^joGxG = ij!>G', c'est-à-dire le même que celui de la charge uniformément répartie ; ce qui montre qu'une charge uniformément répartie sur un solide encastré à l'une de ses extrémités, n'équivaut qu'à une charge moitié moindre agissant à l'autre extrémité.
248. Valeur pratique du nombre R. —Quant au nombre R, qui, d'après la définition du n"" SIS, exprime l'effort permanent d'extension ou* de compression que chaque unité de surface du corps peut supporter avec sécurité , sa valeur relative aux différents corps est donnée dans le tableau du n*" 115 pour le cas où l'effort est exercé dans le sens de la longueur. Mais lorsqu'il s'agit de flexionâ transversales , dans lesquelles certaines fibres sont allongées et d'autres comprimées, et surtout de corps grenus tels que la fonte, l'hypothèse de l'égaUté de résistance à la compression ou à l'extension n'est admissible, comme nous l'avons vu , qu'entre des limites assez étroites , et il est prudent de ne pas pousser les charges jusqu'à la limite où l'élasticité serait altérée.
Nous indiquerons plus loin, d'après quelles considérations théoriques, basées sur les faits d'expérience, l'on peut déterminer les valeurs de cette quantité R, de manière à assurer la solidité et la stabilité des constructions. Pour le moment, nous nous contenterons de consigner dans le tableau suivant ces valeurs qui sont, d'ailleurs, justifiées par l'observation des bonnes constructions, à la fois solides et légères.
