EI.-=M
On a, d'aiUeors,
GE=:5CosO = a;,
1 cosO ou -= ,
X étant la projection horizontale de l'arc ^émentaire €£'=:«, et 6 Faiigle ronné par la tangente Cm an point G, que l'on
considère avec rhorizontale, et dont o=mù% est la variation élémentaire. La relation ci-dessus revient donc à
d'où Ton tire
ocosO = gjMa?.
Or il est facile de voir que, quand un angle mCD = 0 varie d'une quantité élémentaire o, on a, par les tiîangles semblables ùnp et mni, en supposant le rayon Cm égal à l'unité, mn ou 0 : ni :: Cm ou 1 : Cp ou cosO,
d'où l'on tire
m=ocosO,
ce qui donne
expression dans laquelle ni est la quantité dont varie la ligne vnp ou le sinus de 0, quand l'angle 0 varie de o. La somme des accroissements de ni, depuis l'horizontale Gp pour laquelle l'angle 0 est nul, jusqu'à la ligne Cm correspondant à m(lD=0, est donc le sinus de l'angle 0, et ce sinus sera égal à la somme
de tous les produits élémentaires fjMo?, prise depuis le point A
d'encastrement jusqu'au point G que l'on considère.
Dans le cas particulier où le solide n'est soumis qu'à l'action d'une seule force P agissant à la distance X de la section G, on aura
M = PX, m = |ijPXp
et
sinO = ^P(C*-.X«),
en prenant la somme des produits fXx depuis la valeur X= G, qui répond à la section d'encastrement. Si l'on étend cette somme
josqu'à X = 0, qui répond à la direction même de la force P, l'expression ci-dessas se réduit à
8inO = 5i^PC';
et comme dans ce cas Ton a, d'après le n"" 277^
r-.ÇÇ! d'où ^-^
il en résulte qu'en remplaçant -^ par celte dernière valeur,
Texpression ci-dessus peut se mettre sous la forme
•sinO=f^,
ce qui donne, d'une manière très -simple, la valeur du sinus de Tangle d'inclinaison de l'extrémité du solide.
S02. 'Cas ou le solide supporte, en outre^ une charge UNIFORMÉMENT RÉPARTIE. — Si le soHde cst soumîs en même temps à une charge uniformément répartie et à un effort P perpendiculaire à sa longueur, exercé à son extrémité, on a
M = PX-{-ipX% et par suite,
^^ = vi (P^ + i pX'a?).
La somme de tous les produits semblables à ceux que contient ]e second membre, prise depuis la valeur X = C, pour laquelle sin 0 = 0, jusqu'à X, est connue, et l'on en déduit
sinO = ^[iP((?-X«) + ip(C»-X»)];
et en étendant cette expression jusqu'à l'extrémité du solide pour laquelle X =0, elle donne
sin 0 = j^j(iPG«+ JpC») = ^j (PC«+ipC»).
330 TROISIÂME PARTIE.
S05. Cas ou la charge uniforme et la force extérieure AGISSENT EN SENS CONTRAIRE. — DaDS le cas OÙ la Charge uniformément répartie et la force extérieure agiraient en sens contraires, on aurait
M = PX— ipX*.
et par suite,
ni = gj (PXo; — i pX'a?) ,
et il se présente quelques circonstances particulières auxquelles il importe de faire attention. ,
On voit d'abord que, tant que l'on aura PX> ^pX% la yàkm de sin 0 sera
sinO = ^[iP(C«-X')-4p(C»-X«)].
Cette quantité, qui est nulle pour X = G, c'est-à-dire à la section d'encastrement, va en croissant jusqu'à la limite où PX = J pX', ce qui correspond à
valeur pour laquelle ni = o , ce qui indique que le sinus mp de l'angle d'inclinaison de la tangente Cm à la courbe cesse de croître, et a atteint son maximum. Il conviendra de calculer la valeur de sinO jusqu'à cette 4imite» que nous désignerons par 0\ et elle sera donnée par l'expression
sinO'=~f[|P(C«-X'«)-ip(C»-X'»)],
en désignant par X' la distance du point d'inclinaison maximum à la direction de la force P.
Puisque l'inclinaison de la tangente a cessé de croître à partir de ce point, et qu'elle diminue au delà, il s'ensuit qu'il se produit dans la courbe une inflexion.
FLEXION. . SSt
Gomme au delà du même point on a PX<|pXS la qnantité M=PX — {pX* devient négative, ce qui montre que
ni =r çTîCPXa? — ^pX*x)
est une qnantité sonstractive on négative, et que la somme de ses valeurs absohlto, à partir du point d'inflexion, deyra être retranchée de celle de sin 0'. En changeant donc le signe de cette quantité dont varie le sinus, elle deviendra
^(ipX'aj-PXa;), et la somme de ses valeurs, prise depuis X =X' jusqu'à X = X',
^,[ij>(X'»-X'^)-iP(X"-X"»)],
devra être retranchée de sin 0' ponr donner la valeur de sin Q correspondant à la distance X". On aura donc
sin 0 = sinO' - ^[ip(X'» -X'")-iP(X'"— X^)].
On voit que Ton aura sin 0 == o, ou que la tangente à la courbe deviendra horizontale pour la yaleur de X'^ telle que la relation
sînO'=gj[ip(X'«-X'^-iP(X'«-X^]
soit satisfaite.
On pourra trouver par un tracé graphique la valeur de X" qui satisfera à cette condition, en se donnant, à partir de X', une série de valeurs croissantes pour X'', et les prenant pour abscisses d'une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs du second membre de la relation ci-dessus. En menant ensuite une parallèle à la ligne des abscisses à une distance égale à sin 0', elle coupera la courbe en un point dont l'abscisse serait la valeur de X" qui correspond au point de la courbe pour lequel la tangente est horizontale.
A partir de ce point, la quantité
^[iP(X'»-x'^)-èP(X'^-y*)]
. croissant de pins en plus et étant plus grande que sin 0', il s'ensuit que sin 0 devient négatif, ce qui indique que la courbe se relève, et que ses tangentes font avec l'horizontale des angles dont les sinus sont dirigés en sens contraire de ceux de la première partie.
La plus grande de ces valeurs négatives correspondra d'ailleurs évidemment à la valeur X = G ou au point d'application même de la force P.
On voit par ce qui précède que Ton pourra déterminer les variations dans la forme du solide, et l'on remarque que, les fibres n'étant ni allongées ni comprimées au point d'inflexion, le corps n'y éprouve aucune fatigue. Au contraire, le point d'encastrement A est, de toute la partie gauche, limitée au point d'inflexion, le Jieu de la plus grande fatigile. II en est de même du point où la tangente est horizontale par rapport à la partie située à droite.
