Solide posé horizontalement sur deux appuis, sop
PORTAin* UNE CHARGE 2P PLACÉE AU lOLEBU DE SA LONGOSUR, ET UNE CHARGE UNIFORKÉMENT RÉPARTIE SpG. — L'OU Sait que
dans ce cas la charge sur les points d'appui est P -|-pG, el que le solide peut élre regardé comme encastré par son milieu, et
chacone de ses deux moitiés comme soumise à un effort f+pG agissant 4^ bas en haut à son extrémité, et à une charge pG uniformément répartie sur sa longueur. On a donc
M=(P+pC)X— JpX%
expression dans laquelle le premier terme du second membre est toujours plus grand que le deuxième , de sorte que la courbure ne présente pas d'inflexion. L'on en déduit
ni = ^ [(P+pQXa? -ipX'a?)].
Id encore, en prenant la somme des valeurs de ni, il faudra faire attention que l'inclinaison de la tangente à la courbe est nulle au milieu de la longueur du solide, ou pour X=G, ce qui exige que Ton ajoute à cette somme une quantité constante dont la valeur sera déterminée par cette condition. L'on a ainsi
sin 0 = gj [^£+1^* - ipX»] + constante ;
et en faisant X = G , on en déduit
1 /PC
constante = — gj Cj- + 4 pCM -
La valeur générale de sin 0 deyient donc
,u.o=J,[2±|Ç)î j,x.-(!^+jpc)].
et pour X= G elle se réduit à
sinO = -ij(^ + ipC').
Les formules précédentes montrent comment on peut s'y |)rmdre pour déterminer, dans les cas les plus simples, Tincfi* naison des divers éléments des solides fléchis par l'action des forces extérieures ; mais comme cette recherche a généralement peu d'importance pour la pratique, nous ne nous y arrêterons pas plus longtemps. Nous renverrons aux leçons professées sur
336 TROISiÉlïIE PARTIE.
la matière par M. Poncelet, à la Faculté des sciences, et dans lesquelles il a donné une méthode générale pour le$ recherches de ce genre. Ce que nous venons de dire n'est qu'une application de cette méthode à des cas simples.
Conséquences pratiques de la théorie,
508. Allongement et raccourcissement proportioni|el des FIBRES produit PAR LA FLEXION. — Si l'ou sc rappelle (n** 312) que Ton a, entre rallongement proportionnel i d'une fibre quelconque, sa distance v à la ligue des fibres invariables, et le rayon de courbure r de cette ligne du solide, pour la section que ron considère, la relation
on voit que pour la fibre qui subit le plus grand allongement ou le plus grand raccourcissement, on aura
et comme on a
l PX r ~ El '
il s'ensuit que cet allongement proportionnel sera donné par l'expression
., __ PXv'
et pour la section d'encastrement ,
., PCu' * """ET-
Il sera donc toujours facile de calculer la variation proportionnelle de longueur qu'aura subie, par la flexion, la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie, et de s'assurer que cette variation n'excède pas les limites indiquées par l'expérience et rapportées au tableau du n^" 108.
rr^noN. 337
Si plusieurs forces agissaient sur le solide, on aurait pareil* iement :
El
Pp + 09 + etc.'
«ï * -~ Êï •
Sn ayant soin de prendre la plus grande valeur de ceUe quantité, on aura la plus grande variation de longueur à laquelle les fibres soient soumises.
L*on remarquera que, pour une valeur donnée de la somme des moments des forces extérieures, l'allongement ou le raccourcissement des fibres est en raison invei^e de la valeur du
coefficient E d'élasticité, et de celle de -•
L*on doit donc s'attacher, par la forme donnée au profil transversal des solides, à obtenir, pour une même quantité de
matière employée, la valeur maximum de -, , compatible avec
la destination de la pièce et la nature du corps.
L'on fera aussi remarquer que, si la condition trouvée au
ïf 270 pour que le solide soit d'égale résistance, et qui est la
constance du rapport -7^ , ou de son inverse -j- , est satisfaite
pour toutes les valeurs du bras de levier X de la force P, l'allongement proportionnel V sera le même pour toutes les sections, ainsi que cela devait être d'ailleurs nécessairement par l'énoncé seul de la condition d'égalité de résistance.
309. Justification des valeurs pratiques adoptées pour LE NOMBRE R. — Il cst facile de s'assurer que les formules pratiques» et les valeurs du coeCtident R que nous avons adoptées, satisfont à la condition que la variation maximum de longueur de l'une quelconque des fibres, n'atteigne pas la limite au delà de laquelle l'élasticité est sensiblement altérée, c'est-à-dire où les allongements et les raccourcissements cessent d'être proportionnels aux efforts qui les produisent.
En efliet, si nous considérons le cas simple d'une seule force P
BftS. BBS M. I. 22
ïigissant à Textrémité d'un solide de longueur G perpendiculai- ■ renienl à sa longueur, nous avons
., PCv'
d'où nous lirons
