I__PG PC
pour la formule générale applicable à tous les profils. S.Or le tableau du n? 108 nous donne les valeurs correspondan- Içs de E et de V pour la limite d'élasticité des différents corps, et l'on en déduit celle que le produit Et' peut atteindre au maximum pour que Télasticité ne soit pas altérée.
VALEUBS
adoptées pour le coeffinent praûqae R.
Fer en barres Ei'=: 18000000000 x 0.0008 = 14 400 000 ^ ^
Ferdoux Et" t= 20 000 000 000 X 0.00066 = 13200000 > g qq^q^j^
^^eUubesen^ô^^^^^ = 960000o)
Acier d'Allemagne.. £«' = 21000000000x0.0012 =25200000 125COOOO
Acier foDdu Et' s 30 000 000 000 X 0.000222 es 66 600 000 16660000
^®f^* 4® ^?r ^"^®']Et^= 12000000000x0.00083 = 9960000\ àgramsfins..... > / 7 500000
^*^«ifr-.?^Jj?oîfJ^^^'{Et'= 9000000000X0.000715= 6435000 ♦ naire anglaise... )
Bois de chêne Ei'= 1200000000x0.00167 = 2004000
Sapin jaune ou blanc £1"= 1300000000X0.00117 = 1521000
I GOOOQO»
On voit, par cette comparaison, que les valeurs pratiques du nombre R que nous avons adoptées, et qui représentent la charge que l'on peut faire supporter avec sécurité» et d'ane manière constante, h des solides qui doivent résister longtemps, sont presque toutes inférieures à la moilié de celles pour lesquelles l'élasticité commencerait à s'altérer, et les fiexioos ces* seraient d'être proportionnelles aux charges.
La fonte seule fait exception , et cette discussion montre que la valeur R=: 7 500 000 kilogr., que nous avons adoptée, est bien voisine de la limite supérieure admissible pour les fontes
de deuxième fusion de bonne qualité, et un peu trop faible peutêtre pour celles de première fusion , généralement plus carburées et assez tendres, surtout en gros échantillons.
Cependant la comparaison des diarges admises généralement et celle des dimensions données aux solides d'après les formules, avec les charges supportées, montrent que cette valenr R = 7 500 000 kiiogr. est génératement suffisante, surtout quand on a la précaution de taire le calcul d'après la plus forte des charges permanentes dans chaque cas.
Hais cela fait voir en même temps que, pour des constructions importantes, on doit exiger queles fontes soient de deuxième fusion , à grains fins, d'un gris clair homogène , et coulées avec toutes les précautions possibles pour éviter les défauts.
Malgré ces motifs de sécurité, il n'en résulte pas moins que le fer offre plus de sûreté que la fonte, surtout pour les grandes constructions, puisque la valeur admise pour R n'est pas généralement égale à la moitié de celle qui , pour ce métal, correspond à la limite d'élasticité.
Les poutres en double T, essayées par M. Fairbairn, qui n'ont donné, comme on le verra plus loin, qu'une valeur du coefficient d'élasticité E égale à 11 ou 12 000 000 000 kiiogr., bien inférieure, par conséquent, à celle que fournissent les barres ordinaires et les poutres en tdle, et le tube de Gonway lui-même, qui, dans les expériences auxquelles il a été soumis, a donné la ▼aleur
B = 13 185000 000 kilogr. ,
montrent que , pour les plus faibles valeurs du coefficient d'élasticité du fer, la valeur
R = 6 000 000 kilogr. ,
conduira à des dimensions suffisantes pour assurer la solidité des constructions.
S 10. Comparaison de la formule qui exprime les conditions
DE l'équilibre PERMANENT ET DE CELLE QUI DONNE LA FLEXION DES
SOUDES POSÉS SUR DEUX POINTS d'appui. — Si VoTi sc rappelle que la condition de l'éq^uilibre permanent des solides soumis à une
charge 2P agissant en leur milieu et perpendiculairement à leur . longueur, est
dans laquelle R est l'effort maximum de traction ou de compression que l'on peut faire subir par unité de surface, et v'ia distance de la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie à la surface des fibres invariables; puis si Ton rapproche cette formule de celle du n"" 876 :
PC
on voit qu'en mettant dans cette dernière, pour PC, sa valeur, tirée de la précédente, ce qui revient à admettre que la flexion f soit par conséquent celle qui est produite par la charge déterminée par la première formule, elle devient
que Ton peut mettre sous la forme
Si, par exemple, il s'agit de solides à section rectangulaire, ou de tout autre profil dont le centre de gravité on la ligne des fibres invariables soit situé à la moitié de la hauteur fr, alors
«' = - , et cette formule devient :
Cela montre que, dans les limites des charges qui n'altèrent pas l'élasticité des corps, et où les quantités R et E sont constantes, le rapport de la flexion des solides à leur portée varie comme celui de leur portée à leur hauteur, quelle que soit d'ailleurs la forme de leur profil , pourvu qu'il soit symétrique par rapport à la ligne qui passe par le centre de gravité.
Or, pour les planchers, les ponts, etc., on conçoit très-bien
qu'il doit y avoir entre les flexions au milieu elles portées, un rapport qu'il convient de ne pas dépasser , et l'on voit que pour
que ce rapport -^^ soit constant, il^aut que celui de la portée à la hauteur des supports soit aussi constant.
3H. Ancienne règle des charpentiers. — La pratique avait devancé la théorie, pour admettre cette proportion constante de la portée à la hauteur des solides. Les anciens charpentiers, qui employaient des poutres à section carrée, avaient en effet pour règle de prendre pour l'équarrissage de ces pièces Vs de la portée, quand elles étaient espacées de 3 mètres , et Vi quand Té"* cartcment était de 5 mètres. Dans ce dernier cas, en effet, la ctiarge. sur chaque poutre étant plus grande que dans le premier, quoique la portée reste la même , l'équarrissage doit devenir plus considérable.
Si nous introduisons dans la formule
les valeurs de R et de E que la pratique et l'expérience ont conduit à admettre pour les poutres des planchers et des ponts, et qui sont respectivement :
Bois, R= 600 000»'", E=^ 1200 000 000^'^
Fonte, R = 2 000 000, E = 1 2 000 000 000,
Fer, R= 6 000 000, E = 20 000 000 000,
nous trouvons qu'elle devient :
pour le DOIS, •7é7^=~. '^,^»t- =: ,^^^^ -t-» ^ ' 20 6 2000 h 12000 6 *
ce qui, d*après la règle des charpentiers, donnerait pour des poutres de plancher espacées de 3 mètres ,
343 TROISIÈHE PAKTIE.
pour des poutres espacées de 5 mètres ,
d'Où f=Wi^^'
Pour la fonte et pour le fer, la substitution des valeurs de E et de R donne simplement :
1 f ♦ /" — ^ 1 2C 1 2C pouriaionte, 25— ê îâôôoô T~36ÔôoT'
312. Conséquence relative au fer et a la fonte. — Ces formules numériques montrent qu'à portée et hauteur égales, pour des poutres en fonte ou en tôle, le rapport des flexions aux portées ou les flexions elles-mêmes, seront , d'après les coefficients pratiques adoptés parles ingénieurs, moindres pour la fonte que pour le fer , ce qui , d'ailleurs , est nécessité par la nature même du premier de ces métaux , dont les fibres ne peuvent supporter qu'une très-faible extension.
La comparaison des poids des pièces qui résulteront des dimensions déduites des formules et du prix de la matière, pourra déterminer le choix des constructeurs.
315. Relation entre les flexions et les variations de longueur DES FIBRES. — Il cst Utile de remarquer que de la formule
PC
l'on tire
/ — a El
p ^ 3Eir.
ce qui permettra de déterminer la charge 2P correspondante à une flexion donnée f, lorsque l'on connaîtra les quantités E et I, ainsi que la portée 2G.
L*0D pourra donc, dans certaines circonstances, calculer ainsi i'effort âP qui aura été exercé , quand des solides auront subi des flexions connues, pourvu que ces flexions n'aient pas altéré leur élasticité.
Cette remarque montre aussi qu'au besoin un solide de forme quelconque, une poutre en fer ou en bois, peut servir de dynamomètre par Tobseryation de ses flexions , quand Ton connaît au préalable la valeur du coefficient E d'élasticité et celle du moment d'inertie I de sa section transversale supposée constante.
Enfin si l'on combine la formule
^""^EI' qui donne la flexion avec la formule
.,PCv'
qui fournit la valeur de l'allongement ou du raccourcissement éprouvé par une fibre située à la distance v* de la couche des fibres neutres, l'on arrive facilement à la relation
qui permet de déterminer l'allongement ou le raccourcissement i' à l'aide de la seule connaissance de la flexion et de la portée.
Il convient de remarquer que cette valeur de l'allongement proportionnel f ne dépend que de la flèche de courbure de la portée 2C et de la distance t;' de la fibre que l'on considère , et nullement des forces qui ont produit la flexion. Gela est d'ailleurs parEaitement logique, car l'allongement est une variation des dimensions géométriques du solide, et sa mesure dépend du changement de forme qu'il a subi.
L'on sait d'ailleurs (n° 6) que l'effort supporté par une fibre qui subit une variation de longueur exprimée par i, a pour valeur le produit £i' de cette variation par le coefficient d'élasticité de lu matière de cette fibre, d'où il résulte que, dans le cas d'un solide soumis àMa flexion, l'on a, pour la valeur de l'effort
auquel sont soumises les fibres qui subissent une yariation de longueur i',
Et— ^.
S'il s'agit par exemple d'un solide à seclion rectangulaire dont la largeur soit a et la hauteur 5, Ton a
314. RÉCAPITULATION DES FORMULES RELATIVES AUX SOLIDES LIBREMENT POSÉS SUR DEUX POINTS D'APPUI CHARGÉS AU MILIEU DE
LA DISTANCE DE CES APPUIS. — En récapitulant les formules précédentes, qui établissent des relations entre :
L'efifort maximum R que Ton peut faire supporter d'une manière permanente par unité de section;
La charge 2P qui agit au milieu de la longueur d*un solide posé sur deux points d'appui;
La portée 2C de ce solide , ou la distance des appuis;
La flexion que ce solide prend au milieu de sa longueur;
La dislance v' d'une flbre quelconque à la surface des fibres neutres ;
La variation de longueur i' que subit cette fibre, eu supposant cette variation renfermée dans les limites où l'élasticité n'est pas altérée;
Le coefficient E d'élasticité de la substance dont le corps est composé, toutes les mesures étant rapiportées au mètre linéaire pour la longueur, au mètre carré ^ur les sections, au kilogramme pour les efforts ,
l'on déduit de la théorie précédente les relations suivantes :
RI
-r = PC , équilibre entre les forces extérieures
et les résistances des fibres;
f=- é gT 9 flèche de courbure sous une charge
donnée ;
^ SEI/" P=-nr, charge susceptible de produire une
flexion donnée ;
VCv' i'=^jr, variation proportionnelle de longueur
des flbres en fonction de la charge;
3fv'
i' = -gr,, variation proportionnelle de longueur
des fibres en fonction de la flexion ;
rapport de la flexion à la portée;
iEfv Ei' = — ~-, eflbrt supporté par une fibre dont la
longueur proportionnelle a varié
de i',
à Taide desquelles l'on pourra résoudre les diverses questions relatives à la chargé et à la flexion des solides librement supportés par deux points d'appui et chargés au milieu de leur longueur.
318. Application des mêmes formules aux solides encastrés PAR UNE EXTRÉMITÉ. — Daus le cas des solides encastrés par l'une de leurs extrémités et soumis à l'autre à un eflbrt perpendiculaire à leur longueur, Ton emploiera les mêmes formules , daas lesquelles P exprimera Teflort et C la portée ou le bras du levîen
346 TROISIÈMS PARTIE.
Résultats d'expérlenees sur la flexion et la raptare
qal en est la suite.
