AVEC SEMELL]^ INÉGALES ET DES POUTRES AVEC SEMELLES ÉGALES
T-Pour faire d'une manière bien nette la comparaison dos deux systèmes de poutres, nous supposerons qu'ayant fait, d'après les proportions du n° 195, le modèle d'une poutre à double T à semelles égales, et que, laissant la hauteur totale, l'épaisseur de l'âme et celle X^Jl^'t des semelles les mêmes, on partage la lar- ^ ' geur a de sa semelle supérieure en quatre
parties 1, 2, 3 et 4, et qu*on enlève les parties extérieures 1 el k de cette semelle pour les reporter à droite et à gauche de la semelle iuférieure ; on aura alors le modèle d'une poutre à semelles inégales, dont les diverses parties auront les proportions suivantes :
ai=0,4a, a'i = 3a, 6i=y, = 0.046,
ce qui donne
d*où l'on déduit
(1 — njrn» + n + 2 {:n''-'n)m' (l — —^
jK^«-(l^n)(Kt-my+nYl— Kl)»— (n^— n)(I— K,-m7i jv, — . —
Kj = 0.311;
puis P = IR.^^^* = iR.2:^.^^ = 0.196R^^.196R.^^^
tandis que, pour la poutre à semelles égales du n"* i93, de même hauteur, de même épaisseur, soit à l'axe, soit aux semelles, nous avons trouvé
FLEXIOIÏ. 397
ce qui montre qae les charges que l'on peu( faire supporter, dans les limites que nous avons indiquées, à ces dernières poutres, sont à celles qui conviendraient aux poutres à semelles in^les dans le rapport
de 238 à 198, ou de 1.2 à 1, ou de 6 à 5.
Si Ton recherche aussi le rapport des flexions des poutres proportionnées, comme nous venons de le dire, on a d'abord, pour la poutre à sections inégales.
I=i^%'A6=i^AB«.
à cause de t?'=a?=Ki6,
d'où, à l'aide des données numériques précédentes,
K = 0.528, Kl = 0.578 et K,= 0.31,1, l'on déduit 1 = 0 1144A6,;
et en appliquant la formule du n"* 205 , qui donne la flexion d'un solide posé librement sur deux appuis et chargé d'un poids îpC uniformément réparti sur sa longueur 2G , qui est
on trouve, pour la poutre à semelles inégales, des proportions
ci-dessus,
^==ÏÏl43EÂ^'^^^'
tandis que, pour la poutre à semelles égales, on a d'abord
1 — 2pg 12 et par suite,
Donc ces deux poutres, ayant même surface de section, môme
TROISIÈHB PARTIE.
hauteur et même épaisseur, prendront les flexions qui soni dans le rapport
de 357 à 343, ou de 1.04 à 1.00,
€0 qui monire que, sous ce rapport encore, les poutres à semelles égales ont un léger avantage, mais que les fleiioDs restent à peu près les mêmes dans les deux cas.
L'on remarquera que, dans la comparaison précédente, nous n'avons pas admis, comme le font quelques ingénieurs, qnc l'épaisseur de la semelle inférieure fût plus grande que celle de la semelle supérieure, ce qui, à hauteur extérieure et quantité de matières égales, eût encore diminué le moment d'inertie I qui entre au dénominateur de la valeur de la flexion et aurait contribué à augmenter cette flexion pour les poutres à semelles inégales.
Les résultats que nous venons d'obtenir sont encore bien plus tranchés, si nous comparons les poutres à semelles inégales des proportions du chemin de Gaen avec celles à semelles égales des proportions admisesann** 3 ^6, quoique ces dernières satisfessent aux conditions d'épaisseur réclamées par les fondeurs.
346. Résultats d'expériences sur des poutres proportionnées COMME IL EST INDIQUÉ AU NUMÉRO PRÉCÉDENT —
C'est pour réaliser la comparaison que je viens d'indiquer que j'ai fait exécuter, chez MM. Pinard frères, à Marquise, les deux poutres en fonte qui ont servi aux expériences rapportées ao n** 195. Eiies devaient avoir, pour satisfaire aux conditions posées dans l'article précédent, les dimensions indiquées aux figures ci-contre.
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Mais les indications données n'ayant pas été tout à bk suivies,
les poutres ont eu en réalité les dhnensioiis indiquées au ta* bleau du n*" 357, d'où il est résulté les vafeurs suivantes pour les éléments des formules :
* Aire de la section iransversale.
Poutres à semelles égales A = 0"-*ï.004350
Poutres à semelles inégales A = 0""i.004060.
En^se reportant à la figure (n^" 557) , il est facile de déterminer la distance du centre de gravité du profil de la poutre à semelles inégales à ses faces extérieures.
En la supposant, en efiet, composée :
l"* D*un profil présentant deux semelles égales de 0^.032 de largeur, et dont le centre de gravité serait au milieu de la hauteur du profil, ou à 0». 1215 de la face supérieure;
S"" De deux appendices rectangulaires placés à droite et à gauche de la semelle inférieure, et ayant ensemble 0".064 de largeur sur 0".0I1 d'épaisseur, et dont le milieu serait à 0-.2430— 0".0055 = 0~.2375 de la face supérieure du profil général,
on Toit facilement que l'aire de la partie symétrique est
que son moment par rapport à la face supérieure est
0"'"i.003366 X 0~, 12 15 = 0.000409 ; que le moment des deux appendices, dont l'aire
0".064 X 0".01 1 = 0""ï.000704, est 0-^.000704 X 0.2375 = 0.000167.
Le moment total du profil est donc
L*aire totale de ce profil étant
il s'ensuit que la distance du centre de gravité du profil à la face supérieure est
et, par conséquent, sa distance à la face inférieure est égale à
Donc, si les fibres des molécules qui composent cette poutre se compriment ou s'allongent proportionnellement à leur distance au plan qui passe par le centre de gravité du profil, et qui est parallèle aux forces supérieure et inférieure de ce profil, et si la couche des fibres invariables coïncide avec ce plan, on devra observer les résultats suivants :
r. Quand la poutre reposera sur sa semelle la plus longue, les raccourcissements des fibres situées à la face concave supérieure seront aux allongemeuts des fibres situées à la face inférieure dans le rapport
de 1415 à 1015, ou de 1.394 à 1.000.
2<* Quand la pièce reposera sur sa semelle la plus étroite, les raccourcissements des fibres situées à la face concave seront aux allongements à la face convexe dans le rapport inverse
de 1015 à 1415, ou de 0.717 à 1.000.
Or Tcxpérience a donné, dans le premier cas, la poutre reposant sur sa semelle la plus large,
Rapport des raccourcissements l *" expérience, ^^^^ — i .a^i aux allongements par 100 kil. | décharge f 2- expérience, $^=l.46l
Moyenne ; 1.376
et dans le second cas, où la poutre reposait sur sa semelle la
pins étroite,
( I'' expérience, ^r-jr^ = 0.737
Rapport des raccourcissemenlsi ^'^°^
aux allongements j 0.058 , ,,,
1 2" expérience, "oofû = 0-784
Moyenne 0. 760
L'on voit donc qne les résultats de l'expérience concordent avec ceux de la théorie autant que l'homogénéilé des matériaux permet de l'espérer.
547. Résultats relatifs a la flexion. — Par suite des dimensions données aux pièces exécutées, l'on a, pour la poutre à semelles égales,
et le moment d'inertie du profil est
et pour la poutre à semelles inégales,
a = 0".032 , 6 = 0r243, o',= 0".096, 6* = 0~.221, rti = 0".012, 6i = 6'i=0«.011, orrsO-.UlS,
RBS. DES H. I.
403 TROISEkMS FAKTIE.
et, par soite, le mome&t d'mertie do profil est
Les moments d'inertie des profils de ces deux poutres étant à très-peu près égaux, il s'ensuit que, sous les mêmes charges, les flexions des deux poutres, données par la formule
devaient être les mêmes, et que, pour la poutre à semelles inégales, ces flexions devaient aussi être les mêmes, quand elle était posée sur la semelle la plus large ou sur la plus étroite.
Ces conclusions sont aussi exactement vérifiées par Texpérience qu'on peut le désirer pour de semblables recherches, puisque, dans ces trois cas, les flexions par 100 kilogr. de charge ont toujours été comprises entre O^^^.se et 0""^*.38.
548. Valeur du coefficient d'élasticité de la fonte , FOURNIE PAR CES DEUX POUTRES. — Gcs poutres à double T, sur lesquelles Ton a vérifié avec tant d'exactitude que, bien au delà des flexions que la pratique peut tolérer, les allongements des fibres de la partie convexe et les raccourcissements des fibres de la partie concave sont proportionnels aux distances de ces fibres à la couche des fibres qui passe par le centre de gravité du profil, peuvent nous fournir la valeur du coefficient d'élasticité de la fonte avec laquelle elles ont été fabriquées.
La première, celle dont les semelles sont égales, fournit les données
1=0.0000278, 2P = 100W, /•=0'".00036, 2C = 4-.00, E=^7r =^ 0.00036 x'^Lo^TS^ '^ 3^2««« «°°'"-
n.EXI01f. 403
La seeonde, c^e dmt tes semeUes sont inégales, fournit les données
