kilog
g kilog
10 kil“s
( à plat
Flexions \
48 min
( de champ
Rapport des flexions
Moyenne de ce rapport. . . .
Le rapport des carrés des dimensions étant celui de 9 : 4 ou 2,25, on voit qu’il y a accord à peu près parfait entre les résultats de l’expérience et les indications de la théorie.
Une vérification semblable a été obtenue sur une autre pièce de sapin de 0m,05 sur 0m,02 d’équarrissage.
De ces expériences, résulte donc aussi la vérification de cette conclusion de la théorie que la flexion est en raison inverse du produit de la largeur a et du cube ô3 de l’épaisseur des pièces.
5.25. Flexibilité des bois en fonction de la distance des appuis. — L’auteur a fait varier la distance des appuis sur lesquels les pièces étaient posées, mais sans réduire la longueur de celles-ci qui avaient un peu plus de 2m,00 ; de sorte que pour toutes les portées inférieures à 2m,00, une portion des pièces se trouvait en surplomb en dehors des appuis et contribuait à atténuer l’effet de la charge et par suite la flexion. Il est facile de tenir compte de l’effet de ces parties en surplomb; mais il a si peu d’influence sur les résultats, que cette correction semble inutile pour asseoir la conclusion que l’on en déduit.
En effet les résultats des mesures directes sont consignés dans le tableau suivant :
Sapin du Nord. Règle prismatique de 0m,02 sur 0m,05 chargée de 10kil en son milieu. — Poids de la règle, Dn,404.
Distance des appuis en mètres
Flexions en mille\...
Cubes des portées
Chêne. Règle de 0,02 sur 0,03, posée sur plat. — Poids de la règle, 0t:i,9i.
Distance des appuis en mètres
Flexions en milles. .
Cubes des portées.
Si l’on prend à une échelle quelconque, comme on l’a fait (pl. III, fis. 9) pour la règle de chêne, les cubes des portées pour abscisses et les flexions pour ordonnées à une échelle suffisamment grande , on trouve que tous les points ainsi déterminés sont en ligne droite ; d’où l’on conclut avec l’auteur et conformément à la théorie, que les flexions des pièces
FLEXION
chargées en leur milieu sont entre elles comme les cubes des portées.
124. Conclusions de ces expériences. — De l’analyse succincte que nous venons de donner des belles expériences de M. Ch. Dupin, l’on a conclu successivement, que toutes choses étant égales d’ailleurs, les flexions des pièces posées sur deux appuis et chargées au milieu de leur longueur sont :
1° Proportionnelles aux charges 2P qu’elles supportent;
2° En raison inverse du produit de la largeur a et du cube de la hauteur b des pièces ;
3° Proportionnelles au cube de la portée 2c, c dans tout ce qui va suivre désignant la demi- portée;
4° Que la flexion produite par une charge uniformément répartie est les | de celle qui serait due à la même charge placée au milieu de la pièce, ou, ce qui revient au même, que la première charge équivaut aux j de la seconde.
D’après cela si l’on considère deux pièces prismatiques, du même bois, posées sur deux appuis et chargées en leur milieu, et qu’on nomme :
1° f, a , ê, 2P et 2c, la flexion, la largeur, l’épaisseur, la charge et la portée de la première ;
2° f , a\ b\ 2P' et 2c' les quantités analogues pour la seconde ;
3° fi la flexion d’une pièce pour laquelle l’équarrissage et la portée seraient les mêmes que pour la première et la charge égale à 2P'.
4° f la flexion d’une pièce pour laquelle la charge 2P' et la portée 2c seraient les mêmes que pour la précédente, la largeur égale à a ' et la hauteur égale à b\
On aura, d’après les résultats de l’expérience :
D’où l’on tire en multipliant terme à terme :
f. f .. Pc3 . PV3 .
' *' " aV a'b '3’
, a'b'2 Pc3
Lors donc que des expériences spéciales ont fait connaître pour un prisme rectangulaire d’équarissage connu a' et b', et {l’une portée 2c' donnée, soumis à une charge 2P', la flexion
f’ correspondante, on voit que le facteur f' -^3 étant connu on en pourra déduire la flexion de tout autre solide prismatique de même matière pour lequel l’équarrissage, la portée et la charge seraient différents.
Ainsi par exemple pour la pièce de sapin du Nord employée par M. Charles Dupin dans les expériences rapportées au n° 125, on a
a' = 0m,02, b' = 0m,05, 2P'=10kil, 2c' — 2n\C0, f=Gm,084. On en déduit
Pc3
' “ 23809523 ab2
pour calculer la flexion des bois de même nature et au même état, lorsque la portée sera 2c et la charge au milieu 2P.
Motions théoriques.
12d. Considérations générales sur la flexion , la compression et la rupture des corps fibreux. — Dans l’étude que nous nous proposons de faire de la résistance qu’opposent les corps employés dans les constructions à la flexion et à la rupture, nous nous fonderons principalement sur les résultats de l’expérience et de l’observation pour en déduire des règles que les praticiens puissent adopter avec confiance et sécurité. Mais il n’est pas moins utile de considérer directement
en eux-mêmes les phénomènes que présentent les corps qui éprouvent des flexions plus ou moins grandes, afin d’en déduire, s’il se peut, des règles théoriques dont la comparaison avec les résultats de l’expérience permette de généraliser et d’étendre les conséquences que l’on peut tirer de celle-ci.
12G. Des effets qui se produisent dans les corps fibreux , fléchis , comprimés ou tordus par des forces extérieures. — Cherchons donc à nous rendre compte des phénomènes généraux que présentent les corps soumis h l’action de forces extérieures qui tendent à les fléchir, à les comprimer ou à les tordre, et suivons à cet effet les notions simples exposées par M. Poncelet dans son cours à la Faculté des sciences.
Soit ABC (pl. Iïï, fig. 10) un corps fibreux sollicité par un certain nombre de forces extérieures P, Q, R, S, T, etc., dirigées selon des directions quelconques. Le corps cède d’abord à l’action de ces forces, et aussitôt se développent les réactions moléculaires ou les résistances des fibres, des molécules qui le composent, au déplacement par extension, par compression ou par torsion. Bientôt, si ces déplacements et les efforts qui les produisent ne dépassent pas les limites pour lesquelles l’élasticité serait altérée, le mouvement s’arrête, et l’équilibre s’établit entre les forces extérieures et les forces moléculaires. Tout lé corps étant parvenu à cet état, l’équilibre existe séparément pour toutes les sections que l’on peut faire dans le corps, et l’on peut rechercher les conditions de cet équilibre pour chaque section, en considérant le reste du corps comme solidifié. Ainsi, par exemple, pour une section IK, il faudra rechercher les conditions de l’équilibre entre les forces extérieures Q et R agissant à droite de cette section et les forces moléculaires développées dans la section même. Lorsque cet équilibre aura été assuré pour celle des sections où l’effet des forces extérieures serait le plus grand, il le sera a fortiori pour tout le corps. Cette section a été nommée par M. Poncelet la section dangereuse , parce que c’est en effet celle où les déformations doivent être
les plus grandes, et pour laquelle il importe donc essentiellement de les renfermer dans des limites convenables. Ces considérations sont générales et s’appliquent évidemment aux effets de torsion, comme à ceux de flexion et de compression.
127. Notions sur la flexion et la courbure des lignes . — Pour l’intelligence de ce qui va suivre, rappelons quelques notions sur la courbure des lignes. Si l’on considère (pl. 111, fig. 11) deux éléments consécutifs ac et cb d’une courbe et qu’on mène en leurs milieux m et n deux lignes mo et no normales à ces éléments, ces lignes se couperont en un point o, qui serait le centre du cercle qui passerait par les points «, b et c, et qui, à la limite de petitesse des éléments, se confondrait avec la courbe. Ce cercle s’appelle le cercle osculateur de la courbe, et les lignes égales mo et no sont les rayons de courbure que nous désignerons par r. L’angle compris entre les normales consécutives, ou l’arc décrit à l’unité de distance qui le mesure, étant désigné par e, l’arc élémentaire s de la courbe a pour expression s = re, d’où
r—-e t e — -. La courbure delà courbe étant d’ailleurs d’aue r
tant plus grande, plus rapide, que le rayon r est plus petit,
elle est exprimée par le rapport et l’on remarquera que
l’angle e des normales mo et no est égal à celui que forment les tangentes à la courbe en m et en n , ou les prolongements des éléments ac et cb ; angle que l’on nomme l’angle de contingence. Cela posé , et sans entrer à ce sujet dans des détails qui ne seraient pas à leur place, examinons ce qui se passe dans la flexion des corps.
128. Hypothèse de Galilée sur le mode de résistance des matériaux à la flexion. — C’est à l’illustre Galilée que l’on doit les premières recherches scientifiques sur la manière dont les corps résistent aux efforts auxquels ils sont soumis dans les constructions ; elles sont développées dans ses Dialogues, publiés en 1638. Galilée considérait les corps comme coin-
FLEXION
posés de petites fibres appliquées parallèlement les unes sur les autres, et supposait la résistance totale proportionnelle à l’étendue de la section transversale et indépendante du degré d’extension qu’elles prenaient avant de se rompre, hypothèse qui, comme nous le verrons plus tard, n’est pas conforme à la nature. Il admettait de plus que dans une section transversale quelconque, l’axe autour duquel se faisait la rotation, au moment de la flexion ou de la rupture , était placé à la partie inférieure de la section, de sorte que toutes les fibres du corps s’allongeaient à peu près proportionnellement à leur distance à sa face inférieure.
Si, dans cette hypothèse, on considère (pi. III, fig. 12) un solide prismatique à section rectangulaire, on voit qu’en nommant E la résistance par unité de surface, celle d’une tranche de surface élémentaire s, située h la distance v de l’axe mn de rotation, serait Es, et que le moment de cette résistance par rapport à mn, serait égal à E sv, ou au produit du nombre constant E, par le moment de cette tranche élémentaire par rapport à la section mn de la couche inférieure; de sorte que le moment total ou la somme des moments semblables serait égal au produit de la surface totale A de la section, par la résistance E par unité de surface, et par la distance de son centre de gravité à l’axe mn, le centre de gravité étant le point d’application de la résultante de toutes les forces égales appliquées aux différentes surfaces élémentaires dont l’ensemble constitue la surface totale. Dans le cas d’une pièce prismatique à section rectangulaire, de largeur a et de hauteur b, on aurait A — ab, la distance
du centre de gravité à l’axe mn serait -, et la somme des moments des résistances des fibres serait, dans l’hypothèse de Galilée :
E .aôX^ — E • -j-.
Et pour que l’équilibre subsistât entre les forces extérieures et la section que l’on considère, il faudrait donc que
la somme des moments de ces forces et celle des résistances moléculaires, par rapport à l’axe mn, fussent égales, de sorte qu’en nommant M la somme de ces moments, on devrait avoir :
120. Hypothèses de Mariotte et de Leibnitz. — Mariotte ayant voulu vérifier les résidtats de la théorie de Galilée , ne les trouva pas conformes à l’expérience et fut conduit à considérer les corps comme composés de fibres extensibles qui résistaient à l’extension proportionnellement à leur allongement. Cette supposition qui avait déjà été faite par Hooke, célèbre géomètre anglais, qui vivait en 1670, était déjà plus voisine de la vérité ; mais elle fut étendue par Mariotte jusqu’à l’instant de la rupture qui n’arrive, comme on le sait, que quand l’élasticité a été altérée et par conséquent après que les allongements ont cessé d’être proportionnels aux efforts.
Leibnitz, en se basant sur l’hypothèse de Hooke et en supposant encore que la rotation produite par la flexion se faisait autour d’un axe situé à la partie inférieure du corps, parvint à une formule qui concorde mieux avec les résultats de l’expérience.
En effet, si dans cette hypothèse l’on examine (pl. III, fig. 13) ce qui se passe dans une tranche élémentaire comprise entre deux plans normaux à sa longueur et infiniment voisins, et que l’on considère en particulier une fibre élémentaire mn située à la distance v de l’arête inférieure c de la section , on voit en menant cp parallèle à nun' que cette fibre mn, qui avait primitivement une longueur égale à m'c , a éprouvé un allongement pn, et que d’après ce que l’on a dit au n° 127, on a
pn : m c : : en ou v : m o ou r ; d ou = -.
1 mer
Or le rapport ^ est ce que l’on a appelé précédemment
FLEXION
(n° 6) l’allongement proportionnel *, et tant qu’il ne dépasse pas la limite i! qui correspond à la limite à laquelle l’élasticité est altérée, la résistance de la fibre est proportionnelle au coefficient E d’élasticité, à l’aire de la section transversale a de la fibre et à son allongement proportionnel i ; de sorte que l’on a pour la valeur de cette résistance :
E ai = Ea
Et son moment par rapport à l’axe de rotation de la section, supposé en c sera :
Eo-. »=E %! = -X(ie!; r rr
c’est-à-dire égal au produit du quotient — du coefficient
d’élasticité divisé par le rayon de courbure , et du moment d’inertie de la section transversale de la fibre élémentaire que l’on considère par rapport à l’arête inférieure c de la section du corps.
La somme des moments semblables ou le moment total de la résistance des fibres de la section serait donc
