F FI

*(at>*+flV‘+e tc...) = y,

en remarquant que la somme des produits av 2 -f- a'v'2 -f- etc., est le moment d’inertie de la section par rapport à l’axe inférieur de rotation, moment que nous désignerons par la lettre I.

D’après cette théorie on devrait donc avoir, entre cette somme des moments des forces moléculaires et celle M des moments des forces extérieures, la relation

Mais l’hypolhèse de la rotation autour de la ligne infé-

rieure de la section transversale n’est pas d’accord avec l’observation, ainsi qu’on l’a vu par les expériences ^rapportées aux nos 114 à 121, et l’existence d’une couche de fibres qui, pour chaque position d’équilibre, ne subissent ni allongement ni raccourcissement, se trouve au contraire démontrée par l’expérience.

150. Théorie de la résistance des corps fibreux à la flexion transversale. — C’est sur cette considération de l’existence d’une fibre invariable dans l’intérieur des corps, regardés comme composés de fibres parallèles, qu’est fondée la théorie actuelle de la résistance des corps à la flexion.

La rotation qui se produit dans chaque section s’effectuant pour chacune d’elles autour de la ligne contenue dans celte couche des fibres invariables , il s’ensuit que l’allongement et le raccourcissement des fibres situées en dehors de la couche des fibres invariables, sont proportionnels à leur distance à cette couche.

A laide de cette considération, examinons maintenant (pl. III, fig. 14) ce qui se passe entre deux sections infiniment voisines et perpendiculaires à la longueur d’un corps fibreux fléchi, que nous supposerons par exemple solidement encastré par l’une de ses extrémités et soumis à l’autre à faction d’une force extérieure P qui agit normalement à sa longueur dans le plan vertical moyen qui le diviserait longitudinalement en deux parties égales.

Soient IK et ik les sections que l’on considère et dont les plans prolongés se rencontrent suivant une ligne perpendiculaire au plan moyen du corps et qui se projette en o. Dans la flexion des corps les sections IK et ik restant normales à la ligne des fibres invariables, le point o sera le centre de courbure de cette ligne, et l’on aura d’après ce qui précède (n° 127), co = r , Ce* = s.

Si par le point c , l’on mène une parallèle cl' à la ligne CI, il est évident qu’une fibre quelconque mn, qui avait avant la flexion une longueur égale à C c = mp, se sera al-

FLEXION

longée de la quantité pn qui sera proportionnelle à sa distance pc h la fibre invariable Ce; la figure montre par les triangles semblables C oc et pen que l’on a pn : en :: s : r ; d’où pn = -Xcn = -v , en appelant v l’ordonnée du point

ny ou sa distance à la couche des fibres invariables, et rallongement relatif de cette fibre , ou par unité de longueur , sera donné par le rapport :

pn pn en v .

mp Ce co r

Or, si l’on nomme a l’aire élémentaire de la section de cette fibre, on sait par ce qui précède que sa résistance à l’allongement, que nous appellerons p, aura pour expresv E

sion p = E ai = Ea - = - X av.

Si la force, qui tend à fléchir le corps, reste normale à sa longueur, et que les flexions soient très-petites, ainsi que cela doit toujours arriver dans les constructions, la composante de cette force perpendiculairement à l une quelconque des sections normales, sera nulle ou négligeable; par conséquent la force extérieure qui tendrait à produire une translation longitudinale est aussi nulle ou négligeable ; il n’y a pas de translation et les forces moléculaires doivent se faire équilibre quant à la translation longitudinale. Or si les résistances moléculaires des fibres sont toutes normales à cette section , il faudra donc que les résistances à l’extension, des fibres placées d’un côté de la surface dcsfd^res invariables, fassent directement équilibre, quant à la translation, aux résistances à la compression, situées de l’autre côté; et comme toutes ces forces sont parallèles, cela exige que leur somme soit égale h zéro. C’est la première condition de l’équilibre dans cette section.

Si l’on remarque que l’une quelconque de ces forces a pour expression

p = - av r r

et que le facteur - est le meme pour toutes les fibres, la somme des forces analogues, pour toutes les fibres a , a\ a'\ placées à des distances v , v\ v". .... etc., qui doit être nulle, sera :

^ (av -f- «V -f ct'V -f- ... etc.) — 0.

loi. La ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale. — On voit que la condition que cette somme soit nulle revient à dire que la somme des moments des sections de chacune des fibres , par rapport à la ligne des fibres invariables , doit être nulle; c’est-à-dire, d’après le théorème connu des moments, que celte ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section. Or, on sait, soit par les méthodes géométriques directes, soit par la méthode de Th. Simpson, déterminer le centre de gravité d’une aire plane (Ire partie, nos 6 et suiv.); nous pourrons donc toujours , quelle que soit la forme de la section transversale du corps que l’on considère , déterminer la ligne, perpendiculaire au sens de la résultante des forces extérieures, qui contient les fibres invariables.