PX = Q(X — D

v QD X Q-P*

Or, ce point est précisément le point d’application de la résultante des forces P et Q. En cet endroit la courbure sera nulle, mais comme de part et d’autre de ce point la pièce prendra des courbures en sens opposés, il s’ensuit qu’il sera ce que l’on appelle le lieu de l’inflexion de la courbe.

La flexion ira donc en augmentant de ce point vers la section d’encastrement pour laquelle on aX = C, et, par suite,

y-^=PC— Q(C— D)= (p— Q.Ç-çt>)c,

et depuis le même point jusqu’à celui pour lequel la quantité soustractive Q(X — D)=0, ou bien X=D, ce qui donne

Or, il pourra arriver que le moment PD étant plus grand que le moment (p — Q. — C ou (Q. — P)C, la

FLEXION

courbure soit la plus grande au point pour lequel X=D, c’est ce que l’on reconnaîtra facilement et ce qui arrivera quand on aura :

PD>Q(C — D) — PC ou D>j^C,

expression qui suppose Q>P.

On devra donc calculer les charges ou la quantité -, d’après la plus grande valeur du moment des forces auxquelles le corps est soumis.

Il est d’ailleurs évident que l’on agirait de même, si à l’action des forces extérieures l’on devait joindre celle d’une charge pC uniformément répartie, dont le moment devrait être ajouté , avec son signe , à la somme des autres moments.

On aurait alors pour la relation d’équilibre 3? = PX-Q(X-D)-ij)X*

ou ^ = Q(X— D)-HpX*-PX.

Le point d’inflexion pour lequel la courbure est nulle, sera donné par la relation

PX — Q (X — D) — A pX2= O ou xa-2rP~QjX-^ = ü

d’où X = P-Q±i/(-^=^ + — •

La valeur négative de X indiquant un point d’inflexion situé à droite de l’extrémité ou en dehors du solide, n’est pas applicable à la question.

D’un côté, la flexion ira en croissant depuis le point d’inflexion jusqu’à la section d’encastrement où X = C, ce qui donne

“ = PC — Q (C — D) — i pC? = PC — QC'— I pV ou ?I = QC’+^C2-PC,

selon que l’on aura PC> ou <QC' + ipC2. On devra d’ail -

leurs calculer —, d’après la plus grande des deux différences.

De l’autre côté du point d’inflexion, la courbure augmentera et sera à son maximum pour le point où la quantité soustractive sera nulle, ce qui donne

Q(X— D)+ii>Xî=0 ou X2+^— ^r = 0;

Une seule des deux valeurs, celle qui est positive, convenant d’ailleurs à la question, on calculera la valeur

— 0+^0'+ 2QDp

et l’on s’assurera si la valeur de —; à laquelle elle conduit est plus ou moins grande que celle qui répond à l’encastrement, pour déterminer ~ en conséquence.

174. Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis et chargé en son milieu perpendiculairement à sa longueur. — Dans ce cas simple, toutétant symétrique de part et d’autre du milieu du corps, ses deux moitiés fléchissent également sous l’action de la charge. Les fibres placées à la partie inférieure s’allongent, celles qui sont placées à la partie supérieure se compriment, et bientôt il s’établit autour de la ligne des fibres neutres un équilibre entre la résistance des fibres étendues, celle des fibres comprimées, et l’action de la charge ; le corps arrive a un état de flexion stable, et toutes les résistances moléculaires font équilibre à l’action de la charge.

En cet état , la section transversale faite au milieu du corps, est devenue invariable et peut être regardée comme la section d’encastrement de chacune de ses deux moitiés

FLEXION

il 9

qui seraient alors exactement dans le même état que si elles étaient encastrées en cet endroit et soumises, à l’extrémité qui repose sur les appuis, à un effort égal h la moitié de la charge totale et dirigé en sens contraire.

On conçoit, en effet, facilement, que si l’on nomme

2P la charge totale placée au milieu ,

2C la portée totale ou la distance entre les appuis ,

la pression sur chacun de ces appuis sera égale à la moitié P de la charge, et que le corps étant parvenu à l’équilibre et à une forme qui cesse de varier , on peut le regarder comme fixe en son milieu et soumis, à chacune de ses extrémités, à l’effort P, développé par chacun des appuis et agissant avec le bras de levier C.

Dès lors , chacune des deux parties égales du corps peut être traitée comme le solide encastré par l une de ses extrémités, du n° 150, et l’on a, pour exprimer l'équilibre des forces moléculaires et des forces extérieures, les mêmes relations :

El r

v=vc-’

que l’on appliquera aux diverses formes du profil , supposé constant, en y mettant pour R et pour -, les valeurs convenables; pour la matière et pour le profil choisi.

Dans toute application numérique de cette formule et des suivantes, il importe de ne pas oublier que si le poids et la portée sont donnés, il ne faut introduire pour P et G respectivement que la moitié de ces nombres, P étant la moitié de la charge au milieu, et C la demi -portée seulement.

175. Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis et soumis , perpendiculairement à sa longueur , à une charge 2P placée au milieu , et à une charge uniformément répartie. — Dans ce cas, les mêmes considérations que précédemment montrent que le solide, parvenu à une posi-

tion d’équilibre, peut être considéré comme encastré en son milieu, devenu invariable, et ayant chacune de ses moitiés soumise à un effort P-f- ^ agissant perpendiculairement à sa longueur et à la distance C du point d’encastrement.

On a alors pour la relation d’équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures

formule dans laquelle on introduira pour R la valeur relative à la matière dont le corps formé , et pour -, la valeur

dépendant du profil de la section transversale supposée constante.

176. Observations sur la facilité qu'offre le cas actuel 'pour la recherche des lois des phénomènes de flexion et de rupture . — Les deux cas que l’on vient d’examiner sont ceux qui se prêtent le mieux aux recherches expérimentales et sur lesquels il en a été fait le plus grand nombre. Nous avons déjà indiqué (nos 114 et suivants) plusieurs des principaux résultats obtenus par divers expérimentateurs; nous aurons plus tard l’occasion d’en rapporter d’autres.

Nous nous bornerons à faire remarquer ici que c’est principalement par des observations faites sur un corps posé sur deux points d’appui et chargé en son milieu, que l’on peut reconnaître et que l’on a reconnu les lois physiques des phénomènes de la flexion et de la rupture des corps solides, sous l’action des efforts extérieurs.

177. Solide prismatique ou cijlindrique posé librement sur deux appuis et chargé d'un poids 2P, en un point distant des appuis des quantités 1' et 1". — Appelant toujours 2C la distance des appuis , on a 1' -f- Y — 2C , et appelant P' et P" les pressions exercées sur les points d’appui A et B (pl. III, fig. 28), on aura d’abord pour déterminer ces pressions qui sont les

FLEXION

composantes de la charge 2P en ces points : P'x2C = 2Pf et P" X 2C = 2P/' d’où

p' = ï et P"=7T

Si maintenant on considère une section quelconque IK du solide, situce entre le point d’appui A et le point d’application M de la charge, à la dislance X de l’autre point d’appui B et , si l’on cherche la relation d’équilibre à établir entre les forces extérieures qui agissent à droite de la section 1K et les résistances moléculaires , on aura , en appliquant la règle générale des nos 426 et suivants, et en remplaçant V par sa valeur l' = 2C — 1'\

FT UT p i'f

— = ™ = FX — 2P (X — D=^-(2C — X).

La courbure i sera nulle ou le rayon de courbure infini

pour X = 2C, ou au point A ; elle aura la plus grande valeur pour la plus petite de X , c’est-à-dire pour X == l" , ainsi la section dangereuse sera au point même d’application de la force 2P.

Pour une section quelconque I'K', comprise enlre le point d’application M de la charge 2P et le point d’appui B, à une distance X’ de ce point, la relation dcquilibre permanent sera

El RI y, P/' P (2C — l")

Sa plus grande valeur sera relative à X'—T, ce qui conduit à la relation

El B 1 P (2C — l") „ P n\ r v'~ C L C

(ce qui est la formule de 1* Aide-mémoire).

17B. Cas où le prisme est en outre chargé d'un poids uni -

formément réparti. — En appelant toujours p la charge par mètre courant , on aura d’abord :

P'X2C = 2Pf + 2pC2 et P"X 2C= 2P/'+2pC2,

d’où l’on tire P'

2Pf + 2^C2 2C

et P"

2PZ' + 2)0 G2 2G

On en déduit ensuite pour la section IK, située entre À et M,

— = ^ = P"X— 2P (X— f)— fpXs

-2-^(2C-X) + ipX(2C-X),

et pour une section quelconque I'K', située entre le point d’application M de la charge 2P et le point d’appui B, à une distance X' du point A, la relation d’équilibre permanent sera

S = = P"X' — i pX'2 — X'

2§ + ip(2C-X')].

Si dans la première expression on fait X = 2C , on a — = 0, ce qui indique que la courbure est nulle en A ou le rayon de courbure infini, et le maximum correspond évidemment à X = f , ce qui donne 2C — X = 2C — l" = l\ et réduit l’expression à

[2P ~\~iP (2C)]<

En effet, le premier terme de l’expression ci-dessus :

2Pr

atteint évidemment son maximum pour la plus petite valeur X = l" de la distance de la section IK au point B, et quant au second, si l’on trace le cercle dont le diamètre est AB =. 2G, on voit que le facteur X (2G —X), égalau carré

FLEXION

de l’ordonnée de ce cercle, croît à mesure que X diminue depuis X = 2C et atteint sa valeur maximum pour X = C, c’est-à-dire au delà du point M.

Ainsi, dans cette branche AM du solide fléchi, le maximum de courbure est en M.

Quant à l’autre branche MB , la courbure est encore nulle en B, où Xf = 0, et pour le maximum, on voit que le pre-

mier terme du second membre -^-X' atteint le sien pour

X' = Z", mais que le second terme \ p (2C — X') X atteint comme on Fa vu ci-dessus le sien pour X' = C, par conséquent le maximum de leur somme doit être entre le point M et le milieu de la pièce ou de la portée, et c’est là le point dangereux.

Si l’on tenait à déterminerla position de ce point de courbure maximum, on y parviendrait en calculant diverses valeurs du second membre, correspondant à des valeurs deX, décroissantes depuis X — ï'\ on prendrait les valeurs de X pour abscisses d’une courbe dont les ordonnées seraient les

valeurs du second membre X

et l’on

multiplierait assez ces valeurs pour atteindre et dépasser le maximum qui correspondra au point le plus élevé de la courbe, que l’on déterminera ensuite facilement ainsi que son abscisse par la méthode que nous avons indiquée dans la première section pour déterminer le point de contact d’une tangente parallèle à une droite donnée.

179. Prisme posé sur deux appuis et chargé de poids distribués d'une manière quelconque. — Supposons (pl. 111, fig. 29) un solide prismatique ou cylindrique posé sur deux appuis et soumis à l’action :

de poids P2 P„ P4 Ps P6,

situés à des distances l\ l\ l' 3 l\ lr6 l'6, du point d’appui A,

et à des distances l\ l\ l"z l’\ fs -f6, du point d’appui B;

en suivant , comme dans les numéros précédents , le mode simple de discussion adopté par M. Poncelet, on voit que les pressions P' et P" exercées sur les points d’appui A et B seront respectivement , d’après la théorie des forces parallèles :

!v W'i + P«^+P/3+etc.'..

TV/ P/i + P* IV'a + et c . . .

Ct F “ 2C ’

et l’on aura ensuite pour la condition d’équilibre relative à une section ÏK placée entre deux points A2et A3, par exemple, et à une distance X du point d’appui B,

y = ■ 51 = P"X - P3(X - 1\) — P4(X— t 4) - P» (X— P à— etc. . .

y= y=d "-P3-P4-P5- etc.)X+P3i"s+P4r4+P5f5+elc.

Or, le second membre, et par conséquent la courbure, croîtra avec X, si l’on a P'^Ps+Pi+Ps + etc., et la plus grande courbure aura lieu en un des points Ai ou A*, suivant les cas.

La plus grande courbure appartiendra donc à l’un des points d’application, et la section dangereuse sera celle pour laquelle le second membre de cette relation sera un maximum, ce qu’il sera toujours facile de reconnaître.

Si, par exemple, on trouve que c’est pour le point As que ce second membre a sa plus grande valeur, on fera X=/"3, et l’on aura pour la relation d’équilibre :

y = y = (P"-P4-P5- P6 - elc.) l\+ PA + P/V+ etc...,

et par suite on connaîtra la valeur de ~n qu’il faudra adopter pour la stabilité de la construction.

FLEXION

180. Cas ou les forces se réduisent à deux forces égales , agissant à des distances des appuis respectivement égales entre elles. — Dans ce cas (pi. III, fig. 30) si Pon appelle P la charge en chacun des points situés à la distance l des appuis , la charge totale est 2P, et les pressions P' et P" sur ces appuis sont :

On en déduit ensuite pour l’équilibre, dans une section quelconque 1K, située à la distance X du point B :

— = Î^ = PX— P(X— l)=Vl.

Le second membre de cette relation restant le même entre les points Ai et A2 d’application des forces, il s’ensuit que dans cet intervalle la courbure est constante, et que la courbe est un cercle dont le rayon est :

, (AiA2)2 PZ(2C — 2/)2

4 2r ~ 8EI

A cette flèche de Parc il faut ajouter celle des deux bouts, que Pon peut considérer comme des solides encastrés en Ai

ou en As, et qui est, comme on le verra au n° 203, ^ — . De sorte que la flexion totale est :

t P/3 P/(2C — 2/)2 3 El 8EI *

On voit d’ailleurs facilement par l’examen de l’équation d équilibre que cette répartition de la charge est beaucoup plus favorable à la solidité que si cette charge 2P agissait au milieu de la pièce; aussi cette disposition est-elle fort en usage pour les roues hydrauliques.

181. Cas où Von veut tenir compte du poids du solide ou d’une charge uniformément répartie . — Dans ce cas, il est facile de voir que l’on a P' = P" = P -(-^C , et pour la relation d’équilibre en une section quelconque IK située entre les points Ai et A2 :

La valeur du maximum du second membre, correspondant évidemment au milieu de la longueur de l’arbre, il est clair que la section dangereuse se trouve en cet endroit; on a donc pour cette section X=C et :

EI RI — p/ , PÇ2

Telle est la formule à appliquer aux arbres des roues hydrauliques, si l’on veut tenir compte de leur poids propre.

182. Autres applications relatives aux arbres des roues hydrauliques. — Les roues hydrauliques sont ordinairement composées de fermes ou systèmes de bras qui supportent les aubes ou les augets sur lesquels agit l’eau. Les fermes, habituellement au nombre de deux, trois ou quatre au plus, ne sont pas toujours réparties, sur la longueur de l’arbre, symétriquement par rapport aux points d’appui. Les considérations générales du n° 179 s’appliquent facilement à ces divers cas; mais il ne sera pas inutile de montrer directement quelle est la conséquence de ce mode de répartition des fermes.

1° Cas où la charge est répartie par parties égales en deux points Ai et A2 (pi. III, fig. 31), situés à des distances l et V des appuis A et B.

On a d’abord pour les pressions P' et P" sur les appuis :

TV P (2C — d) -f- W P. 2C + P ( V—l )

PC(2C— Z'hHPZ __I\2G— PC/'— l) 2C “ 2C

FLEXION

Puis pour la relation d’équilibre d’une section quelconque IK située entre Ai et A 2,à la distance X du point d’appui B on a :

— = 51 — p"x— p (X — /') = (P"— P)X + pi'.

En remarquant que, d’après la valeur ci-dessus de P", on a :

TV/ TT P^-0 P {l'—l)

Or, si l’on a A">P, ce qui suppose £>/', le point dangereux sera en Ai.

Si l’on a P"<P, ce qui suppose le point dangereux sera A2.

Dans le premier cas, X — 2C — /, et l’équation d’équilibre permanent devient :

RI P(/ — l')

(2G— ■/)■+ pr=p/

Dans le deuxième cas X

EI = RI = p v

Vr et l’on a :

Pour assurer la stabilité de la construction, il suffira donc de calculer la valeur des seconds membres de ces relations et d’égaler le premier membre ~ à la plus grande des deux.

2° Cas où la charge 2P est répartie par parties égales sur Irois points d’appuis équidistants.

En conservant les notations du n° 179 et y faisant 2P

1\ = P2 = P3= - on a d’abord :

lv 2P'(f/1~j-f2+r6) ^

Puis pour la relation d’équilibre d’une section IK située en-

tre Ai et À2, à la distance X du point d’appui B : FI RI

-=^=r-iP)x+f PÆ+n).

Si l’on a P">fP, ce qui revient à /'i + /'a-|-/'s>>4C, le point dangereux sera en Ai et correspondra à X = l'\.

On a alors pour la relation d’équilibre :

EI RI 2p/A + /'2 +*V r “ vr “ 3 \ 2C ,

ou a cause de — —

et de —

en appelant d la dislance des fermes, il vient :

El RI

l"A—Wd.

Si , au contraire , l’on a P" < f P , ce qui revient à Z'i + /'â + /'3<4C, le point dangereux sera en A2 et correspondra à X = V\ , et par suite :