EI C

et par suite

sin

ce qui permet de déterminer l’inclinaison des extrémités du solide quand on connaît sa flexion et sa portée.

FLEXION

219. Solide posé horizontalement sur deux appuis, supportant une charge 2P placée au milieu de sa longueur, et une charge uniformément répartie 2/>C. — L’on sait que dans ce cas la charge sur les points d’appui est P +i?C , et que le solide peut être regardé comme encastré en son milieu, et chacune de ses deux moitiés comme soumise à un effort P-f-^C, agissant de bas en haut à son extrémité et à une charge pC uniformément répartie sur sa longueur. On a donc

M = (P +JpC)X — £pX2,

expression dans laquelle le premier terme du second membre est toujours plus grand que le deuxième, de sorte que la courbure ne présente pas d’inflexion. L’on en déduit

»*' =' jTj £( I* -\-pC)\x — .

Ici encore en prenant la somme des valeurs de ni il faudra faire attention à ce que l’inclinaison de la tangente à la courbe est nulle au milieu de la longueur du solide ou pour X = C, ce qui exige que l’on ajoute à celte somme une quantité constante dont la valeur sera déterminée par cette condition.

L’on a ainsi :

sin O = -L ^ ^x3 J -j- constante ;

et en faisant X = C on en déduit

constante = — ^ ^ y- + £ pQ^j .

la valeur générale de sin O devient donc sin°=L[(P+PC)V. pXo

et pour X = C elle se réduit à

Les formules précédentes montrent comment on peut s’y prendre pour déterminer, dans les cas les plus simples , l’inclinaison des divers éléments des solides fléchis par l’action des forces extérieures. Mais comme cette recherche a généralement peu d’importance pour la pratique , nous ne nous y arrêterons pas plus longtemps. Nous renverrons aux leçons professées sur la matière par M. Poncelet, à la Faculté des sciences, et dans lesquelles il a donné une méthode générale pour les recherches de ce genre. Ce que nous venons de dire n’est qu’une application de cette méthode à des cas simples.

Conséquences pratiques de la théorie.

220. Allongement et raccourcissement proportionnel des fibres , produit par la flexion. — Si l’on se rappelle (n° 150) que l’on a , entre l’allongement proportionnel i d’une fibre quelconque, sa distance v à la ligne des fibres invariables, et le rayon de courbure r de cette ligne du solide, pour la section que l’on considère, la relation :

on voit que pour la fibre qui subit le plus grand allongement ou le plus grand raccourcissement, on aura