VI

Si l’on calcule les valeurs du coefficient d’élasticité fourni par cette barre en donnant à f les valeurs des flexions obtenues aveclacharge 2P=101kil,80 et qui ont été, avec la ner-

FLEXION. 203

vure en dessous, /'=0m,0157, et avec la nervure en dessus, /*= 0m,0l47, on trouve les résultats suivants :

La nervure en dessous E = 8974 000 000kil La nervure en dessus E—9584 500 000

Moyenne E = 9 279 250 000kil.

valeur qui diffère très-peu de celle de E = 8 950382000 kil

que nous avons déduite, au n° 87, des expériences du même auteur, sur l’extension et la compression directes de la fonte.

On voit donc par cette discussion que, dans les limites où l’on prétend appliquer la théorie qui a été exposée aux nos 125 et suivants, elle offre, avec les résultats de l’expérience, une concordance bien suffisante pour la pratique, et que l’on peut admettre, comme nous l’avons fait jusqu’ici, que la ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale.

240. Observations sur la résistance des pièces à nervure , à la rupture . — Ce qui précède montre que quand la flexion est renfermée entre certaines limites, les résistances à la compression et à l’extension sont d’abord à peu près les mômes, et qu’il importe peu de placer la nervure en dessous ou en dessus sous ce rapport. Mais si l’on considère la résistance à la rupture qui arrive beaucoup plus tard et sous <les charges bien plus considérables, il en est tout autrement. La résistance à la compression devient plus grande que la résistance à l’extension à mesure que les flexions dépassent de plus en plus les limites entre lesquelles elles sont proportionnelles aux charges. Il en résulte que la ligne des fibres invariables doit se déplacer, et que pour chaque nouvelle condition d’équilibre avec chaque charge, elle se rapproche de plus en plus de la partie comprimée. La portion du solide, qui est allongée, l’est donc de plus en plus, et,

dans ce cas, il devient évident que si le solide est, comme dans les expériences précédentes, posé librement sur deux points d’appui, il doit se rompre plus facilement, quand la nervure est en dessous et exposée à l’extension, que quand elle est en dessuset exposée àla compression. L’inverse a lieu au contraire s’il s’agit d’un solide encastré par l une de ses extrémités.

L’expérience confirme complètement ces considérations, comme le montre le tableau précédent, puisque la barre placée avec la nervure en dessus n’a été rompue que par une charge un peu plus que triple de celle qui avait rompu le solide avec la nervure en dessous. Dans cette rupture, lorsque c’est la nervure qui cède par compression, il se détache ordinairement du solide une sorte de coin de la même forme que celui indiqué (pl. III, fig. 6), qui, par l’effet de la compression, est complètement isolé du solide.

Il résulte de cette observation que pour les solides de formes analogues, le coefficient de rupture serait très-différent selon que la nervure serait comprimée ou distendue. Mais, comme la prudence exige que les charges permanentes ne soient jamais telles que l’élasticité soit altérée dans aucune partie du solide, on voit que l’on n’a pas, en général, à tenir compte de cette différence. La valeur R=7 500000 kilogr., que nous avons adoptée pour les formules pratiques, convient toujours à des dimensions et à des charges telles que l’élasticité ne soit pas altérée, quelles que soient d’ailleurs les différences qui proviennent de la nature et de la qualité des fontes employées, pourvu qu’elles ne soient pas en même temps de première fusion et de très-fortes dimensions.

En effet, dans le cas actuel, où

on trouve, pour la charge 2P, que l’on pourrait faire supporter au corps avec sécurité :

RI 7500000 X 0,000004099 v'C~~ 0n,,991

FLEXION

d’où 2P = 62kil,02 , tandis] que les flexions sont restées, dans les deux cas, proportionnelles aux charges, jusqu’à 2P = 10.lkil,80, au moins.

24! . De la forme des solives en fonte et de la manière de les charger— M. E. Hodgkinson a conclu de l’inégalité des résistances que la fonte présente à la compression et à l’extension, que dans Pemploi des solives en fonte en forme de double T, telles qu’on les emploie généralement pour la construction des ponts de chemins de fer et autres, il fallait donner à la section de la nervure inférieure exposée à l’extension , une étendue beaucoup plus grande qu’à la nervure supérieure, soumise à la compression. Cette règle est généralement suivie par les ingénieurs anglais, parce qu’ils ont l’usage d’adopter pour charge permanente une certaine fraction de la charge de rupture. Quoique cette méthode soit défectueuse, et que l’on doive limiter les charges d’après la considération des flexions pour lesquelles l’élasticité commence à s’altérer, et que parla discussion des expériences mêmes deM. E. Hodgkinson, rapportées aun° 87, on ait vu que le coefficient d'élasticité est le même entre ces limites pour la compression que pour l’extension , il peut être commode, pour les assemblages, et pour la pose des solives, etc., de donner à la nervure inférieure plus de largeur et de force qu’à celle du dessus.

Un point fort controversé par les ingénieurs anglais, c’est de savoir s’il n’y a pas d’inconvénients graves, surtout poulies poutres extérieures, à faire porter la charge, ou pour parler plus clairement, les solives transversales des ponts sur la nervure inférieure, et le choix des dispositions à prendre en pareil cas.

Les ingénieurs les plus habiles sont presque tous d’accord pour conseiller de ne pratiquer, de ne ménager, dans les solives en fonte de ce genre, aucune ouverture qui interrompe la continuité du solide. Quelques-uns, parmi lesquels je citerai M. Fairbairn, ne veulent pas même que de petites nervures, perpendiculaires à la longueur et aux faces verti-

cales des poutres, y soient ajoutées, parce qu’à la coulée elles peuvent occasionner des soufflures et d’autres défauts.

La forme la plus simple, parfaitement continue, est celle que l’on adopte le plus généralement. Elle donne la facilité, dont beaucoup d’ingénieurs ont usé, de poser les solives transversales sur la nervure inférieure , ce qui rend la construction du tablier extrêmement simple. Mais ce mode de répartition de la charge expose les poutres extérieures à un effort de torsion que l’on regarde comme dangereux. Cependant l’usage prévaut, et beaucoup d’habiles constructeurs l’ont adopté, non-seulement pour les solives en fonte, mais encore pour celles en tôle de fer.

M. Fairbairn propose le mode suivant, qui, sans altérer en rien les poutres, permettrait de répartir également la charge sur les deux côtés de la nervure inférieure; mais il est un peu plus compliqué que celui que l’on suit ordinairement. Les solives transversales, supposées en fonte, passeraient au-dessous de la nervure inférieure, et seraient suspendues à chacune de ses branches latérales par deux boulons à talons qui s’accrocheraient de part et d’autre de cette nervure.

Si les solives transversales étaient en bois, on pourrait employer un moyen semblable. Ce mode présenterait aussi l’avantage de permettre de remplacer assez facilement une solive sans lever le tablier.

242. Observations sur les proport ions des solives en fonteadoptées par les ingénieurs anglais. — La plupart des ingénieurs prudents n’admettent, pour la plus grande charge permanente des solives en fonte destinées à des ponts de chemins de fer, que le cinquième, et même le sixième de la charge de ruplure, ce qui revient à faire, dans les formules pratiques :

R = 6 488 200k11 ou 5 407 000kil.

Pour les ponts ordinaires, et surtout pour des constructions qui ne sont pas exposées à des vibrations, on admet

FLEXION

généralement des charges permanentes égales à un quart de celles de rupture , ce qui revient à faire :

R = 8 110 000 ka, et s’éloigne peu de la valeur

R = 7500 000lil,

que nous avons adoptée dans Y Aide-mémoire , et que nous conserverons pour les cas ordinaires.

Dans les ponts des chemins de fer, les ingénieurs anglais s’accordent à estimer la charge du pont par pied courant à 1,5 ou 2 tonnes, ce qui revient à 5 000 ou 6655 kilogr. par mètre courant de voie ou de paire de rails.

L’épreuve à faire subir aux solives n’excède que rarement le tiers de la charge de rupture , et beaucoup d’ingénieurs préfèrent n’employer que la charge réelle maximum, en observant les flexions.

Enfin la limite des flexions que les poutres peuvent prendre sous la charge est fixée d’une manière très-variable par les ingénieurs anglais, qui d’ailleurs ne paraissent pas s’occuper de la calculer à l’avance. Cette quantité dépend en effet tellement de la nature des fontes, comme on a pu le voir par les expériences , qu’il faut bien connaître celles que l’on emploie. Cependant les fontes obtenues par des mélanges, et d’un grain gris assez fin, que l’on doit préférer, diffèrent moins que les autres. On peut calculer, par les formules des nos 191 et suivants, la flèche de courbure des solides , et reconnaître les charges correspondantes à telle limite que l’on jugera convenable de fixer.

Généralement on s’accorde à admettre que la flexion des poutres en fonte ne doit pas dépasser ^ de la portée, et qu’il serait préférable delà limiter à

245. Conclusions des expériences sur la résistance de la fonte à la flexion et à la rupture. — De l’ensemble de toutes les expériences que nous avons rapportées et discutées dans les numéros précédents, nous pouvons donc conclure :

1° Qu’entre des limites assez étendues et qui dépassent celles des charges permanentes que l’on peut faire supporter aux corps avec sécurité, les flexions sont :

1° Proportionnelles aux efforts qui les produisent;

2° Proportionnelles aux cubes des portées ;

3° En raison inverse du produit ab% de la largeur par le cube de l’épaisseur, pour les pièces à section rectangulaire ;

2° Qu’entre ces memes limites, la résistance de la fonte à la compression étant sensiblement la même que la résistance à l’extension, la ligne des fibres invariables passe par le centre de gra\ité de la section transversale;

3° Que la valeur moyenne du coefficient d’élasticité de la fonte est d’environ

E = 1 2 000 000 G00Lil,

comme nous l’avons admis dans les formules pratiques, mais qu’elle varie beaucoup avec la nature et la qualité des fontes et s’abaisse à 9 000000000 kilogr. et à 10000 000000 kilogr.

4° Que le coefficient de rupture par flexion pour les solives en fonte a pour valeur moyenne

Rr=32 441 000kil.

5° Qu’en conséquence, si l’on admet que les solides en fonte exposés à la flexion transversale ne doivent pas être chargés d’une manière permanente de plus du quart de la charge de rupture, la valeur du coefficient R des formules pratiques ne devra pas excéder

R = 8 1 10250kil,

ce qui montre qu’en adoptant la valeur

R = 7500000kil,

nous sommes restés dans les limites indiquées par la prudence.

FLEXION

Résistance du fer à la flexion.

244. Expériences sur la résistance du fer forgé par M. Duleau. — Parmi les expériences que l’on doit à cet habile et consciencieux observateur , nous citerons ici celles qu’il a faites sur une barre de fer forgé du Périgord, ayant pour base un triangle équilatéral de 0m,038 de côté, sa longueur étant 3™, 02 et son poids 14UI,75.

La distance entre les appuis étant de 3m,00, cette barre a été posée de manière à porter successivement sur chacune de ses trois faces et sur chacune de ses arêtes, de sorte que le coin formé par les faces inclinées se trouvait en dessus dans le premier cas, et en dessous dans le second.

Cette expérience tout à fait analogue à celle queM.E.Hodgkinson a faite sur une barre de fonte à nervure et que nous avons discutée au n° 259, conduit pour le fer à des conséquences conformes à celles que nous avons obtenues pour la fonte.

En effet, les charges ayant été placées au milieu de la longueur du solide, les flexions qu’elles ont produites sont contenues dans le tableau suivant.

Les résultats de cette expérience montrent d’une manière évidente que la résistance à la flexion est la même dans les deux cas, ainsi qu’on le déduit de la théorie. Par conséquent l’hypothèse de l’égalité de résistance à la compression et à l’extension peut être admise pour le fer de même que pour la fonte, comme sensiblement conforme à l’observation des faits, pourvu qu’on se borne à l’appliquer dans les limites où les flexions restent proportionnelles aux charges.

245. Expériences sur la résistance des tubes en fer forgé , soudés et sans rivets. — M. J. Hosking a fait aussi des expériences intéressantes sur la résistance des tubes en fer forgé, sans soudure, pour la comparer avec celle des tubes en fonte.

Les tubes circulaires avaient été fabriqués par M. Russell et Cie, au moyen du procédé de l’étirage au laminoir. Leur diamètre extérieur était D' — 0m,1016, l’épaisseur du métah de 0m,0076, et par conséquent le diamètre intérieur D"=0m,0940.

Le tube rectangulaire et le tube elliptique avaient été obtenus en chauffant et en forgeant les tubes circulaires avec des marteaux de bois en prenant soin de ne pas altérer le fer et en arrondissant les angles du rectangle.

Les dimensions du tube rectangulaire étaient, en continuant à nous servir des notations précédemment employées,

celles du tube elliptique étaient

2rt=Gm,0587, 2ù~Gm,1270, 2a' = 0m,5ll, 26'=Om,1194.

La portée était 2C — lm,830 entre les appuis, et la charge était placée dans un plateau suspendu au milieu de la longueur des tubes posés horizontalement.

D’après ces dimensions, on a pour

le tube rectangulaire I ~ ( a ^ — «'ù'3 ) =0,C00 001 909 ;

le tube circulaire ï— 0,0491 (D1’4 — D"4) — 0,00 001 398 ;

le tube elliptique 1—0,7854 ( abz — a'b'3)=0,Q0 001 636.

FLEXION. 271

A l’aide de ces formules et de l’observation des flexions rapportées par M. E. Clark, on peut calculer la valeur du coefficient d’élasticité, fournie par chaque tube. Nous prendrons pour ce calcul la flexion observée sous la charge de I015kilogr., et nous trouverons les résultats consignés dans le tableau suivant :