EI
Cette formule se réduit d’ailleurs à /^ij^gp'Cpour le cas
où C = C' , ainsi que cela devait arriver, et si, comme il convient, on tient compte du poids propre du solide, qui est 2^>C = 1 320 800kil , en appelant p son poids par mètre courant, ce poids produira une flexion exprimée par
de sorte que la flexion totale sera
A eijpc+p'C]— 1p'(C- c?c2
EI
D’où l’on tirera pour la valeur du coefficient d’élasticité O [pC+p'C] - W (C - C? C2
C’est à l’aide de cette expérience que l’on a calculé les valeurs du coefficient d’élasticité insérées au tableau précédent.
L’on voit que les quatre premières valeurs , dont la dernière correspond à une flexion de ^ de la portée, supérieure à la proportion que l’on admet ordinairement , sont
FLEXION
sensiblement constantes et donnent p or ie coefficient d’élasticité une quantité moindre que celle qui a été trouvée dans d’autres cas , mais qui se rapproche beaucoup de celle qui a été fournie par les expériences de M. Fairbairn sur les barres de fer à double T, examinées au n° 250.
261. Détermination du plus grand allongement subi par les fibres dans cette expérience. — Si l’on se reporte aux considérations du n° 155, par lesquelles on peut obtenir la valeur de la plus grande variation proportionnelle de longueur des fibres , on se rappellera que l’on a
. (Pp 4- Qq + etc. >/
El
Dans le cas actuel, il s’agit de deux charges uniformément réparties : l’une, 2pC = 1 320800 kilogr., est le poids du solide ; l’autre , 2p'C', est celui de la charge.
D’après les notions exposées précédemment, en prenant les moments par rapport à la section du milieu, on a pour les moments des charges qui correspondent : au poids du solide, |pG2; à la charge répartie sur la longueur 2C', £// G'2.
La somme des moments des forces qui agissent de haut en bas est donc
-hpV + iP'V2;
la pression sur les appuis , et qui agit de bas en haut, est PC + P' G',
et a pour moment pQ? +/CC'.
La somme algébrique des moments des forces est donc M == i?C2 + yCC' — ^G2 - 1 p’C* = ±pC2 + p'CC' — i p'Cs , et par suite on a
.apC2-f/>'CC'-- J//CV
* Ël~
Pour le tube de Conway on a (n° 261) :
On a trouvé en moyenne, d’après les expériences de M. Fairbairn :
E = 13 185 000 000 kilogr.
Il ne s’agit donc que de substiluer, dans la formule ci-dessus , les différentes valeurs que prend le numérateur selon celles des charges 2p'C', et leur répartition.
Nous en ferons ici deux applications : l’une au cas où le solide n’était soumis qu’à son propre poids , et où par conséquent p' = 0, et l’autre à la charge 2yC'=204 140 kilogr., la plus grande de celles qui ont produit des flexions proportionnelles aux charges.
La première donne :
i pC\v' 660 400 X 30m,5 X 4”, 274 El “ 13 185 000000 X 10.6367
La deuxième pour laquelle p'C = 102070kil, C'=22m,90,
donne
En se reportant au n° 155, l’on voit que ce dernier allongement proportionnel n’a pas atteint la limite * = 0m,0008 relative aux fers doux, au genre desquels on doit évidemment rapporter les tôles employées, puisqu’elles n’ont donné pour le coefficient d’élasticité qu’une valeur bien inférieure à celle que fournissent les fers en barres et les fers doux étirés ordinaires.
262. Application de la règle qui lie les flexions aux portées et les portées aux hauteurs des solides. — Si l’on se reporte aux considérations du n° 222 et si l’on applique la formule
/UC 2G 6 E v'9
FLEXION
au tube du pont de Conway, pour lequel on a C = 61n\00, v’ = 40,274,
en prenant
on trouve pour le rapport des flexions aux portées
Ainsi l’adoption de la valeur de R = 6000 000 kilogr. donnerait seulement pour ce solide une flexion de ^ Pour limite de celles qu’il pourrait supporter sans altération de son élasticité, tandis qu’en réalité il en a subi, par son seul poids, une de ÿxüi sans danger. On voit donc que cette valeur du coefficient de résistance à introduire dans les formules , conduira à des dimensions qui offriront toute sûreté pour des constructions analogues.
265. Mode de calcul adopté par quelques ingénieurs. — La grande hauteur des tubes et le peu d’épaisseur du sommet et du fond cellulaires par rapport à cette hauteur, ainsi que l’influence assez faible des parois verticales sur la résistance totale , peuvent , jusqu’à un certain point , autoriser à employer un mode de calcul adopté par quelques ingénieurs anglais.
En effet , si l’on admet que par suite de la faible épaisseur relative du sommet et du fond du tube, toutes les fibres du sommet sont également comprimées et toutes celles du fond également étendues, il suffira d’écrire que la somme des moments des résistances à la compression et à l’extension par rapport à la ligne des fibres neutres, est égale au moment de la force extérieure , ou plus simplement on pourrait exprimer que le moment de la résistance du sommet par rapport à la ligne milieu du fond , est égal au moment de la charge par rapport à la même ligne.
En effet, en appelant :
A Taire de la section du sommet exposé à la compression ;
R la résistance à la compression par unité de surface; b la hauteur moyenne du tube , mesurée depuis le milieu du sommet jusqu’au milieu du fond;
-- la distance de la ligne milieu du sommet à la ligne des fibres invariables;
A' Taire de la section du fond exposé à l’extension ;
R' la résistance à l’extension par unité de surface; b — - = b. - sera la distance de la ligne milieu du
fond à la couche des fibres invariables.
On verra facilement que les moments des deux résistances à la compression et à l’extension , par rapport à la ligne des fibres invariables, seront respectivement :
pour la compression , AR . ^ ;
pour l’extension, A'R ’b — — — .
La somme de ces deux moments devant être égale au moment de la moitié de la charge dont le bras de levier est la moitié de la portée totale , on aura, en nommant comme par le passé :
2P la charge supposée placée au milieu de la longueur du solide;
2C la portée totale ,
PG =■■ AR - + A'R'6 . — A n n
Si Ton veut que le tube ne fatigue pas plus au sommet qu’au fond , il faut poser la relation
