CHAPITRE X

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES PHYSIQUES LA DÉDUCTION COMME AUXILIAIRE DE L’iNDUCTION

Usages de la déduction dans les sciences de faits. —

Les sciences qui ont pour objet les faits de la nature et leurs lois sont essentiellement expérimentales et inductives; pourtant ces sciences peuvent aussi recourir utilement à l’emploi du procédé déductif.

La déduction, dans les sciences expérimentales, peut être utile à un triple point de vue :

\° Comme moyen de vérification ou de preuve d’une loi encore incertaine ou hypothétique, lorsqu’il est possible de dériver de cette loi supposée les faits déjà connus ou d’autres faits encore inconnus, de la réalité desquels on s’assure ;

2° Comme moyen d’explication ou de démonstration d’une loi déjà découverte inductivement, lorsqu’il est pos sible de dériver cette loi d’une ou de plusieurs lois supérieures;

3° Comme moyen de découverte de lois ou de faits jusqu’alors inconnus ou même impossibles à découvrir inductivement, et qu’il est possible au contraire de dériver déductivement de lois déjà connues.

La déduction moyen de vérification des hypothèses.

— Lorsqu’une loi supposée n’est pas de nature à être vérifiée directement par l’expérience, la vérification ou la preuve de cette loi supposée sera obtenue indirectement par déduction si, d’une part, tous les faits déjà connus peuvent se déduire de cette loi, et si, d’autre part, toutes les conséquences que l’on peut déduire de cette loi se trouvent réalisées comme faits dans la nature. Ainsi, des théories opposées touchant la nature de la lumière, la théurie de rabier. — Logique. 11

l’ondulation et la théorie de l’émission, la première a finalement triomphé parce qu’elle est la seule de laquelle on ait pu déduire tous les faits connus, particulièrement le phénomène des interférences et certains faits encore inconnus, parmi lesquels un des plus curieux est celui qui se trouve rapporté dans le passage suivant :

« Les défenseurs de l’émission ne pouvaient contredire aux interférences ni les expliquer ; d’autres épreuves décisives allant toutes au même but avaient condamné leur cause sans appel. Citons-en une particulièrement mémorable : un géomètre justement célèbre (Poisson), physicien peu curieux des faits, tenait par habitude pour la théorie de l’émission. Un concours académique, dont il était juge, le rendit attentif aux démonstrations de Fresnel ; il voulut combattre le novateur et crut le vaincre par ses propres armes : « Votre théorie, dit-il à Fresnel, n’a aucune vraisemblance ; l’ombre d’un petit disque circulaire, éclairé par un point lumineux, devrait recevoir au centre, je l’ai calculé par vos méthodes, autant de lumière que si le disque était percé d’un trou ! » Sans être troublé par la scandaleuse conséquence, Fresnel accepta l’épreuve. L’expérience était facile, elle fut immédiate ; un point brillant, marquant le centre de l’ombre, vint tourner en preuve l’objection et confondre le géomètre par le triomphe de son calcul. » (J. Bertrand, Éloge de Foucault, Rev. sc., 11 fév. 1882.)

Voici un autre exemple non 'moins « éclatant » : « On opposa à la doctrine de Copernic que, si elle était vraie, Vénus devrait apparaître quelquefois avec la configuration que la Lune présente avant d’atteindre son plein (déduction des conséquences). lien convint, et ajouta même que, si elle s’offrait jamais à nous, elle apparaîtrait ainsi. On peut aisément se faire une idée de l’étonnement dont on fut saisi quand on vit le télescope confirmer cette prédiction, et qu’on aperçut cette planète avec la configuration que lui avaient également assignée l’auteur du nouveau système et ceux qui le combattaient. » (Herschel, p. 274.)

La déduction moyen d’explication des faits et des lois. — La déduction sert en outre à expliquer des faits ou des lois déjà reconnus.

Un fait est tenu pour expliqué lorsqu’on peut le déduire ou le dériver d’une ou de plusieurs lois. Une surface a 100 mètres carrés de superficie. Pourquoi? Le fait est expliqué si, remarquant que cette surface est un rectangle et qu’elle a 20 mètres de base et 5 mètres de hauteur, je puis le déduire comme conséquence du théorème général sur la mesure du rectangle. — Un homme est mort à la suite de l’ingestion d’un certain corps dans l’estomac.

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES INDUCTIVES

Pourquoi? Le fait est expliqué si, constatant que ce corps a tous les caractères de l’arsenic, je puis déduire le fait de cette loi générale : l’arsenic est un poison l.

Mais les lois elles-mêmes sont, comme les faits, susceptibles d’explication. Sur ce point Stuart Mill n’a guère rien laissé à dire aux logiciens, et nous ne saurions mieux faire que de résumer le beau chapitre de sa Logique qui traite de Y Explication des lois de la nature (liv. III, ch. xii. Cf. Bain, Log ., liv. III, ch. xi et xii ; Taine, Y Intel ., liv. IV, ch. m, § 1).

Lois empiriques. — Tant qu’une loi constatée inductivement n’a pu se rattacher par déduction à une ou plusieurs lois supérieures, elle est ce qu’on nomme une simple loi empirique .

« Une loi empirique, dit Bain {Log., tr. fr., t. II, p. 156), est une loi que l’on suppose secondaire, c’est-à-dire qui pourra sans doute être ramenée à une loi plus élevée, mais qui ne l’a pas encore été. Ainsi, que la quinine guérit la fièvre, c’est une loi empirique. C’est une généralité établie par l’expérience, mais en même temps une généralité secondaire, car il y a des raisons de croire qu’elle est réductible à des généralités plus hautes. L’impuissance où nous sommes de faire cette réduction est une imperfection et un désavantage, non pas seulement au point de vue théorique et spéculatif, mais aussi par rapport à l’application pratique de la loi. > (Voyez plus bas.)

Lois dérivées. — Lorsqu’une loi secondaire a pu être ramenée à une ou plusieurs lois plus hautes, d’empirique qu’elle était elle devient une loi dérivée.

« Beaucoup de vérités géométriques étaient, dit Mill {Log., tr. fr.,t. I, p.541). des généralisations de l’expérience avant d’être des déductions des premiers principes. » Ainsi , sans doute, les propositions concernant la valeur des angles du triangle, faire du rectangle, etc. « Il est certain, dit Euler (cité par Cl. Bernard, Introd. à la méd. exp., p. 81), que, la plupart du temps, les propriétés des nombres ont été reconnues par la seule induction, et que les géomètres se sont ensuite efforcés de les confirmer par des démonstrations véritables, d

Mais l’explication de lois déjà connues, au moyen d’autres lois auxquelles elles se réduisent et desquelles, par suite, elles peuvent

\. Il vient alors le syllogisme suivant, de la première figure : L’arsenic est un poison ; or ce corps est de l’arsenic ; donc ce corps est un poison. C'est le syllogisme proprement démonstratif ou scientifique, dans lequel, selon le mot d’Aristote, le moyen terme est la cause, la raison ou, comme dit M. Taine, l’ intermédiaire explicatif {l'Intel., lre éd., t. II, p. 420).

se déduire, est surtout fréquente dans les sciences de la nature. Mi 11 distingue ici trois cas.

1° Explication par composition de plusieurs lois simultanées. — Dans certains cas, la loi empirique résulte de la combinaison de plusieurs autres lois : l’explication consiste alors à déduire cette loi empirique de ces autres lois concourant ensemble et simultanément à la production de l’effet. Exemple : les lois du mouvement des planètes, découvertes par Kepler, se trouvèrent expliquées lorsque Newton les eut déduites de deux autres lois combinées ensemble, savoir : la loi de la force tangentielle, qui tend à lancer la planète sur la tangente à son orbite, et la loi de la force centripète ou gravitation, qui tend à jeter la planète avec un mouvement accéléré sur le soleil. — Expliquer la loi de l’ascension des ballons, c’est déduire cette loi des lois combinées de la pesanteur et de l’élasticité des gaz l. — Expliquer l’origine des gouvernements libres, c’est établir les principes généraux de l’activité humaine et en même temps les circonstances déterminées qui produisent cet effet. (Bain.)

2° Par composition «1e plusieurs lois successives.

— Dans certains cas, une loi empirique énonce, entre une cause et un effet, un rapport de succession que l’on croyait d’abord direct et immédiat, et qui se trouve n’être, en réalité, qu’un rapport indirect et médiat. Entre la cause et l’effet se place un chaînon intermédiaire. Expliquer, dans ce cas, la loi empirique, c’est la dériver des lois qui relient chacun de ses termes à cet intermédiaire. Ainsi cette loi, que la vibration d’un corps extérieur produit une sensation de son, se résout en ces deux lois, que la vibration d’un corps agit sur le nerf acoustique, et que le changement dans l’état du nerf acoustique produit une sensation de son. — Il se peut que ces lois soient elles-mêmes susceptibles d’être dérivées, de la même façon que la précédente, par la découverte de termes intermédiaires entre ceux dont elles énoncent la succession. Par exemple, entre l’ébranlement du nerf acoustique et la sensation du

1. Il est à remarquer, dit Mill, que cette déduction suppose la connaissance non seulement des lois des forces concourantes, mais aussi du l'ait de leur existence et môme de leur quantité relative ou coefficient. « Les lois de causation complexes se résolvent ainsi en deux espèces d’éléments distincts, à savoir : les lois de causation plus simples et les collocations ; par quoi il faut entendre l’existence de certains agents ou forces, en certaine quantité, dans certaines circonstances de lieu et de temps » ( Log ., 1. 1, p. 522). De môme, pour déduire l’ascension des ballons, le poids exact et l’élasticité de l’atmosphère, comme aussi la pesanteur spécifique de la masse du ballon, sont des données indispensables.

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES INDUCTIVES

son se place l’ébranlement du centre nerveux. Donc la loi qui lie l’ébranlement du nerf acoustique à la sensation se dérive elle-même des lois qui lient l’ébranlement du nerf à l’ébranlement du centre et l’ébranlement du centre à la sensation.

Dans les deux cas, les lois dérivées sont moins générales.— Dans ces deux premiers modes d’explication, les lois d’où se déduit une loi empirique sont plus générales et plus sûres que celle-ci. En voici les preuves et les raisons :

Dans le premier cas, c’est-à-dire lorsque la loi d’un effet de causes combinées résulte des lois de ces causes isolées, la loi de l’effet est moins générale que celle de l’une quelconque des causes, « puisqu’elle ne subsiste que lorsque ces causes sont combinées, tandis que la loi de chacune des causes se maintient, à la fois, et dans ce cas, et lorsque chaque cause agit à part. — Il est clair aussi que la loi complexe doit rester plus souvent inappliquée que les lois plus simples dont elle est le résultat, puisque tout accident qui annule l’une ou l’autre de ces lois supprime la part d’effet qui en dépend et par là annule la loi complexe. Ainsi la simple rouillure d’une petite partie d’une grande machine suffit souvent pour empêcher l’effet que produirait le jeu de toutes ses parties. La loi de l’effet d’une combinaison de causes est toujours soumise à la totalité des conditions négatives auxquelles est soumise l’action de toutes les causes séparément1. » (Mill.)

Cette vérité n’est pas moins évidente dans le second cas. La loi dérivée que A est suivi de C est moins générale que chacune des lois successives qui relient A à B et B à C.

<r En effet, la tendance de A à produire C peut être empêchée par tout ce qui peut empêcher soit la tendance de A à produire B, soit la tendance de B à produire C. Elle est donc deux fois plus exposée à manquer que chacune des deux tendances plus élémentaires. » Par exemple, la loi que la vibration d’un corps produit la sensation de son est moins générale que la loi de la production de la sensation de son par ébranlement du nerf acoustique, puisque non seulement ce qui empêche l’ébranlement du nerf de produire la sensation de son (par exemple la paralysie du centre nerveux affecté aux sensations acoustiques), mais encore tout ce qui

1. Mill signale une autre raison non moins forte. C’est que les mêmes causes, agissant suivant les mêmes lois, et ne différant que par leurs proportions dans la combinaison, produisent des effets qui ne diffèrent pas seulement en quantité mais en espèce. « Si la proportion des deux forces d’où dépend le mouvement des planètes était changée, les lois de ces forces restant les mêmes, le mouvement produit serait ou un cercle ou une parabole, ou une hyperbole. La loi de chacune des forces concourantes reste la même, quelques variations que puisse éprouver leur collocation ; mais la loi de leur effet d’ensemble varie avec les différences de collocation. » ( Log ., t. I, p. 526).

empêche la 'vibration du corps d’agir sur le nerf (par exemple, la distance) empêche la vibration du corps extérieur de produire la sensation.

3° Par subsoniption de plusieurs lois sous une seule. — Sous sa troisième forme, l’explication des lois consiste à dériver d’une loi plusieurs autres lois.

« C’est la subsomption ( subsumere ) d’une loi sous une autre ; ou, ce qui revient au même, l’agglomération de plusieurs lois en une seule, qui les renferme toutes. Le plus magnifique exemple de cette opération fut la réunion de la pesanteur terrestre et de la force centrale du système solaire sous la loi générale de la gravitation. Cette même loi explique en outre les mouvements des comètes, la précession des équinoxes, les marées, etc. » (Mill.)

« Nous avons assimilé et généralisé sous le mot de combustion les divers usages du feu employé pour produire soit la chaleur, soit la lumière, soit la décomposition ; nous avons assimilé dans une autre catégorie les phénomènes qui se produisent à la surface des métaux et qui les ternissent en les corrodant : ces deux lois une fois obtenues, nous les réduisons l’une et l’autre à une loi plus haute, l’oxydation. » (Bain.)

Dans tous les cas de ce dernier genre, il est évident de soi que la loi parle moyen de laquelle on explique à la fois plusieurs autres lois est plus générale qu’elles.

Résumé. — Tels sont les trois modes d’explication des lois de causalité. Le premier consiste à déduire une loi de lois multiples combinées; le second, à déduire une loi reliant deux termes éloignés l’un de l’autre dans la chaîne de causation, des lois qui relient chacun d’eux aux termes intermédiaires; le troisième, à déduire à la fois plusieurs lois d’une loi qui les enveloppe toutes. — Par les deux premiers modes d’explication, deux ou plusieurs lois sont employées à expliquer une loi unique; par le troisième, une loi unique est employée à en expliquer deux ou plusieurs. C’est surtout de ce dernier mode d’explication qu’on peut dire avec Mill :

« Chaque opération de ce genre nous rapproche d’un pas de la réponse à cette question, qui constitue le problème total de l’investigation de la nature, à savoir: quelles sont les suppositions, en moindre nombre possible, qui, étant admises, auraient pour résultat l’ordre de la nature tel qu’il existe ? Quelles sont les propositions générales les moins nombreuses possibles dont toutes les uniformités existant dans la nature pourraient être déduites? » ( Log ., 1. 1, p. 531.)

Ces déductions peuvent résulter d’inductions préalables.— Dans ces trois cas différents, il faut bien comprendre en

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES INDUCTIVES

quoi consiste précisément le rôle de la déduction. Ce n’est pas toujours par le moyen de la déduction que la science s’est faite: la déduction n’a pas toujours été, particulièrement dans les deux derniers cas, le moyen de découverte 4. Au contraire, c’est le plus souvent par le moyen de l’analyse, de l’induction, de la généralisation que l’on s’est élevé de lois moins générales à des lois plus générales. Mais, dès que, par ce moyen, des lois ont été réduites à d’autres lois, « les lois réduites peuvent être démonstrativement déduites des lois dans lesquelles elles se résolvent1 2». Les lois supérieures deviennent des prémisses, la loi inférieure une conclusion ; la science prend la forme de la démonstration et du syllogisme(cf. Taine, V Intel., t. U, p. 41 7).. L’analyse inductive a fourni les éléments de l’explication; ces éléments sont mis en œuvre, et l’explication est réalisée par la synthèse déductive.

Avantages résultant de la déduction des lois : explication, confirmation, limitation. — L’explication est le but le plus élevé de la science. La science fait donc un grand pas chaque lois qu’une loi simplement empirique devient, par le moyen de la déduction, une loi dérivée.

« Ainsi, cette loi, que le refroidissement provoque la rosée, ad’abordété établie indirectement. Mais on peut aussi l’établir déductivement en partant des lois, établies par Dalton, de la vapeur aqueuse diffuse dans l’air. Dalton a prouvé que la quantité d’eau qui peut rester suspendue dans l’air à l’état de vapeur est limitée pour chaque degré de température, et que le maximum diminue à mesure que la température s’abaisse. De là suit déductivement que, s’il y a dans l’air autant d’eau que lui permet d’en contenir sa température présente, tout abaissement de température portera une portion de la vapeur à se condenser et à se changer en eau. D’autre* part, des lois connues de la chaleur suit déductivement que le contact de l’air avec un corps plus froid abaisse la température de la couche d’air ambiante et par conséquent le force à abandonner une portion de son eau. Enfin des lois ordinaires de la gravitation ou cohésion il suit déductivement que cette eau s’attachera à la surface de corps, ce qui constituera la rosée. » (Taine, l'Intel.)

Par là, on le voit, la loi découverte par voie inductive est d’abord confirmée; — en second lieu, elle se trouve expliquée : auparavant elle était comme un fait brut qui s’impose; une fois dérivée déductivement, on en sait le comment et le pourquoi, on en possède la

1. On considérera dans le paragraphe suivant le rôle de la déduction comme agent de découverte.

2. Mill, Log.,t. I., p. 530. — Voyez plus bas le chapitre sur Y Analyse et la Synthèse.

théorie; — enfin un troisième avantage est obtenu par surcroît : l’explication déductive d’une loi empirique détermine avec 'précision la sphère d’application de cette loi en donnant la raison des exceptions apparentes.

« Ainsi la preuve déductive donnée ci-dessus de la loi de la rosée rend compte des exceptions, c’est-à-dire des cas où, le corps étant plus froid que l’air, il ne se dépose point de rosée. Cette preuve montre qu’il en sera nécessairement ainsi lorsque l’air contiendra si peu de vapeur d’eau que, malgré le refroidissement causé par le contact d’un corps froid, il sera encore capable de tenir en suspension toute celle qu’il renferme. C’est pourquoi, dans un été très sec, il n’y a pas de rosée, ni dans un hiver très sec de gelée blanche. »

« L’ascension de l’eau dans les pompes jusqu’à 32 pieds était, avant qu’on eût découvert la pression de l’atmosphère, une loi empirique. Depuis que cette loi est devenue une loi dérivée, la limitation de la loi a été définie avec précision : nous pouvons dire exactement dans quel cas la loi n’est pas vraie. Par exemple, nous savons que sur les hautes montagnes le maximum de hauteur sera au-dessous de 32 pieds ; que la hauteur ne sera pas la même dans tous les temps ; que d’autres liquides, comme l’acide sulfurique, le mercure, ne s’élèveraient pas à la même hauteur. » (Bain, Log., t. II, p. 160.)

Les lois qui concernent l’action des remèdes n’étant, pour la plupart, que de simples lois empiriques, il s’ensuit que les remèdes sont souvent employés à contretemps et manquent l’effet attendu (voy. Cl. Bernard, Intr. à V étude de la méd. exp , p. 359 sqq.).

Ainsi, par la déduction qui la dérive de principes supérieurs, une loi empirique se trouve à la fois confirmée , expliquée et déterminée dans sa portée.

§ III

La dédnctiou moyen de découverte. — La déduction n’est pas seulement un moyen de vérification de lois supposées, ou d’explication de lois déjà connues inductivement, elle est encore un moyen de découverte de lois jusqu’alors inconnues. Il va de soi d’ailleurs que les lois ainsi découvertes se trouvent du même coup expliquées. — On a déjà vu plus haut comment d’une loi encore hypothétique on peut déduire des faits ou des lois jusqu’alors inconnus et que l’expérience vérifie. Dans ce cas, un double résultat est obtenu : la déduction a conduit à une découverte, et la chose découverte elle-même sert de preuve à la loi d’où ellr se déduit.

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES INDUCTIVES. 169

Il faut ici distinguer deux cas, deux applications possibles de la déduction.

1° Extension d'une loi à des cas nouveaux, par analogie.— Le premier et le plus simple consiste à étendre une loi donnée à des cas nouveaux, en vertu d’une analogie reconnue entre ces cas et les cas auxquels les lois s’appliquent déjà.

« C’est pourquoi, dès qu’une loi vient à être découverte, il importe d’examiner tous les cas qui présentent les conditions nécessaires du fonctionnement de la loi. Ce procédé est fécond tant en explications de lois déjà connues empiriquement qu’en découvertes de lois inconnues.

c II a été prouvé, surtout par les recherches de Graham, que les gaz ont une forte tendance à traverser les membranes animales et à se répandre dans les cavités closes par ces membranes, malgré la présence d’autres gaz dans ces cavités. Partant de cette loi générale et examinant les cas où des gaz se trouvent en contiguïté avec des membranes, on est en mesure de démontrer les lois plus spéciales suivantes : 1° Lorsque le corps de l’homme ou d’un animal est en contact avec un gaz qu’il ne contient pas intérieurement, il l’absorbe rapidement: par exemple, les gaz et matières putrides ; — 2° Le gaz acide carbonique de boissons fermentées développé dans l’estomac traverse ses membranes et se répand rapidement dans tout le système, etc. » (Voyez Mill, Log., t. I, p. 538; cf. Bain, Log ., t. II, p. 146.)

2° Extension d’une loi à des cas nouveaux, par dépendance de variations. — Dans ce premier cas, c’est la reconnaissance d’une analogie entre deux espèces de cas qui est le principe de l’extension déductive1; dans le suivant, c’est la reconnaissance d’une liaison , d’une concomitance des variations , dans deux ordres de phénomènes. Si, en effet, les phénomènes d’un certain ordre sont assujettis à varier régulièrement avec des phénomènes d’un autre ordre, toute loi découverte dans celui-ci entraîne pour celui-là une application parallèle. C’est par là que certaines découvertes rendent presque entièrement déductives les méthodes de certaines sciences, ou parties de sciences, qui jusqu’alors étaient restées expérimentales.

« Ainsi l’acoustique, longtemps restée expérimentale, devint déductive lorsqu’il fut prouvé que chaque variété de son correspondait à une variété distincte de mouvement oscillatoire des particules d’un milieu élastique.

« Dès lors, des vérités jusqu’alors non soupçonnées relativement au son deviennent déductivement démontrables par les lois connues de la propagation du mouvement dans un milieu élastique, d (Mill, Log., t. I, liv. II, ch. iv, p. 252.)

1. Cette déduction est précisément ce qu’on nomme ana]»gie (voyez plus bas le chapitre sur V Analogie).

Application des mathématiques à la physique, de l’algèbre à la géométrie. — Mais le grand agent pour la transformation des sciences expérimentales en sciences déductives est la science des nombres.... Les vérités mathématiques ne se rapportent, il est vrai, qu’à la quantité . Mais, si l’on vient à découvrir que des variations de qualité dans une classe de phénomènes correspondent régulièrement à des variations de quantité, soit dans ces mêmes phénomènes, soit dans d’autres, toute formule mathématique applicable aux quantités qui varient sous ce rapport particulier devient la marque d’une vérité générale correspondante, relative aux variations en qualité qui les accompagnent ; et, la science de la quantité étant complètement déductive, la théorie de cette espèce particulière de qualité devient déductive aussi.

« L’exemple le plus frappant que nous offre en ceci l’histoire (bien qu’il ne s’agisse pas d’une science expérimentale rendue déductive, mais d’une extension extraordinaire donnée au procédé déductif dans une science déjà déductive) est la révolution de la géométrie opérée par Descartes.... Descartes remarqua que, à chaque variation de position dans les points, la direction des lignes ou la forme des courbes et des surlaces (toutes choses qui sont des qualités), correspond un rapport particulier de quantité entre deux ou trois coordonnées rectilignes (rapport susceptible d’être exprimé algébriquement) ; de telle sorte que, si la loi suivant laquelle ces coordonnées varient entre elles était connue, les autres propriétés géométriques de la ligne ou de la surface, soit de qualité, soit de quantité, pourraient en être conclues. Il suivait de là que toute question géométrique pouvait être résolue , si la question algébrique correspondante pouvait l’être, et la géométrie reçut un surcroît actuel ou virtuel de vérités nouvelles, correspondant à toutes les propriétés des nombres qüe le perfectionnement du calcul a fait ou pourra faire découvrir1. »

1. « Par cette invention, dit M. Renouvier, tous les problèmes relatifs aux quantités dans l’espace (figures) peuvent se traiter et se poser de telle manière que les lois à découvrir se présentent sous la forme de lois de la quantité la plus abstraite, de lois de nombres.... La quantité géométrique est réduite au nombre.... En résolvant, comme l’a dit A. Comte, « la difficulté de réduire à « des idées simplement numériques les éléments généraux des diverses notions • géométriques, en un mot de substituer en géométrie de pures considérations « de quantité à toutes les considérations de qualité », Descartes a constitué en somme la fonction de mathématique abstraite, apte à représenter toutes les relations concrètes de l’univers susceptibles de se traduire en rapport de quantités mutuellement dépendantes. Or c’est là certainement la vue la plus profonde et la plus générale du cosmos matériel à laquelle l’esprit humain soit parvenu depuis le siècle de Pythagore, et cette fois entièrement positive. » (Renouvier, Crit. phil., 10 avril 1882.) — M. Renouvier fait remarquer justement que si par l’invention de Descartes les lignes sont ramenées à des nombres, et les rapports des lignes à des équations, c’est-à-dire si la géométrie est ramenée à l’algèbre, de même, réciproquement, on peut envisager les données et les inconnues, les constantes et les variables comme des lignes droites, et jes équations

LA DÉDUCTION DANS LES SCIENCES INDUCTIVES

C’est de la même manière que la mécanique, l’astronomie, etc., ont été rendues algébriques. Mundum regunt numeri : la quantité est en tout, et, dans l’état actuel de nos connaissances, nous sommes fondés à concevoir que les variations qualitatives ont leur fondement dans des variations quantitatives dont elles dépendent. C’est pourquoi, partout où il sera possible de saisir et d’exprimer numériquement les rapports de quantité 4, la science de la qualité deviendra déductive. (Voyez Cournot, Essai , t. I, p. 415 sqq.)

Procédé de l’esprit î la substitutioii. — On voit quel est en tout ceci le procédé de l’esprit. Il se propose de connaître un objet obscur ou insaisissable : vient-il à découvrir un rapport constant entre cet objet et un autre plus simple ou mieux à sa portée, celui-ci devient pour l’esprit comme la marque, le signe, le symbole du précédent. La difficulté est déplacée, le signe est substitué à la chose signifiée. C’est sur lui que l’esprit opère. Puis, l’opération arrivée à terme, et un résultat étant obtenu, l’esprit revient à son premier objet, et il y trouve une vérité équivalente, traduction concrète de celle qu’il vient de découvrir dans l’abstrait2.

On voit par ces considérations comment la déduction peut être un moyen de découverte. Par cette substitution au problème à résoudre d’un problème plus simple qui, étant résolu, donne la solution du premier, la méthode déductive devance souvent la méthode inductive.

La déduction connue suppléant de l’induction. —

Reste à parler d’un cas particulier où la méthode déductive supplée heureusement la méthode inductive réduite à une complète impuis-

mêmes comme des courbes : en ce sens on pourrait dire que l’algèbre se trouve ramenée à la géométrie. De là vient qu’on parle de l’invention de Descartes tantôt comme d’une application de l’algèbre à la géométrie, tantôt comme d’une application de la géométrie à l’algèbre (voyez Liard, Descartes , p. il sqq.). « Descartes, dit aussi M. Cournot (Essai, t. I, p. 421), ne se contentait pas d’appliquer l’algèbre à la géométrie, il appliquait réciproquement l’une à l’autre ces deux grandes théories mathématiques. » En somme, le vrai sens de cette invention, qui permet soit de saisir une courbe dans une équation, soit de lire une équation dans une courbe, c’est la réduction des diverses parties des mathématiques à l’unité de la mathématique universelle.

1. Ce n’est pas toujours possible : par exemple, lorsqu’il s’agit de la quantité des phénomènes psychologiques, sensations, désirs, etc. L’école des psychophysiciens travaille pourtant dans cette voie.

2. Nous avons déjà vu que tel est aussi le procédé de l’esprit dans le raisonnement en général. Au lieu d’opérer sur les choses mêmes, dont la complexité et la mobilité sont infinies, l’esprit opère sur des concepts simples et fixes qui les représentent. Si les concepts sont exacts et complets, la conclusion logique se trouve ensuite vérifiée dans le réel. La logique est aux choses ce que l’algèbre est à la géométrie. « La logique, a dit M. Brochard, est la mathématique de la qualité. » (Voyez ch. v.)

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sance. C’est le cas de la composition des causes et du mélange des effets, qui en résulte.

Du mélange des effets : impuissance des méthodes inductives. — On dit qu’il y a composition des causes ou combinaison des effets lorsque plusieurs causes, agissant ensemble, combinent leur action de telle sorte qu’elles donnent lieu à un eflet total unique, homogène, indivisible, dans lequel, par conséquent, l’effet particulier de chacune des causes concourantes reste indiscernable. La composition des causes et la fusion des effets n’a pas lieu nécessairement chaque fois que plusieurs causes concourent ensemble. Il est bien vrai que, le plus ordinairement, ce que nous appelons cause (soit A) est un groupe de causes ( a , b , c, d), et ce que nous appelons effet (soit H) un groupe d’effets (h, i,j, k). Mais d’ordinaire une étude plus attentive discerne dans cet effet, simpl en apparence, cette pluralité d’effets distincts ; et les méthodes inductives permettent de rattacher chacun de ces effets partiels aux diverses causes partielles impliquées dans la cause totale. C’est ce qui a lieu, par exemple, pour l’explication de la rosée. De même dans l’air, qui paraît d’abord quelque chose de simple, il est assez facile de discerner deux éléments composants ; et dans l’eau également, quoique ici l’union des éléments soit plus intime.

Sans doute, ce discernement ne se fait pas à la simple vue ; l’observation pure et simple n’y suffit pas, et, pour y réussir, l’emploi de procédés savants d’expérience et d’analyse est indispensable. Mais la difficulté tient ici plutôt à l’imperfection de nos moyens d’observation qu’à la nature des choses ; car il n’est pas douteux qu’avec des sens plus subtils il nous fût possible de discerner à la simple vue dans l’air et dans l’eau la présence actuelle de leurs éléments composants.

Au contraire, dans les cas dont nous voulons parler, l’union des causes concourantes est telle qu’aucune observation, aucune analyse, si pénétrante qu’on la suppose, ne réussirait à saisir dans l’effet donné une pluralité d’effets. L’effet, quoique produit par plusieurs causes diverses ou même opposées, est zm, d’une unité absolue. Tel est le cas pour la plupart des phénomènes mécaniques. Un corps est soumis à l’action de deux forces : si la première agissait seule, elle le pousserait dans un sens avec une certaine vitesse. Si la seconde agissait seule, elle le pousserait dans un autre sens avec une autre vitesse. Ces deux forces agissant simultanément, le corps se meut dans une direction déterminée, avec une

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vitesse déterminée. Aucun œil ne peut évidemment saisir dans cette direction deux autres directions différentes, dans cette vitesse deux autres vitesses différentes : car un mobile n’a jamais qu’une vitesse et qu’une direction. — Pareillement, lorsqu’un corps est tenu en équilibre par deux forces égales et contraires, le résultat est le même sans doute que s’il avait été d’abord porté vers l’est aussi loin que l’une des forces, en agissant seule, l’y aurait porté, et ensuite ramené vers l’ouest aussi loin que l’aurait porté l’autre force ; mais, en réalité, aucun de ces mouvements n’est réalisé, et aucune observation ne peut les saisir dans l’état d’équilibre et de repos où le corps est maintenu. Car le repos, qui peut équivaloir comme résultat à deux mouvements contraires, n’est pas la même chose que ces deux mouvements contraires; il ne les renferme point en soi et on ne saurait les y découvrir. — Dans des cas de ce genre, les méthodes expérimentales sont manifestement inapplicables. Il s’agit ici d’aller de l’effet aux causes. Mais, par hypothèse, si les causes sont multiples, l’effet est un. Comment donc déterminer cette diversité de causes en partant d’un effet où toute diversité s’efface?

« Ni la méthode ordinaire des concordances ou des différences, dit M. Taine (l’Intel., t. II, p. 321), ni la méthode accessoire des résidus ou des variations concomitantes, qui toutes sont décomposantes et éliminatives, ne peuvent servir pour un cas qui, par nature, se refuse à toute élimination et à toute décomposition. Il faut donc tourner l’obstacle. »

Recours au procédé déductif. — C’est ce qu’on fait en ayant recours à la méthode déductive et synthétique de composition ou de construction. La question posée était: Quelles causes sont engagées dans tel effet donné? On y 'substitue celle-ci : Quelle combinaison de causes, si elle existait, produirait un effet semblable à l’effet donné?

Dans l’emploi de cette méthode, on peut distinguer trois moments (Mill, Log ., t. I, p. 510): 1° une induction préalable ; 2° la déduction proprement dite; 3° une vérification.

1° Induction préalable. — Tout d’abord, les lois particulières des différentes causes que l’on va composer doi vent être préalablement déterminées, afin qu’on puisse déduire de ces lois l’effet de leur action commune. Elles ont dû être déterminées inductivement. Pour y parvenir, on a dû étudier les cas où chacune de ces causes agit séparément, ou tout au moins les cas où chacune de ces causes agit concurremment avec d’autres causes dont l’effet est

déjà connu, et qui ne se composent pas avec elle. L’effet à déterminer peut être alors obtenu comme résidu de l’effet total, par défalcation des effets des autres causes concourantes. — C’est seulement lorsqu’on a ainsi comme prémisses les lois1 des forces concourantes que l’on peut en déduire la résultante commune.

2° Déduction mathématique. — Ce premier pas accompli, intervient la déduction proprement dite, « qui consiste à déterminer, d’après les lois de chaque cause, quel sera l’effet produit par une combinaison donnée de ces causes». Le plus souvent cette opération implique l’emploi du calcul. Et l’emploi du calcul suppose lui-même que les lois aient pu être déterminées avec une précision numérique. Dès lors, le résultat de l’action de ces causes est calculé, comme on l’a expliqué plus haut, à l’aide des théorèmes de la science des nombres. Ainsi, les lois de la puissance de projection, de la pesanteur et de la résistance de l’air ayant été déterminées par voie inductive avec une rigueur numérique, on en déduit mathématiquement le trajet d’un projectile soumis simultanément à cette triple influence. De même façon, nous déterminons les marées par l’action combinée du soleil et de la lune2 (Bain, Log., t. II, p. 149).

Comme on voit, c’est encore ici par substitution que nous procédons.

« Un effet donné devant être expliqué, nous quittons l’effet, dit très bien M. Taine (l’Intel., t. I, p. 321), nous nous reportons à côté de lui, nous en étudions d’autres plus simples ; nous examinons divers effets ou conséquents analogues, nous lions chacun d’eux à sa cause ou antécédent par les procédés de l’induction ordinaire ; puis nous faisons une construction. Nous assemblons mentalement plusieurs de ces antécédents ou causes, et nous concluons d’après leurs conséquents, ou effets connus, quel doit être leur conséquent ou effet total. »

3° Vérification. — Reste la vérification. Qu’est-ce qui nous garantit que, dans notre construction à priori , nous avons rassemblé les vraies causes de l’effet en question ? — C’est la comparai-

1. Il se peut aussi qu’elles soient supposées par hypothèse. L’hypothèse qui nécessairement sert ici de point de départ à la déduction peut porter soit sur la présence, dans le cas qu’il s’agit d’expliquer, d'une cause dont on connaît la loi ; soit sur la loi inconnue d’une cause donnée ; soit même sur les deux ensemble, la cause et sa loi. (Voyez le chapitre sur VHijpothèse.)

2. Cette déduction présente souvent les plus grandes difficultés. Dans la théorie des projectiles c’est un des problèmes mathématiques les plus difficiles de combiner les causes qui influencent la vitesse et la portée d’un boulet de canon de manière à préciser l’effet résultant de leur action collective. •

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son des conclusions obtenues déductivement et des faits ; c’est la confrontation de l’effet prédit et de l’effet donné. « Ainsi les expériences d’artillerie sont la vérification de la théorie des projectiles » (Bain).

A la vérité, même après cette vérification, la théorie n’est encore qu’une hypothèse; « mais elle sera d’autant plus probable que le conséquent total, étant plus complexe et plus multiple, limitera davantage le nombre des hypothèses capables d’en rendre compte » (Taine. — Cf. le chapitre sur Y Hypothèse).

Il faut remarquer d’ailleurs que la vérification, qui est fournie le plus ordinairement par la constatation de faits particuliers, acquiert une valeur bien plus grande lorsqu’elle est fournie par l’accord de la théorie avec des lois empiriques, dont chacune représente, sous une expression générale, une multitude de faits particuliers. Ainsi, non seulement la théorie newtonienne des mouvements célestes permet de prévoir, pour tout instant, la position des planètes, mais elle conduit déductivement aux lois de Kepler, qui sont comme la formule générale de toutes les positions occupées par les planètes.

« C’est à la méthode déductive ainsi définie dans ses trois parties constituantes, l’induction1, le raisonnement et la vérification, que l’esprit de l’homme doit ses plus éclatants triomphes dans l’investigation de la nature. Nous lui devons toutes les théories qui rassemblent des phénomènes nombreux et compliqués sous quelques lois simples2. » (Mill, Log., 1. 1, p. 520.)