DÉMONSTRATION

Origine des notions des nombres et des ligures. —

Les sciences mathématiques diffèrent des sciences physiques par deux endroits : 1° par leur objet, qui est idéal et non pas réel ; 2° par leur méthode, qui est démonstrative et non pas expérimentale.

Les sciences mathématiques ont pour objet ou pour matière les nombres et les figures. Comment cette matière leur est-elle fournie?— Si nous laissons de côté l’hypothèse de l’innéité, qui, sur ce point, ne mérite pas d’être discutée, trois opinions sont possibles sur ce sujet : 1° la matière des sciences mathématiques est une donnée sensible ; — 2° elle est extraite, par abstraction, des données sensibles; — 3° elle est une création de l’esprit.

Nombres : 1° Sout-ils des données sensibles ? — Les nombres, matière de l’arithmétique, sont-i ls des données immédiates de l’expérience?

Certains nombres ne le sont pas. — Tout d’abord on peut remarquer que nous opérons souvent en arithmétique sur des nombres qu’aucune expérience ne nous a jamais présentés. Nous parlons de billions, de trillions, etc.: aucune expérience sensible de tels nombres n’est possible; car, de tels groupes d’objets fussent-ils sous nos yeux, nos yeux ne sauraient aucunement en saisir le nombre. Pour cela, tout au moins faudrait-il, en effet, avoir simultanément une impression distincte de chacun d’eux. Or le sens ne peut recevoir simultanément qu’un fort petit nombre d’impressions distinctes. Pour la perception sensible, il n’y a pas de différence appréciable entre un groupe de vingt objets et un groupe de vingt

et un objets. A plus forte raison, les groupes d’objets plus nombreux ne peuvent-ils dévoiler aux sens quel nombre ils renferment.

De plus, nous avons une idée de la croissance illimitée du nombre ; nous concevons que la série des nombres est indéfinie. Or l’expérience n’a pu nous fournir qu’une série finie de nombres finis.

De là résulte tout au moins que certains des nombres sur lesquels nous opérons en arithmétique ne sont pas de simples données

sensibles.

Aucun ne l’est. — Allons plus loin maintenant : aucun nombre n’est proprement une donnée sensible, et le nombre est, dans tous les cas, une création de l’esprit. La couleur, la forme même sont, en un sens, des propriétés des choses, qui leur sont inhé rentes, qui font partie de leur compréhension. C’est pourquoi, pour en avoir l’idée, il suffit d’ouvrir les yeux et de recevoir l’impression des objets. Mais le nombre n’est pas une propriété intrinsèque des choses comme la forme et la couleur. A vrai dire, en dehors de nous le nombre n’est rien : car tout dans la Nature est individuel et singulier. C’est pourquoi il n’y a pas d’impression de nombre. On peut regarder avec la plus grande attention un groupe d’objets: on ne verra pas proprement leur nombre. Le nombre ne peut pas plus se voir, qu’il ne se touche ou ne s’entend.

Si la simple projection d’une pluralité d’objets sur la rétine et dans la conscience est déjà l’idée de leur nombre, qu’on parcoure d’un coup d’œil la voûte étoilée, puis qu’on essaye de dire le nombre d’étoiles qu’on a aperçues. — Si la simple perception est l’idée du nombre, pourquoi l’animal qui perçoit lès objets comme nous, qui connaît comme nous leur couleur, leur forme, etc., n’a-t-il pas l’idée de leur nombre? Pourquoi l’idiot ne l’a-t-il pas davantage? Pourquoi certains sauvages n’ont-ils l’idée que des premiers nombres? Donc, en réalité, l’expérience sensible ne donne pas le nombre tout fait, mais elle donne seulement une pluralité qui nous sert de matière et d’occasion pour former le nombre.

2° Ils 11e sont pas obtenus par abstraction. — Mais s’il est ainsi vrai que le nombre n’est pas tout formé dans les données sensibles, s’il n’y est pas inclus, il en résulte qu’on ne saurait non plus obtenir le nombre par voie de simple abstraction, comme l’expression usitée de nombres abstraits tendrait à le faire croire. En effet, l’abstraction ne dégage de l’expérience que ce que l’expérience enfermait en soi. C’est pourquoi, pour apprendre aux

enfants ce que c’est que cinq , par exemple, on ne leur dit ni de regarder attentivement leurs doigts pour que le nombre cinq leur entre dans les yeux, ni de faire abstraction des caractères sensibles de leurs doigts pour obtenir le nombre cinq comme reste, mais on leur fait former le nombre cinq en leur faisant lever ou baisser successivement chacun des doigts de la main. Il n’y a de nombre que pour qui sait nombrer. Tout nombre est une construction de l’esprit.

figures : 1° 11 en est qui ne sont pas des données sensibles. — Quant aux figures, on peut de même faire d’abord remarquer que la géométrie opère sur des figures dont l’expérience ne nous offre aucun exemple. Nul n’a vu de ses yeux des chiliogones, des lignes asymptotes, etc. Pourtant la géométrie détermine les propriétés de ces figures. Donc, dans certains cas tout au moins, en géométrie, l’esprit doit créer pour lui-même les objets de la science.

Certaines le sont. — Mais, dira-t-on, il est tout au irioins certaines figures dont l’expérience nous présente des exemples : nous voyons dans la Nature des lignes droites, des cercles, etc. — Il est vrai, et il faut ici reconnaître une différence entre les nombres, objet de l’arithmétique, et les figures, objet de la géométrie. Aucun nombre n’est jamais une donnée immédiate de l’expérience. C’est pourquoi un animal n’a sans doute aucune idée expresse d’aucun nombre ; mais un animal qui regarde le soleil ou la lune dans son plein a une représentation concrète, sinon l’idée abstraite de la forme circulaire.

Hais n'ont pas le caractère voulu d’abstraction. —

Mais, ceci reconnu, il faut reconnaître aussi que les figures dont nous voyons dans la Nature des réalisations concrètes n’ont pas les caractères de celles dont la géométrie détermine les propriétés.

« Il y a infiniment loin, dit un mathématicien (M. Boussinesq, Rev. phil., 1879, t. VIII, p. 359), des résultats incomplets et grossiers de l’expérience aux données de l’intuition géométrique une fois exercée, qui se présentent à nous avec des caractères de simplicité, de précision, de généralité que la Nature physique ne comporte guère et que certainement nous n’y avons pas vus.... Ces données consistent: 1° dans la notion de points sans étendue ; dans celle de droites sans largeur , ni épaisseur ,mais indéfiniment divisibles en longueur, qui joignent ces points deux

deux ; 2° dans l’idée d’angles divisibles aussi indéfiniment , espaces plans, illimités d’un côté, qui relient deux droites issues d’un même point; 3° dans l’idée de lignes courbes qui, bien que n’étant pas réduc-

tibles à des droites, le deviennent, comme on dit, à l’infini, grâce à une certaine vue transcendante de la raison, vue sans laquelle, d’après le mot de Pascal, on n’est pas géomètre, etc. Voilà pourquoi la tournure d’esprit du mathématicien et celle du physicien sont si différentes, et pourquoi leur langage, leur manière de voir se trouvent en opposition au moins apparente, »

L’abstraction pourrait le leur donner. — Mais ne

pourra-t-on obtenir, par le moyen de l’abstraction, des figures telles que la géométrie les suppose? Il n’est point sans doute dans la réalité de lignes sans largeur, de surfaces sans épaisseur; mais rien n’empêche de faire abstraction par la pensée de la largeur des lignes et de l’épaisseur des surfaces. Du moment qu’on admet que ces figures sont incluses dans les données concrètes de l’expérience, l’abstraction doit suffire à les dégager dans leur pureté.

2° niais l’abstraction ne peut leur donner la perfection qui leur manque. — Cela est vrai, mais, par malheur, les figures concrètes réalisées dans la Nature ont un autre défaut auquel on ne peut si aisément remédier. Elles n’ont pas Y exactitude ou la perfection que la géométrie est tenue de leur attribuer.

« Si le cercle, dit d’Alembert (Élém. de phil., XV), n’est pas supposé rigoureux, il faudra autant de théorèmes différents sur le cercle, qu’on imaginera de figures différentes plus ou moins approchantes du cercle parfait.... De même il est nécessaire de supposer des lignes parfaitement droites, ou parfaitement courbes, des surfaces parfaitement planes ou curvilignes pour arriver à des vérités fixes et déterminées dont on puisse faire ensuite l’application plus ou moins exacte aux vérités physiques. »

Or on ne saurait ici recourir à l’abstraction, car l’abstraction, qui a pour fonction d’exclure certaines données d’un tout d’expérience, est incapable de rien ajouter aux données de l’expérience. L’abstraction peut donc bien éliminer de la représentation d’une ligne, par exemple, la représentation de l’épaisseur qui y est jointe; mais l’abstraction ne peut pas donner à cette ligne la rectitude qu’elle n’a pas. — Pour corriger une irrégularité, il ne faudrait pas seulement faire abstraction de cette irrégularité même, mais encore substituer une portion exacte de figure à la portion inexacte qu’on aurait enlevée : c’est ce dont l’abstraction est par elle-même incapable. La correction d’une figure est une œuvre de reconstruction pour

laquelle la Nature ne nous fournit pas de modèle, mais nous sert seulement d’occasion et de stimulant1.

Résumé. — Donc, en résumé, les nombres ne sont jamais ni des données de l’expérience, ni des produits de l’abstraction ; les figures ne sont pour la plupart ni des données de l’expérience, ni des données de l’abstraction, et en aucun cas elles ne sont données par l’expérience ou obtenues par la simple abstraction à l’état de perfection requis pour la science.

2° Une telle origine des nombres et figures rendrait la démonstration impossible. — On peut aller plus loin : supposons que les nombres et les figures soient donnés tout faits dans l’expérience, et que le travail de l’esprit se borne à les dégager par abstraction de la matière concrète où ils se trouvent inclus : de tels nombres et de telles figures, tant que nous ne les aurons pas nous-mêmes dissous en leurs éléments, puis reconstruits par la pensée, sont radicalement impropres à servir de matière aux sciences mathématiques. En effet, opérant sur des nombres et des figures tout faits, que nous ne saurons ni défaire ni refaire, qui par suite seront pour nous irréductibles, nous ne pourrons procéder à la détermination de leurs propriétés que par voie de constatation expérimentale; par exemple, en comparant, les impressions produites par le nombre 5 et par les nombres 3 et 2, en mesurant des angles au rapporteur, etc. Une telle méthode transforme les mathématiques en sciences physiques et naturelles. — Gomme on le verra tout à l’heure, les sciences mathématiques, en tant que distinctes des sciences physiques et naturelles, procèdent par démonstration , et non par constatation. Or la démonstration se fait par le moyen de la décomposition et de la recomposition des nombres et des figures. Elle suppose donc que les nombres et les figures soient pour nous réductibles à leurs éléments composants ou à leurs parties constituantes. Elle suppose, en d’autres termes, que nous savons avec

1. On peut dire, il est vrai, que dans certains cas la Nature réalise des figures qui pour nous sont d’une perfection vraiment idéale. Sans doute aucune figure réelle n’est véritablement parfaite ; mais, vu la grossièreté de nos sens, nous ne remarquons pas, nous ne pouvons pas même en apercevoir les imperfections. Ainsi, dans un cercle rigoureusement tracé avec un compas, nous ne saisissons aucune irrégularité. Fût-il tracé sur un plan idéal par le souverain géomètre, il ne nous semblerait pas plus parfait. De même certaines lignes sont pour nous parfaitement droites, etc Lorsque les imperfections des figures ne sont pas trop grossières, elles s’éliminent naturellement; nous n’avons pas besoin d’en faire abstraction, elles s’abstraient d’elles-mêmes en échappant à nos sens. — Mais on va voir que de pareilles figures, données ainsi toutes faites, ne peuvent servir à la démonstration.

quoi et comment se construisent les nombres et les figures. Par conséquent, l’expérience nous donnât-elle les nombres et les figures tout faits, nous n’en serions pas moins tenus, pour pouvoir en démontrer les propriétés, de procéder à la reconstruction idéale de tous les nombres et de toutes les figures.

Donc en fait et en droit les nombres et les figures sont et doivent être des créations de l’esprit.

Création des nombres par l’esprit. Élément: l’unité.

— De quoi et comment sont-ils créés ?

Les notions des nombres supposent comme élément la notion d’unité; et la notion d’unité, telle que l’entendent les mathématiciens, implique elle-même la notion de pluralité et en est extraite. Soit une pluralité d’objets quelconques de même espèce : chacun de ces objets, considéré à titre d’élément ou de facteur de cette pluralité, est une unité. L’unité mathématique ne désigne donc pas nécessairement, comme l’unité métaphysique, quelque chose de simple et d’indivisible : c’est proprement Vidée d’un rapport, à savoir : du rapport d’un objet faisant partie d’une multitude avec cette multitude même. Des objets quels qu’ils soient pouvant affecter un semblable rapport, des objets quels qu’ils soient peuvent nous servir de matière pour former l’idée d’unité. Un arbre dans une forêt peut être pris comme unité, aussi bien qu’un point mathématique par rapport à une pluralité de points1.

Opérations. — Le nombre, qu’il faut bien distinguer de la simple multitude non évaluée, est défini par Euclide une collection d'unités ; et par Newton, l’expression du rapport d'une quantité à une autre quantité de la même espèce que l'on prend pour unité : par exemple, le rapport d’une ligne droite prise comme unité à une autre ligne droite est un nombre. — Les deux définitions sont justes et doivent être réunies. La définition de Newton indique bien ce que le nombre exprime, son origine mathématique. Il est très vrai que le nombre exprime une quotité et résulte d’une comparaison de grandeurs de même espèce, c’est-à-dire d’une mesure . En ce sens, on peut dire que, de même que l’idée de l’unité résulte du rapport d’une quantité à une pluralité d’autres quantités de même espèce, réciproquement le nombre exprime le rapport de

1. L’unité mathématique implique si peu l’indivisibilité métaphysique qu’on peut fort bien prendre pour unité une pluralité que l’on sait telle. Ainsi un bataillon peut, aussi bien qu’un soldat, être considéré comme une unité. L’unité mathématique n’est qu’un point de vue de l’esprit, une dénomination extrinsèque.

cette pluralité à cette unité. — D’autre part la définition d’Euclide indique le mode de formation du nombre et son origine psychologique : à savoir cette opération originale qu’on nomme addition. Pour former un nombre, il ne suffit pas en effet d’appliquer, par exemple, un mètre contre un mur, et de dire un 1 chaque fois qu’une nouvelle partie du mur est recouverte par le mètre ; on n’aurait encore après cela que les éléments du nombre et non pas le nombre. Il faut en outre que ces éléments séparés soient collectionnés, de façon à former un seul tout, une notion unique ; et pour cela il faut que ces éléments soient additionnés par la pensée.

L’addition est une opération indéfinissable. On peut dire seulement les conditions qu’elle implique. La première de ces conditions c’est la mémoire , grâce à laquelle l’idée de l’unité, origine ou point de départ du nombre, et celle des unités successivement ajoutées à la première restent constamment présentes à l’esprit: faute de quoi, on serait toujours réduit à l’unité. — La seconde, c’est un mouvement continu de l'esprit qui, à l’unité d’où l’on part ou au total déjà formé, ajoute successivement des unités nouvelles.

Création des figures s éléments. — Pour la formation des figures, trois éléments sont indispensables : 1° l’idée de l’espace; — 2° l’idée du point, qui n’est que l’idée de l’unité absolue ou indivisible imaginée dans l’espace2; — 3° le mouvement. En effet, avec l’espace et le point, comment former les différentes figures géométriques, et tout d’abord une simple ligne ? Dira-t-on que la ligne est constituée par une pluralité de points juxtaposés dans l’espace ? Il n’en est pas ainsi, car, pour former une ligne, il faut que ces points soient reliés entre eux et forment un tout continu. N’est-il pas absurde d’ailleurs de concevoir une ligne étendue comme formée de points supposés inétendus? Un troisième élé-

1. On peut distinguer deux sortes d’unité en mathématiques : l’unité de mesure, qui sert à former le nombre, et l’unité qui exprime le résultat de la mesure lorsque la quantité mesurée se trouve égale à l’unité de mesure. Ainsi, lorsqu'on dit : « Cette table a 1 mètre », le mètre est l’unité, et l’unité est aussi l’expression de la mesure. Dans le premier sens, l’unité est l’instrument ou moyen du nombre; dans le second sens, l’unité elle-même est un nombre.

2. Cette idée du point, qui n’est qu’une convention ou hypothèse, — car on peut se demander s’il n’est pas contradictoire de concevoir une chose dans l’espace, et de la concevoir en même temps comme indivisible ou inétendue, — nous est probablement suggérée par le minimum visibile. Il n’y a pas sans doute de points réels dans la Nature, mais pour l’œil il y a des impressions qui ont l’apparence de points. Les étoiles fixes, par exemple, n’ont pour l’œil aucun diamètre apparent, elles sont quelque chose de visible et en apparence d’indivisible ; elles pourraient donc suffire à nous suggérer l’idée du point mathématique.

ment est donc nécessaire : le mouvement. Le mouvement est à la fois un et multiple. Il est un, puisque tout mouvement, tant qu’il dure, est continu. Il est multiple, puisqu’il se déploie dans la diversité de l’espace.

Opérations. — Avec l’espace, le point et le mouvement, nous avons tout ce qui est nécessaire pour engendrer la ligne : la ligne c’est le tracé idéal ou imaginaire d’un point en mouvement dans l’espace. Telle est justement la définition profonde qu’en donne Leibniz : lineam fluxu puncti fieri dicimus, quoniam in hoc puncti vestigio diversœ positiones conjunguntur .

c Soient deux points : si le premier se meut, pendant une fraction appréciable de son mouvement vers le second et vers le second seulement, la ligne qu’il décrit est droite. — S’il se meut pendant une fraction appréciable de son mouvement vers le second point et ensuite, pendant une autre fraction appréciable, vers un troisième, un quatrième, etc., la ligne qu’il décrit est brisée ou composée de droites distinctes. Si à chaque instant de son mouvement il se meut vers un point différent, la ligne qu’il décrit est courbe. Voilà pour les différentes espèces de lignes. — A présent, si deux droites parties du même point vont chacune vers un point différent, elles s’écartent l’une de l’autre, et cet écartement plus ou moins grand s’appelle un angle.... —Avec des droites qui se coupent deux à deux en formant certains angles, on construit tous les triangles, tous les quadrilatères et en général tous les polygones. — Si on impose à une courbe l’obligation d’avoir tous ses points à égale distance d’un autre point intérieur, on a la circonférence. » (Taine, l'Int., t. II, p. 274.) — « La surface plane ou plan (Duhamel, Méth. dans les sc. de raisonnement, 2e part., p. 12) est engendrée par une droite perpendiculaire à une autre, et tournant autour d’elle en passant toujours par un même de ses points. » Avec des plans terminés par certains polygones et formant certains angles par leur inclinaison l’un sur l’autre, on construit tous les polyèdres. — Avec la révolution du demi-cercle autour de son diamètre, du rectangle autour d’un de ses côtés, du triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit, nous fabriquons la sphère, le cylindre, le cône ; avec des sections du cône, l’ellipse, la parabole et l’hyperbole ; avec des combinaisons diverses des éléments primitifs et de ces premiers composés, toutes les espèces possibles de lignes, de surfaces et de solides1.

Métkode des sciences mathématiques. — Les sciences mathématiques se distinguent en second lieu des sciences phy-

1. Sur la variété tout à fait infinie de ces espèces, voy. A Comte, Cours , t. I, ch. x, p. 269 sqq. ; 4e édition.

siques par leur méthode. Cette méthode résulte elle-même de l’objet ou de la fin de ces sciences.

Les sciences mathématiques ont pour fin de déterminer les propriétés des grandeurs. La grandeur est ou calculable ou mesurable. Dans le premier cas, elle est représentée par des nombres ; dans le second, par Yétendue. Le calcul est l’objet de l’arithmétique ; la mesure, l’objet de la géométrie l.

Par son objet, la géométrie parait expérimentale. — Au premier abord, cet objet assigné à la géométrie suggère l’idée d’une science expérimentale ou même d’un art.

< La question de mesurer une grandeur, dit Auguste Comte (Cours, 3e leçon, p. 91), ne présente par elle-même à l’esprit d’autre idée que celle de la simple comparaison immédiate de cette grandeur avec une autre grandeur semblable supposée connue, qu’on prend pour unité entre toutes celles de la même espèce. Ainsi, quand on se borne à définir les mathématiques comme ayant pour objet la mesure des grandeurs, on en donne une idée fort imparfaite, car il est même impossible de voir par là comment il y a lieu, sous ce rapport, à une science quelconque et surtout à une science aussi vaste et aussi profonde qu’est réputée l’être avec raison la science mathématique. Au lieu d’un immense enchaînement de travaux rationnels très prolongés, qui offrent à notre activité intellectuelle un aliment inépuisable, la science paraîtrait seulement consister, d’après un tel énoncé, dans une simple suite de procédés mécaniques pour obtenir directement, à l’aide d’opérations analogues à la superposition des lignes,

1. Ce n’est pas l’unique objet de ces sciences. « L’arithmétique supérieure, celle qui étudie les propriétés des nombres en eux-mêmes, n’a, dit M. Cournot(Z>e l'ench. des idées fond., 1. 1, p. 25), rien ou presque rien de commun avec l’idée de grandeur ou de quantité. Les figures de géométrie offrent de même une foule de propriétés qui tiennent à la situation et à Yordre. » M. Chasles, l’éminent géomètre, a insisté plus d’une fois sur cette vérité (voy. en particulier Discours a' inauguration du cours de géométrie supérieure, et Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, p. 22 et p. 289). Il distingue la géométrie des mesures et la géométrie des formes et des situations. « Ces deux divisions, ajoute-t-il, sont celles de toutes les sciences mathématiques qui ont pour but, suivant l’expression de Descartes, la recherche de Yordre et de la mesure. » — « Toutes les sciences, dit Descartes, qui ont pour but la recherche de l’ordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques » ( Règles pour la dir. de l'esprit, 4e règle). — Aristote avait déjà émis la même pensée en ces termes : « De quoi s’occupent les mathématiciens si ce n’est de l’ordre et de la proportion ? » ( Mèt ., liv. XI, ch. m.) « La mesure proprement dite n’est qu’une partie des propriétés de l’étendue qui font l’étude des géomètres.... L’idée de mesure et d’ordre est indispensable pour donner au mot géométrie un sens vrai et complet. » (Voy. sur le même sujet les remarques d’Àug. Comte, ibid., t. I, ch. x, p. 272 sqq.)

Mais ceci reconnu, pour simplifier et pour fortifier en même temps la démonstration qui va suivre, on considérera seulement dans les mathématiques' cette partie plus pratique et qu’on pourrait croire plutôt que l’autre de nature expérimentale, à savoir : la mesure et le calcul.

les rapports des quantités à mesurer à celles par lesquelles on veut les mesurer. t>

liais la mesure des grandeurs est indirecte. —

Mais on remarque bientôt que la mesure des grandeurs n’est le plus souvent qu’indirecte. Pour mesurer une grandeur d’une certaine espèce, on ne peut pas ordinairement la comparer à une grandeur de même espèce prise comme unité. Soit à trouver le volume d’un cylindre donné. Le procédé direct consisterait à prendre un certain cylindre pour unité et à voir combien de fois il est contenu dans le premier. La chose est impossible. Même impossibilité s’il s’agit de la mesure d’un cube, d’un prisme, etc. — S’agit-il des surfaces, le procédé direct de mesure consisterait à rechercher combien de fois une certaine surface prise pour unité est contenue dans telle surface donnée. Or, si parfois on peut le faire, par exemple pour le rectangle, le plus souvent la chose est impossible. — S’agit-il de lignes courbes, les parties de circonférences de même rayon peuvent seules se comparer entre elles; les courbes en général ne le peuvent pas. — Finalement, les lignes droites seules sont toujours susceptibles d’être directement mesurées par d’autres lignes droites prises comme unité. — Ainsi la plupart des grandeurs que nous désirons connaître ne sauraient être déterminées par une mesure directe.

c C’est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique. Car, renonçant dans presque tous les cas à la mesure immédiate des grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été conduit à la création des mathématiques.

« La méthode générale qu’on emploie constamment, la seule qu’on puisse concevoir pour connaître des grandeurs qui ne comportent point une mesure directe, consiste à les rattacher à d’autres, qui soient susceptibles d’être déterminées immédiatement, et d’aprcs lesquelles on parvient à découvrir les premières, au moyen des relations qui existent entre les unes et les autres. Tel est l’objet précis de la science mathématique envisagée dans son ensemble. — Pour s’en faire une idée suffisamment étendue, il faut considérer que cette détermination indirecte des grandeurs peut être indirecte à des degrés fort différents... en sorte que, dans beaucoup de cas, l’esprit est obligé d’établir une longue suite d’intermédiaires entre le système des grandeurs inconnues qui sont l’objet définitif de ses recherches, et le système des grandeurs susceptibles de mesure directe, d’après lesquelles on détermine finalement les premières, et qui ne paraissent d’abord avoir avec celles-ci aucune liaison. » (Comte, ibid.y p. 93.)

Le procédé général de la géométrie est donc de réduire les comparaisons de toutes les espèces de figures, de volumes, de surfaces, ou de lignes à de simples comparaisons de lignes droites.

De mémj, le calcul des valeurs. — D’autre part, le calcul a pour unique objet de déterminer la valeur de quantités inconnues par celle de quantités connues, en exécutant sur les nombres qui représentent celles-ci certaines opérations.

Nature de la mathématique. — On comprend par ces remarques la vraie nature de la science mathématique.

« Nous sommes donc parvenus maintenant à définir avec exactitude la science mathématique en lui assignant pour but la mesure indirecte des grandeurs, et en disant qu’on s’y propose constamment de déterminer les grandeurs les unes par les autres d'après les relations précises qui existent entre elles. Cet énoncé, au lieu de donner seulement l’idée d’un art, caractérise immédiatement une véritable science, et la montre sur-lechamp composée d’un immense enchaînement d’opérations intellectuelles qui pourront évidemment devenir très compliquées, à raison de la suite d’intermédiaires qu’il faudra établir entre les quantités inconnues et celles qui comportent une mesure directe.... D’après cette définition, l’esprit mathématique consiste à regarder toujours comme liées entre elles toutes les quantités que peut présenter un phénomène quelconque, dans la vue de les déduire les unes des autres1. > (Comte, ibid ., p. 98.)

La méthode mathématique est doue déductive. —

La détermination des grandeurs mesurables est donc constamment

1. Suivent des considérations aussi justes qu’élevées sur les rapports de la mathématique avec les autres sciences : « Les explications précédentes établissent clairement la justification du nom employé ( mathématique ) pour désigner la science que nous considérons. Cette dénomination, qui a pris aujourd’hui une acception si déterminée, signifie simplement par elle-même la science en général. Une telle désignation, rigoureusement exacte pour les Grecs qui n’avaient pas d’autre science réelle, n’a pu être conservée par les modernes que pour indiquer les mathématiques comme la science par excellence. Et, en effet, la définition à laquelle nous venons d’être conduits n’est autre chose que la définition de toute véritable science quelconque, car chacune n’a-t-elle pas nécessairement pour but de déterminer les phénomènes les uns par les autres d’après les relations qui existent entre eux ? Toute science consiste dans la coordination des faits ; si les diverses observations étaient entièrement isolées, il n’y aurait pas de science. — On peut même dire généralement que la science est essentiellement destinée à dispenser, autant que le comportent les divers phénomènes, de toute observation directe, en permettant de déduire du plus petit nombre possible de données immédiates le plus grand nombre possible de résultats. N’est-ce point là, en effet, l’usage réel soit dans la spéculation, soit dans l’action, des lois que nous parvenons à découvrir entre les phénomènes naturels? La science mathématique ne fait, d’après cela, que pousser au plus haut degré possible, tant sous le rapport de la quantité que sous celui de la qualité, sur les sujets véritablement de son ressort, le même genre de recherches que poursuit, à des degrés plus ou moins inférieurs, chaque science réelle dans sa sphère respective. » (Comte, ibid., p. 98-99.)

indirecte en mathématique, c’est-à-dire, semble-t-il, constamment déductive.

Objections : l'expérience enseigne les relations des grandeurs. — Pourtant, il faut y regarder de plus près. N’estce pas, dira-t-on, par l’expérience qu’ont été successivement établies ces relations au moyen desquelles nous rattachons une grandeur inconnue à une grandeur connue, et déterminons un nombre inconnu par des nombres connus? Par exemple, en géométrie, n’est-ce pas l’expérience qui nous a appris le rapport entre la circonférence et le diamètre, entre le carré de l’hypoténuse et le carré des deux autres côtés ? Dans la science du calcul, toutes les opérations se réduisent, en fin de compte, à l’addition et à la soustraction : or n’est-ce pas l’expérience qui nous a appris que deux et deux font quatre, et que de douze, si l’on ôte trois, il reste neuf?

Part de vérité : ee qu’on peut attendre de l’expérience. — Il faut reconnaître qu’un grand nombre de vérités mathématiques ont pu primitivement être découvertes par cette voie. Il n’est point douteux qu’on a dû connaître la valeur des angles du triangle et la mesure de la circonférence par le diamètre, comme vérités expérimentales, longtemps avant d’avoir, par la démonstration, transformé ces vérités en vérités rationnelles. De même pour les nombres : souvent le rapport a pu être constaté par des expériences faites in concreto (comme on procède encore aujourd’hui pour enseigner le calcul aux enfants), avant d’avoir été démontré in abstracto.

Qu’on ne dise pas que des vérités mathématiques ainsi établies ne sauraient en aucune façon être tenues pour exactes, universelles et nécessaires.

1° En comptant un certain nombre de fois les doigts des deux mains, on peut être moralement certain que cinq doigts et cinq doigts font exactement dix doigts. En mesurant un certain nombre de fois, avec les précautions voulues, les angles d’un triangle, et en prenant la moyenne des résultats obtenus, pour corriger les erreurs commises tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, on peut s’assurer de même que la mesure des angles du triangle mesuré est exactement égale à deux angles droits.

2° D’autre part, si en opérant sur des groupes de natures différentes de cinq objets (cailloux, arbres, etc.), on constate que, quelle que soit la nature des objets, deux groupes de cinq objets font toujours dix objets; et pareillement si en mesurant les angles de

triangles de toutes formes et de toutes grandeurs, on constate que, quelle que soit la nature propre du triangle mesuré, la somme des angles est toujours égale à deux angles droits, on sera en droit d’inférer que le résultat de ces deux opérations est indépendant de la nature des objets comptés ou des triangles mesurés et par conséquent, en excluant la considération de cette nature propre des objets et des triangles, on conclura généralement : Cinq et cinq font dix ; — La mesure des angles d’un triangle est égale à deux angles droits.

3° Enfin, puisque ces vérités apparaissent comme universelles et indépendantes de la nature propre des objets comptés ou mesurés, on pourra inférer encore légitimement qu’il doit y avoir dans la nature même du nombre cinq, dans la nature même de la forme triangulaire, quelque raison cachée qui fait que cinq et cinq font dix et que les angles d’un triangle valent deux droits. D’où l’on conclura légitimement la nécessité de ces vérités.

Insuffisance : la science perd son caractère absolu. — A coup sûr, de semblables résultats ne sont point à dédaigner. Mais les mathématiques sont ainsi mises au niveau des sciences physiques et naturelles. Comme telles, elles pourront bien prétendre, de même que ces sciences, à des vérités exactes, universelles, nécessaires; mais elles devront, comme ces sciences, se contenter d’une exactitude, d’une universalité, d’une nécessité relatives : or les sciences mathématiques prétendent à une exactitude, à une universalité, à une nécessité absolues.

1° Avec la méthode expérimentale, point de certitude absolue . Par exemple, aucune mesure concrète d’une grandeur continue ne peut être pratiquée sans erreur. La méthode des moyennes pourra rendre l’erreur infinitésimale. Nous ne serons jamais certains de l’avoir absolument éliminée. — Là même où, par suite de la nature des choses, une mesure exacte est de toute façon impossible, par exemple lorsqu’on cherche le rapport du diamètre à la circonférence, tandis qu’une mesure réelle s’arrête nécessairement à un résultat relativement grossier, la mesure proprement mathématique peut pousser l’approximation aussi loin qu’on voudra et rendre l’erreur moindre que toute quantité assignable.

2° et 3° Avec la méthode expérimentale, point d'universalité et de nécessité absolues : car, non seulement on peut se dire à la rigueur que le hasard nous a fait tomber sur une série de cas dont la concordance fortuite simule une loi qui n’existe pas, ou témoigne

seulement d’une loi empirique susceptible de se démentir, mais encore, puisque toute mesure expérimentale et tout calcul expérimental se font dans cet espace donné où nous vivons, on peut se demander si les résultats obtenus ne tiennent pas à la nature particulière de cet espace, et si ces résultats ne changeraient pas au cas où nous opérerions dans d’autres régions de l’espace, par exemple dans les régions des étoiles fixes.

Pour bien faire sentir la différence entre les résultats de la méthode expérimentale et inductive et les résultats de la méthode mathématique, supposons qu’un malin génie, comme celui que suppose Descartes, se plaise à nous embrouiller dans nos opérations, à créer ou à annihiler un objet entre nos doigts au moment où nous comptons quel nombre d’objets font deux groupes de cinq objets, à faire varier les angles du triangle que nous mesurons ou les angles du rapporteur qui nous sert d’unité de mesure : nous n’aurons aucun moyen de découvrir la supercherie ; nous enregistrerons ingénument les divers résultats obtenus, et nous conclurons, en toute sécurité de conscience, que les angles d’un triangle valent tantôt deux droits, tantôt plus, tantôt moins; et que cinq et cinq font, suivant les cas, dix, douze, ou tout autre nombre.

Mais, si nous avons une fois démontré rationnellement que cinq et cinq font dix, que les angles d’un triangle valent deux angles droits, alors, quand même un malin génie, intervenant lorsque nous voulons vérifier expérimentalement ces vérités, brouillerait nos comptes et nos mesures, nous n’en maintiendrions pas moins la vérité absolue de notre démonstration faite dans l’abstrait, et nous en conclurions seulement que, pour des raisons à nous inconnues, ces vérités se trouvent modifiées dans le concret par l’association, dans les objets réels, de propriétés de divers genres aux propriétés mathématiques.

Résumé. — Ainsi, quoique historiquement beaucoup de vérités mathématiques aient été suggérées par l’expérience, c’est en dehors de l’expérience et d’une autre preuve que l’expérience qu’elles ont reçu cette consécration immuable et définitive qui leur a conféré l’exactitude, l’universalité, la nécessité absolues qui leur appartient désormais et pour toujours l.

1. Cf. Leibniz, Erd., p. 364, col. 2, et p. 212, col. 1. « Quelquefois même un fort habile mathématicien, ne sachant point la source de la découverte d’autrui, est obligé de se contenter de cette méthode de l’induction.... Mais la démonstration nous dispense de ces essais qu'on pourrait toujours continuer sans être jamais parfaitement certain. Cela même, savoir l’imperfection des inductions,

La méthode mathématique est-elle Fini ni (ion ? —

Quelle est donc cette preuve? Ne serait-elle pas l’intuition? Il faut en effet distinguer deux sortes d’expériences : l’expérience externe ou matérielle, qui résulte des constatations faites sur les objets sensibles, et l’expérience interne ou idéale , qui peut se faire au moyen de cet espace intérieur dont l’image réside dans notre imagination, et où nous pouvons nous représenter à volonté les nombres au moyen de points, et toutes les figures, ainsi qu’on l’a expliqué, en nous figurant le tracé idéal de points assujettis à se mouvoir suivant certaines lois. Nous avons déjà dit que les nombres et les figures qui servent de matière à l’arithmétique et à la géométrie ne sont point les nombres réels, les figures réelles, mais bien les nombres idéaux, les figures idéales. Reste à savoir si ce n’est pas par le moyen de l'intuition que nous saisissons entre ces nombres et entre ces figures, ou les parties de ces figures, les rapports abstraits ou idéaux qui constituent les vérités mathématiques.

Avantages de l'intuition sur l’expérience. — Reconnaissons d’abord un grand avantage de l’intuition sur l’expérience : l’espace objectif ne nous est donné que par fragments ; nous n’en pouvons parcourir des yeux ou des mains qu’une partie infinitésimale, eu égard à son infinité. Nous ne pouvons donc être assurés de Vhomogènéité de cet espace dans toutes ses parties : d’où l’impossibilité de généraliser les résultats constatés dans une partie seulement de cet espace. — Mais l’espace intérieur qui réside dans notre imagination est homogène dans toutes ses parties, car s’il est, comme le pense Kant, une forme constitutive de notre imagination, il ne peut pas plus changer de nature que notre imagination ellemême; et s’il n’est, comme le pense Leibniz, avec raison croyons-

peut encore être vérifié par des exemples. Car il y a des progressions où l’on peut aller fort loin avant de remarquer les changements et les lois qui s’y trouvent. »

« Pour rendre plus sensible la différence des déterminations expérimentales avec les véritables mesures géométriques, je citerai la manière dont Galilée évalua le rapport de l’aire de la cycloïde ordinaire à celle du cercle générateur. La géométrie de son temps étant encore trop inférieure à la solution rationnelle d’un tel problème, Galilée imagina de chercher ce rapport par une expérience directe. Ayant pesé le plus exactement possible deux lames de même matière et d’égale épaisseur, dont l’une avait la forme d’un cercle, et l’autre celle de la cycloïde engendrée, il trouva le poids de celle-ci constamment triple de celui de la première, d’où il conclut que l’aire de la cycloïde est triple de celle du cercle générateur : résultat conforme à la véritable solution obtenue plus tard par Pascal et Wallis. Un tel succès, sur lequel d’ailleurs Galilée n’avait Das pris le change, tient évidemment à l’extrême simplicité du rapport cherché ; et on conçoit l’insuffisance nécessaire de semblables expédients, même lorsqu’ils seraient effectivement praticables. » (A. Comte, Cours , 10e leçon.) rab^er. — Logique.

nous, qu’une sorte de décalque de l’étendue sensible sur notre imagination, nous pouvons à volonté, par l’abstraction, le supposer ou même le rendre homogène dans toutes ses parties. Donc, sous ce rapport tout au moins, l’intuition interne aurait sur l’expérience externe un grand avantage, puisque aucune raison tirée de la différence des régions de l’espace ne s’opposerait à la généralisation des vérités constatées par cette intuition.

Rôle de l’intuitios». — - Et certes on ne saurait nier le rôle de l’intuition, ainsi définie, en géométrie et même dans toutes les parties des mathématiques1. On peut difficilement l’exagérer.

Elle n’est qu’un auxiliaire. — Mais au moins faut-il le bien comprendre. L’intuition ne saurait suppléer à la démonstration proprement dite. Avant la démonstration, elle peut suggérer l’idée de la vérité qu’il s’agira ensuite de démontrer ; pendant la démonstration, elle éclaire et soutient le raisonnement

1. Kant, mathématicien distingué, a souvent insisté sur cette vérité. M. Boussinesq, de l’Institut, a exposé récemment des vues analogues avec beaucoup de force et de clarté (Rev. phil., t. VIII, p. 363 sqq.) : « Que resterait-il, surtout en géométrie, du raisonnement pur sans la vue idéale de l'espace et des figures, qui conserve aux idées leur vie et aux mots leur sens? Rien évidemment, pas même des cases vides. Le flambeau de l’intuition une lois éteint, les notions qu’il éclaire et qui ne subsistent que par lui s’évanouiraient aussitôt ; et avec elles disparaîtraient tous leurs rapports, tous les enchaînements qu’elles forment. . . .

« Mais la géométrie ne serait pas la seule science atteinte par la suppression de l’intuition géométrique. Le cerveau pensant tout entier semble, à quelques égards, n’être qu’une extension du système visuel. C’est par des formes, des constructions idéales, que nous condensons et précisons toutes nos idées, que nous parvenons à les fixer, à les voir nettement; et on dirait que c’est précisément dans la mesure où leur assimilation à des images réussit que nous pouvons en faire l’objet de connaissances positives.

« Par exemple, l’idée du temps ne se présente pas à nous sans celle du mouvement.... De même, nous ne pensons pas nettement à des nombres sans qu’à l’instant divers points ou objets disséminés viennent se placer sous l’œil de l’esprit.

« De même encore nous ne raisonnons jamais clairement, ce me semble, sur la quantité algébrique continue, sans voir à l’instant une étendue qui nous la représente, notamment la plus simple des étendues, la ligne droite. Celle-ci, supposée commencer à l’infini et prolongée d’abord jusqu’à une origine choisie arbitrairement, peut être, en partant ensuite de cette origine, augmentée ou diminuée de longueurs quelconques. Ces longueurs sont justement pour nous les images naturelles de toutes les quantités positives et négatives,... toutes les lois que nous transformons, par exemple, une équation, et que, craignant une erreur et nous défiant du mécanisme algébrique, nous tenons notre attention en éveil....

« Il semble que si l’on nous ôtait le sens de l’espace et des figures, nous n’entendrions plus même la branche de l’analyse qui paraît la moins géométrique, je veux dire celle où l’on opère sur de purs symboles algébriques sans leur attribuer aucune signification de quantité continue ou de nombre. En effet, les mots arrangement, disposition , substitution , permutation, etc., dont il laut bien se servir, supposent les idées d’étendue et de groupement dans l’espace.

« Il y a donc tout lieu de croire que, sans le concours apporté au raisonnement par l’intuition géométrique, les mathématiques seraient impossibles. »

en le traduisant à mesure en images visibles ; mais elle ne saurait par elle-même constituer la démonstration.

Elle est souvent impuissante. — En arithmétique, d’abord, il serait visiblement encore plus difficile d’opérer sans erreur sur des nombres simplement imaginés, par le moyen de points dans l’espace, que sur des nombres concrets représentés par des objets réels. Il n’y a probablement pas d’imagination humaine assez forte pour maintenir devant soi la représentation distincte d’une vingtaine de points et les additionner correctement. Que sera-ce si les opérations à exécuter deviennent plus compliquées ? Sans doute le calcul peut souvent se faire de tête, mais par le moyen de signes. En opérant d’intuition, le plus simple calcul devient absolument impossible.

Pour la géométrie, il faut reconnaître que certaines vérités fondamentales qu’on appelle axiomes n’ont et ne peuvent avoir d’autre preuve que l’intuition. Mais, à partir de ces axiomes, tout doit se démontrer par le raisonnement. En effet, tout d’abord, dans la plupart des cas, l’intuition, comme en arithmétique, serait impuissante à saisir immédiatement le rapport cherché. Comment reconnaître par simple intuition le rapport de la circonférence au diamètre, ou de la somme des angles d’un triangle à l’angle droit ?

Le raisonnement est-il une série d’actes d’intuition ? — Sans doute, dira-t-on, l’intuition, en ce cas, n’est pas, comme dans le cas de l’axiome de la ligne droite, un acte simple d’intuition ; mais ce que vous appelez la démonstration, est-il autre chose qu’une série d’actes d’intuition ? Par exemple, n’est-ce pas par une série d’intuitions qu’on ramène tous les angles d’un triangle à ceux faits autour d’un point du même côté d’une droite? Et n’est-ce pas enfin par un dernier acte d’intuition qu’on aperçoit l’égalité de tous ces angles ensemble à deux angles droits ?

Réponse : vraie nature de la méthode de superposition. — A cette objection on pourrait répondre, tout d’abord qu’une série d’actes intuitifs coordonnés de façon à mettre en évidence une vérité dernière à laquelle ils conduisent, n’est, après tout, qu’un raisonnement. Mais il y a plus à dire: en tout ceci, l’intuition est commandée par le raisonnement . Il est aisé de le faire voir.

L’objet de la géométrie, au point de vue où nous considérons

ici cette science, c’est la mesure. Or toute mesure en géométrie se ramène, au fond, à la mesure de certaines lignes droites par d’autres lignes droites. Et comment mesure-t-on? Par le procédé de superposition. Ce mot peut faire illusion, mais il faut bien entendre la méthode dont il s’agit. Nous avons déjà vu que la superposition matérielle d’une longueur sur une autre longueur, telle qu’on peut la pratiquer à l’aide du mètre ou du compas, ne présente pas les garanties de rigueur absolue à laquelle prétendent les mathématiques. Trouvera-t-on par hasard cette garantie dans une superposition purement imaginaire ? L’imagination sera-t-elle un instrument de mesure plus exact que les instruments de précision les plus parfaits? — Non, évidemment. En quoi donc consiste précisément cette méthode de superposition? D’Alembert la définit à merveille :

« La superposition réelle, telle que les mathématiciens la conçoivent, ne consiste pas à appliquer grossièrement une figure sur une autre, pour juger par les yeux leur égalité ou leur différence, comme un ouvrier applique son pied sur une ligne pour la mesurer : elle consiste à imaginer une figure transportée sur une autre, et à conclure de l’égalité supposée de certaines parties des deux figures la coïncidence de ces deux parties entre elles, et de leur coïncidence la coïncidence du reste ; d'où résulte l’égalité et la similitude parfaite des figures entières. Cette manière de démontrer a donc l’avantage, non seulement de rendre les vérités palpables, mais d’être encore la plus rigoureuse et la plus simple qu’il est possible : en un mot, de satisfaire l’esprit en parlant aux yeux1. » ( Élém . de phil., XV.)

Comme on voit, l’intuition ne constitue pas la preuve. On ne peut même pas dire qu’elle soit proprement une vérification de la preuve. Elle en est seulement une sorte d’ illustration. Aucune paxtie de la preuve n’est fondée sur l’intuition pure et simple : mais au contraire l’intuition est toujours commandée par le rai-

1. Soit, par exemple, à démontrer ce théorème, que deux triangles qui ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun sont égaux. De l’hypothèse concernant l’un des côtés on conclut que, si les deux triangles sont superposés l’un à l’autre, ce côté du triangle superposé coïncidera exactement avec le côté correspondant de l’autre triangle. — De l’hypothèse concernant l’angle on conclut que l’autre côté de cet angle du triangle superposé prendra la même direction que le côté correspondant de l’autre triangle. — De l’hypothèse concernant ce côté on conclut que ce côté du triangle superposé coïncidera exactement avec le côté correspondant de l’autre triangle. — Enfin, de la coïncidence parfaite des côtés supposés égaux dans les deux triangles, de la définition du triangle et de l’axiome que d’un point à un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droite, on conclut la coïncidence du troisième côté, b où résulte l’égalité des deux triangles.

sonnement et résulte, à titre de conséquence , des hypothèses, ou des définitions, ou des axiomes, ou de vérités antérieurement démontrées.

L'intuition, cause possible d'erreur. — Ajoutons enfin que l’intuition est si peu le vrai fondement des vérités géométriques, que l’on tient pour certaines en géométrie des vérités qui sont de flagrants démentis donnés à l’intuition: par exemple, cette vérité, que deux lignes, nommées pour cela asymptotes , peuvent s’approcher continuellement sans se rencontrer jamais 4.

Conclusion: la démonstration, Traie méthode mathématique. — Concluons donc que les mathématiques ne sont ni des sciences d’expérience ni des sciences d’intuition, mais des sciences démonstratives.

§ III

Principes de la démonstration. — « Tout syllogisme, dit Aristote, n’est pas une démonstration, mais toute démonstration est un syllogisme. » Dans un syllogisme, les prémisses peuvent être douteuses ou même fausses ; le syllogisme n’en est pas moins bon si la conclusion est tirée légitimement de ces prémisses. Une démonstration est un syllogisme dans lequel les prémisses sont vraies ou même nécessaires.

Les principes des démonstrations mathématiques sont les définitions et les axiomes.

Des définitions mathématiques. — La définition dont il s’agit ici est l’explication d’un concept. Du caractère et de l’origine des concepts ou notions mathématiques dérivent les caractères des définitions mathématiques, et les différences qui les distinguent des définitions empiriques1 2.

Elles se font par génération. — 1° Les choses qui sont la matière des sciences physiques ou psychologiques existent par elles-mêmes, indépendamment de nous et de notre esprit. Par suite, bien qu’il soit toujours utile de fournir, quand la chose est possible, dans la définition, la preuve de la possibilité de

1. Sur l’insuffisance de la géométrie expérimentale ou intuitive, voy. une fort belle page de Leibniz, Nouv. Ess., 1. IV, ch. xn, Erd., p. 381-382.

2. Voy. la thèse de M. Liard, sur les Déf. géométriques et les définitions empiriques. Voy. aussi les Prolégomènes phil. de la géom., par M. Delbœuf, ouvrage plein d’érudition et d’idées originales, comme tous ceux de cet esprit curieux et inventif.

l’objet défini, puisqu’on montre par là que la définition n’est pas purement nominale, on peut, dans les définitions empiriques, se contenter de faire connaître la nature de l’objet défini. En effet, l’expérience vient ici au secours de la définition : faisant voir que la chose est, elle dispense de prouver qu’elle peut être l. Les définitions empiriques sont donc en général simplement descriptives ou exponibles.

Mais les objets mathématiques, les nombres, les figures, tels que les entend le mathématicien, ne sont pas proprement dans la réalité. Or, ceci reconnu, supposons qu’on définisse une figure par une de ses propriétés caractéristiques ; par exemple, qu’on définisse la circonférence la ligne dont tous les points sont également distants d’un point intérieur: qu’est-ce qui nous garantit qu’une semblable figure, qui n’existe certainement pas dans la nature, soit du moins possible idéalement? Qui sait si cette conception ne recèle pas quelque contradiction intrinsèque? — Tant que l’on n’a pas dissipé ce doute, la définition ne peut donc être considérée que comme une sorte de supposition et d 'hypothèse. Et, par suite, toutes les conséquences qui s’en déduisent n’auront d’autre vérité qu’une vérité logique et hypothétique. Si Von suppose une figure conforme à la définition, tels et tels théorèmes s'ensuivront ex hypothesi. — Sans doute cette manière d’envisager les mathématiques ne les rendrait point, tant s’en faut, vaines et inutiles2. Mais pourquoi se réduire au moins quand on peut avoir le plus ? Pourquoi se contenter de la vérité logique et hypothétique quand on peut avoir la vérité catégorique, au moins dans l’ordre idéal? Or les vérités mathématiques deviennent des vérités catégoriques dès que les définitions d’où elles dérivent font comprendre la possibilité du défini ; et c’est à quoi l’on arrive en donnant comme définition des nombres et des figures la loi même de génération idéale des nombres et des figures. Ainsi définir les nombres et les figures, c’est dire le procédé par lequel on les obtient : 2 = 1 -f 1 ; 3 = 2 + 1, etc.; la sphère est le volume engendré par le mouvement d’un demi-cercle qui tourne autour de son diamètre, etc.

On peut ajouter que, les diverses propriétés caractéristiques des figures trouvant leur fondement commun dans la loi de génération