Voy. Liard, ibid., p. 97 sqq

science, une partie doit demeurer pour ainsi dire en blanc, registre ouvert aux découvertes futures. Toute définition empirique est progressive et partant provisoire.

Mais, dans les objets mathématiques, l’essence résulte de la loi de génération de ces objets, puisque toutes les propriétés ne sont que des conséquences de cette loi de génération. Pour définir, il n’est donc pas besoin de connaître toutes ces propriétés : il suffit de connaître le principe qui les engendre, c’est-à-dire la loi de génération. Or, cette loi, nous la connaissons sans erreur possible, puisqu’elle est une création de notre esprit. — D’autre part, aucune cause d’erreur ne peut ici provenir des changements de la matière elle-même. Car l’espace abstrait et les unités abstraites, tels que les conçoit le mathématicien, sont, parleur caractère même d’abstractions et de fictions imaginaires, soustraits à tout changement. — Donc, par cette double raison, les définitions mathématiques sont définitives et immuables .

3° Enfin « les définitions géométriques sont des principes de connaissance ; les définitions empiriques ne sont que des résumés. Les unes et les autres contiennent la science à l’état virtuel, mais avec cette différence, que les premières en précèdent le développement et que les secondes le suivent» (Liard, ibid., p. 207).

§ IV

Des axiomes. — Les mathématiciens ne s’entendent pas toujours sur la nature des axiomes. Ainsi, Legendre met au nombre des axiomes de la géométrie (Éléments de géométrie , 14e édit., p. 6) ces deux propositions : « Le tout est égal à la somme des parties dans lesquelles il a été divisé ». — « Deux grandeurs sont égales lorsque, étant placées l’une sur l’autre, elles coïncident dans toute leur étendue. » Ces deux propositions ne sont évidemment que des définitions : la première est la définition du tout ; la seconde est la définition ou la marque de l’égalité.

Les axiomes proprement dits ne sont pas de la nature des définitions, mais de la nature des théorèmes. Les définitions font connaître l’essence ; les axiomes et les théorèmes, une propriété particulière qui résulte de l’essence.

Caractère propre : indémontrables. — Quel est maintenant le caractère distinctif des axiomes parmi les théorèmes? — On donne ordinairement comme marque des axiomes que, étant

évidents par eux-mêmes, ils n’ont pas besoin de démonstration. Mais en mathématiques tout a besoin de démonstration, et l’appel à l’évidence intuitive ne doit être, suivant Leibniz et Pascal, qu’un pis-aller. Si l’évidence intuitive dispensait de démonstration et permettait d’ériger une proposition en axiome, on pourrait mettre au nombre des axiomes ce théorème, que dans un triangle un côté est toujours plus petit que la somme des deux autres. Pourtant Leibniz approuve Euclide d’en avoir donné la démonstration. Nombre d’autres théorèmes donneraient lieu à une remarque du même genre.

Pour qu’un théorème mérite le nom d 'axiome, il faut qu’il énonce une vérité qui, non seulement paraisse, à raison de son évidence immédiate, n’avoir pas besoin de démonstration, mais qui ne soit pas susceptible de recevoir de démonstration.

Les axiomes sont donc des théorèmes fondamentaux d’où dérivent les autres théorèmes et qui ne peuvent dériver d’aucun. Conditions suprêmes de la démonstration, ils en sont aussi les limites extrêmes.

Leur origine. — S’il en est ainsi, quel est donc le fondement des axiomes ? D’où vient que nous les considérions sans démonstration comme des vérités, et même des vérités nécessaires? — Il faut ici distinguer deux sortes d’axiomes : d’une part, il y a des axiomes communs qui dominent toutes les sciences mathématiques; d’autre part, il y a des axiomes propres à la géométrie.

Axiomes communs. — Les mathématiques sont la science des grandeurs en général. Les axiomes généraux des mathématiques énoncent donc des propriétés entre des grandeurs ou quantités quelconques. Tels sont ces axiomes qui dominent à la fois l’arithmétique et la géométrie : Le tout est plus grand que la partie. Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles. Les sommes de quantités égales sont égales, etc.

Ils sont analytiques et dérivent du principe d’identité. — Dans ces axiomes il faut remarquer que le sujet et l’attribut sont de même nature : ils appartiennent l’un et l’autre à la catégorie de la quantité. — Ceci donne à supposer que, dans les axiomes de ce genre, l’attribut peut être obtenu par une analyse du sujet. En effet, étant donnée la définition du sujet de ces axiomes, il est possible, en s’appuyant sur le principe d'identité , d’en déduire analytiquement l’attribut. Par exemple,

dire que deux quantités sont égales, c’est dire que l’une est la même chose que l’autre; si donc, après cela, une troisième quantité est égale à l’une des deux premières, elle sera aussi égale à l’autre, puisque ces deux quantités sont, par hypothèse, la même chose. Ou, en d’autres mots, si deux quantités sont égales à une même troisième, il suit analytiquement de l’hypothèse que ces deux quantités sont égales entre elles. — Il en est de même pour les autres axiomes du même genre. Donc tous les axiomes de cette catégorie paraissent susceptibles de démonstration ; et peut-être que l’unique axiome indémontrable de cet ordre est, comme le pense Leibniz, le principe d’identité L

Axiomes propres à la géométrie, — La géométrie est la science des propriétés de l’étendue figurée , propriétés parmi lesquelles se placent au premier rang les relations de quantité des figures, c’est-à-dire la mesure des grandeurs figurées les unes par les autres. Considérée à ce point de vue, la géométrie a pour objet de rattacher à des rapports de forme ou de position des rapports de quantité. En d’autres termes, dans les propositions géométriques, le sujet sera, en général, de la catégorie de la position ou de la forme, l’attribut sera de la catégorie de la quantité. Exemples : les angles droits (sujet de la catégorie de la position) sont tous égaux entre eux (attribut de la catégorie de la quantité); l’aire du parallélogramme (position) est égale au produit de la base par la hauteur (quantité). — Or, nous l’avons dit, ce n’est pas par l’expérience ni par l’intuition qu’on prouve les vérités géométriques : c’est par la démonstration. Mais la démonstration ne peut aller à l’infini. Donc les propositions géométriques, où les rapports de quantité sont rattachés par démonstration aux rapports de position, supposent, comme conditions et comme moyens, des propositions fondamentales, dans lesquelles la liaison des rapports de position à des rapports de quantité est faite par une synthèse primitive indémontrable. Tel est justement le caractère des axiomes particuliers à la géométrie.

Ils sont sy nthétiques. — Les axiomes de la géométrie ne peuvent être relatifs à la seule catégorie de la figure ; ils ne peu-

1. Pour en tirer les axiomes proprement mathématiques, il suffit de remarquer que Y égalité équivaut à Yidentité; c’est l’identité sous le rapport de la grandeur: d’où la possibilité de substituer les unes aux autres des valeurs égales dans les formules mathématiques.

vent être relatifs à la seule catégorie de la quantité : car .alors en quoi serviraient-ils à la démonstration géométrique, qui a pour but de lier à la forme la quantité ? Les axiomes de la géométrie sont donc des propositions synthétiques qui affirment certains rapports indémontrables de la forme avec la quantité.

Exemples : rôle de quelques axiomes. — On discute sur le nombre de ces axiomes. Il suffira ici d’indiquer quelques-uns des axiomes incontestés et d’en faire saisir le caractère, le rôle et l’origine. — Au premier rang se place l’axiome de la ligne droite : la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre.

Au fond, toutes les mesures, en géométrie, se ramènent à des mesures de lignes : c’est par le moyen de lignes qu’on mesure les surfaces, les volumes. Toutes les mesures de lignes se ramènent ellesmêmes à des mesures de droites. Or d’où vient ce privilège de la ligne droite de pouvoir seule servir de mesure universelle? C’est qu’à l’idée de ligne droite seule s’attache intuitivement et d’une manière indissoluble l’idée d’un rapport invariable de quantité, à savoir : l’idée de la plus courte distance entre deux points. Cela étant, toute ligne droite vaut une autre ligne droite qui se termine aux mêmes points. Et voilà pourquoi on peut mesurer les lignes droites par le moyen des lignes droites. Toutes les droites ou fractions de droites qui se terminent aux mêmes points que la droite prise comme unité, sont nécessairement égales entre elles et égales à l’unité, étant toutes la plus courte distance entre ces points. — Au contraire, deux lignes courbes qui se terminent aux mêmes points ne sont pas nécessairement égales ; et c’est pourquoi aucune ligne courbe ne peut être prise comme unité de mesure applicable à toutes les courbes 4.

Un autre axiome est celui de la perpendiculaire, qui sert à la mesure de la direction : la perpendiculaire à une droite est la droite qui forme avec la première deux angles adjacents égaux. « Il y a là la synthèse d’une direction constante et d’une quantité constante d’écartement , et l’on conçoit que l’angle droit soit l’unité de mesure des angles, c’est-à-dire des directions » (Liard, ibid.). — Un troisième axiome est celui des parallèles, qui lie une égalité de grandeur (équidistance) à X identité d’ orientation : Deux parallèles sont toujours également distantes si loin qu’on les prolonge ; ou, suivant la formule de M. Renouvier : L’équidistance et l’identité de

1. Sur tous ces points voy. Renouvier, Logique , t. I, p. 297 sqq. ; Liard, la Science positive et la Métaphysique , p. 342 sqq.

direction appartiennent à un seul et même groupe de deux droites sur un plan.

Leur caractère. — Toutes ces propositions sont synthétiques. Par exemple, il est évident, comme le fait remarquer Kant, que l’idée de droit (position) est d’un autre genre que l’idée de plus court (quantité); l’idée d’ identité d'orientation (position), d’un autre genre que l’idée à' équidistance (quantité), et que, par suite, celles-ci ne sont point partie intégrante de celles-là, bien que liées à celles-là. C’est pourquoi toutes ces propositions sont indémontrables par le principe d’identité (voy. Liard, ibid., 247).

Fondement des axiomes propres; l’intuition. — Quel est donc le fondement des axiomes de la géométrie? Ces propositions, bien qu’indémontrables, ne nous paraissent pas arbitraires; elles nous semblent au contraire évidentes et nécessaires . Comment donc et par quoi se justifient-elles à nos yeux? — Comme toutes les propositions synthétiques, elles ne sauraient avoir d’autre fondement que l 'expérience. Seulement l’expérience dont il s’agit n’est pas l’expérience externe ou sensible, qui permettrait seulement de constater comme un fait contingent la liaison des rapports de position et des rapports de quantité affirmés comme nécessaires dans les axiomes. C’est l’expérience interne ou intuition , qui, procédant sur la lorme pure de l’espace, au moyen de figures par nous construites, nous fait reconnaître, nous fait voir que la supposition de la rectitude d’une ligne entraîne immédiatement comme conséquence nécessaire le caractère de distance la plus courte, inhérent à cette ligne; comme aussi la supposition du parallélisme de deux lignes, l’équidistance de ces lignes. — Et, quelque effort que nous fassions pour nous représenter les choses autrement, nous n’y pouvons réussir. La claire vision de ces propriétés fondamentales de la ligne droite, des parallèles, etc., jointe à l’impossibilité de nous représenter ces mêmes figures dépouillées de ces propriétés, est l’origine des axiomes et des caractères d’évidence et de nécessité que nous leur attribuons, bien que nous n’en puissions fournir la raison et la preuve démonstrative.

Rôle des définitions : sources des propriétés démontrées. — Quel est maintenant le rôle des définitions et des axiomes dans la démonstration?

On est généralement d’accord pour reconnaître le rôle des définitions dans les démonstrations mathématiques. Les propriétés des figures dérivent nécessairement de leur essence ou propriété principale, qui résulte elle-même du mode de génération de la figure. Que l’on définisse la figure par sa propriété essentielle ou par son mode de génération, de toute façon, les propriétés secondaires résultent de la définition. Donc, nécessairement, dans les syllogismes mathématiques la définition fournit l’une des prémisses, à moins qu’elle ne soit remplacée par un théorème précédemment dérivé lui-même de la définition 4. — Il en est de même en arithmétique ; c’est de la définition des nombres que résultent les rapports des nombres entre eux. — Ainsi de la définition constructive du cercle se déduit cette propriété du cercle d’avoir tous ses rayons égaux; et de cette propriété essentielle, qu’on donne souvent comme définition du cercle, se déduisent les autres propriétés du cercle. De même, c’est de la définition des nombres deux, trois et quatre que l’on déduit syllogistiquement que deux et deux font quatre1 2.

Rôle des axiomes; discussion. — Au contraire, on est loin de s’entendre sur le rôle qu’il convient d’attribuer aux axiomes dans la démonstration. Mais les désaccords qui se sont produits à ce sujet nous paraissent résulter, en grande partie, de ce qu’on ne s’est pas entendu sur le sens des mots et de ce qu’on n’a pas suffisamment distingué plusieurs questions différentes.

On soutient (Locke, D. Stewart, d’Alembert) que les axiomes ne sont point les principes des raisonnements mathématiques.

Division de la question. — Avant de répondre, il faut distinguer deux sens du mot principe et deux sortes d’axiomes.

Par principe de raisonnement on peut entendre une donnée fondamentale, de laquelle dérivent certaines conséquences. Un principe, en ce sens, c’est une notion ou une vérité qui enferme en soi implicitement d’autres notions ou d’autres vérités. Ainsi cette proposition : Dieu est Vétre infini sert de principe à ces autres vérités que l’on en déduit : Dieu est éternel , immuable , etc.

Par principes de raisonnement on peut entendre aussi des vérités qui, dans certains cas, servent de conditions exprimées oa sous-