Voy. d’Alembert, ibid., p

2. Nous avons déjà dit ailleurs (p. 175) que le caractère des définitions mathématiques d’être adéquates et exemptes d’erreurs est une des raisons de la certitude des conclusions du raisonnement mathématique.

entendues à la déduction et par le moyen desquelles on dégage des principes, au sens tout à l’heure indiqué, les vérités secondaires qu’ils renferment.

Dans le premier sens, le principe est Yorigine ou le point de départ du raisonnement; dans le second sens, il en est comme le moyen ou le ressort.

Maintenant il faut distinguer, comme on l’a vu, deux sortes d’axiomes : les axiomes universels des mathématiques, qui énoncent certains rapports entre des quantités quelconques ; et les axiomes géométriques, qui énoncent certaines propriétés évidentes et indémontrables de certaines figures, comme l’axiome de la ligne droite et l’axiome des parallèles.

Ceci posé, reprenons la question en la divisant. Les axiomes sontils les principes des raisonnements mathématiques au premier sens du mot principe ? — La réponse à faire sera : non , s’il s’agit des axiomes de la première classe ; oui , s’il s’agit des axiomes de la seconde.

Les axiomes communs ne sont pas les sources des démonstrations. — En effet, les vérités mathématiques énoncent des propriétés des nombres et des figures ; or il est clair que des axiomes dont le sujet est indéterminé ne sauraient renfermer les propriétés de nombres et de figures déterminés. En ce sens, Locke a cent fois raison de dire que « la méditation la plus assidue de cet axiome : le tout est plus grand que la partie , et autres semblables, ne mènera jamais à ce théorème, que le carré de l’hypoténuse est égal au carré des deux autres côtés ». Dans les idées abstraites de tout , de partie , de quantités égales ou inégales entre elles, etc., il est trop clair que les idées de triangle, d'hypoténuse, etc., ne sont pas contenues, et qu’en scrutant ces idées abstraites, on n’y découvrira pas les propriétés de ces figures. Leibniz abonde ici dans le sens de Locke : « Il ne sert de rien, écrit-il, de ruminer sur les axiomes si on n’a de quoi les appliquer1. » ( Erd ., p. 383.)

Les axiomes propres peuvent l’être. — Mais pose-t-on

la même question au sujet des axiomes du second genre? Alors la réponse à faire n’est plus la même. En effet, les axiomes ne sont ici proprement rien autre chose que des théorèmes énonçant une pro-

1. « Si des grandeurs déterminées n’étaient pas données, écrit M. Liard, l’axiome ne produirait par lui-même aucune conséquence » (Logique, p. 95). Nous ne pensons pas que personne ait pu jamais contester cela.

priété essentielle de certaines figures déterminées. Or ces propriétés peuvent être et sont l’origine, la source, la raison d’autres propriétés. Par conséquent, ces axiomes pourront, en certains cas, jouer dans la démonstration le même rôle que les définitions ellesmêmes. Et c’est là, sans doute, une des raisons pour lesquelles certains de ces axiomes, comme ceux de la ligne droite et des parallèles, sont parfois mis au rang des définitions 4.

Les axiomes propres sont les conditions des démonstrations. — Maintenant, demande-t-on si les axiomes sont les principes du raisonnement, au second sens du mot principe , c’est-à-dire les conditions ou les moyens du raisonnement? En ce cas, il ne paraît pas qu’aucun désaccord puisse non plus se produire s'il s'agit des axiomes du second genre. Incontestablement ces axiomes interviennent sans cesse dans le cours des déductions à titre de majeure ou de mineure des syllogismes : par exemple l’axiome que d’un point à un autre on ne peut mener qu’une ligne droite, est, en ce sens, indispensable à la démonstration du théorème que deux triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun sont égaux (voy. plus haut, p. 276, note).

Les axiomes communs peuvent-ils l’être? — Mais en sera-t-il de même s'il s'agit des axiomes du premier genre, énonçant des rapports entre des quantités indéterminées? Ces axiomes sont-ils aussi des conditions du raisonnement ? C’est sur ce point et sur celui-là seulement, à ce qu’il semble, que des désaccords peuvent se produire et existent en réalité.

Trois opinions ont été émises. La plus radicale est celle de Locke : Ces axiomes ne sont d 'aucun secours au raisonnement ; ils n’en sont point les conditions exprimées ou sous-entendues. La raison qu’il en donne est celle-ci : c’est que les vérités énoncées par les axiomes d’une manière abstraite et générale sont d’abord perçues dans des cas particuliers, et que la marche naturelle de l’esprit, c’est de s’élever des cas particuliers aux axiomes et non de démontrer par les axiomes les cas particuliers.

1. N’est-ce pas précisément aux axiomes de ce genre que d’Alembert fuit allusion, lorsqu’il dit : « Quels sont donc dans chaque science les vrais principes d’où l’on doit partir ? Des faits simples et reconnus qui n’en supposent point d’autres, et qu'on ne puisse par conséquent ni expliquer ni contester; en physique, les phénomènes journaliers que l’observation découvre à tous les yeux ; en géométrie, les propriétés sensibles de l’étendue. » ( Elém . de phil. , ch. iv, p. 131.) Que sont ces propriétés sensibles ou intuitives de l’étendue, que l’on peut considérer comme des faits qu’on ne peut ni contester ni expliquer, sinon justement les propriétés exprimées par les axiomes géométriques ? Ainsi, sur ces deux points, tout le monde paraît d’accord.

Ainsi, dit-il, nous reconnaissons d’abord que les lignes A et B, qui sont égales à la ligne C, sont égales entre elles; d’où nous nous élevons à cette vérité générale, que deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. 11 est donc inutile de recourir à l’axiome pour démontrer des vérités particulières, qui sont aussi évidentes ou plus évidentes que l’axiome.

Critique. — A quoi l’on peut répondre : Il est incontestable que c’est dans un cas particulier que l’axiome général nous est révélé tout d’abord. Donc, au point de vue de l’origine psychologique, il est incontestable que nous dégageons l’axiome du cas particulier.— Mais au point de vue logique il n’est pas moins incontestable qu’au moment même où nous passons de l’exemple à l’axiome, l’axiome nous apparaît comme la raison , 1 "explication du fait particulier. Par exemple, nous reconnaissons l’égalité des deux lignes A et B égales à une troisième C : c’est d’abord pour nous un simple fait, une vérité particulière. Mais vient un moment où nous reconnaissons aussi que deux lignes quelconques égales à une même troisième sont égales. Et dès ce moment l’égalité particulière des lignes A et B, qui n’était d’abord pour nous qu’un fait , devient une conséquence nécessaire d’une loi générale. — Orlagéométrie n’a pas pour objet d’exposer les vérités géométriques dans l’ordre historique de leur découverte, mais bien dans leur ordre de dépendance logique; c’est pourquoi les axiomes doivent dominer les vérités particulières qui en dépendent, bien que celles-ci puissent sembler aussi évidentes.

c Celui qui connaît que dix est plus que neuf, que le corps est plus grand que le doigt, et que la maison est trop grande pour pouvoir s’enfuir par la porte, connaît chacune de ces propositions particulières par une même raison générale , qui y est comme incorporée et enluminée , tout comme l’on voit des traits, chargés de couleurs, où la proportion et la configuration consistent proprement dans les traits, quelle que soit la couleur. Or cette raison commune est l'axiome même , qui est connu pour ainsi dire implicitement, quoiqu’il ne le soit pas d’abord d’une manière abstraite et séparée. Les exemples tirent leur vérité de l’axiome incorporé, et l’axiome n’a pas son fondement dans les exemples1. » (Leibniz, Nouv. Ess., liv. IV, ch. xn, Erd ., p. 380; cf. ch. vu, § 10, p. 363, et liv. I, ch. i, § 20, p. 211.)

1. On peut d’ailleurs ajouter que l’égalité de deux choses égales à une même troisième peut sauver aux yeux comme un fait lorsque les deux quantités sont elles-mêmes de nature à pouvoir être saisies par les sens. Mais, lorsque cette égalité ne peut pas être reconnue d’intuition, parce que les quantités elles-mêmes ne sont pas susceptibles d’être reconnues et comparées par les sens ou l’imagi-

Ainsi les axiomes communs sont au moins les conditions latentes ou sous-entendues des raisonnements1.

Ils sont les conditions sons-enteudues ou exprimées. — Reste à savoir s’ils sont des conditions seulement externes et sous-entendues du raisonnement, ou s’ils peuvent entrer à titre de parties intégrantes dans les raisonnements. Les deux opinions peuvent se soutenir et, à notre sens, ne se contredisent point.

On peut, par exemple, raisonner comme il suit : A=B, B = C, donc A = C, en sous-entendant l’axiome général : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Dans ce cas, l’axiome est considéré, ainsi qu’on a envisagé plus haut les divers principes des trois figures du syllogisme, comme la formule abstraite qui exprime une fois pour toutes un certain mode général de raisonner, et qui sert de garantie à tous les raisonnements particuliers conformes à la formule.

Mais, à notre avis, rien n’empêche de faire entrer l’axiome dans les syllogismes eux-mêmes. On soutient (MM. Lachelier et Liard), il est vrai, que de tels syllogismes ne seront pas corrects. Par exemple, si l’on dit : Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles ; or A et C sont égaux à B ; donc A et C sont égaux, — le syllogisme est incorrect et la conclusion, quoique vraie en soi, ne dérive pas logiquement des prémisses. En effet, diton, le moyen terme est double, puisque dans la majeure ce moyen est : égal à une quantité quelconque , et que dans la mineure il devient : égal à une quantité déterminée , B. — La remarque est juste ; mais il n’est pas malaisé d’éviter la faute signalée en développant le syllogisme incriminé en un polysyllogisme, ainsi qu’il suit : Deux quantités égales à B sont deux quantités égales à une même troisième ; or A et C sont des quantités égales à B; donc A et C sont deux quantités égales à une même troisième. — Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles; or A et C sont deux quantités égales à une même troisième ; donc A et C sont deux quantités égales entre elles.

nation, l’axiome général et abstrait n’est-il pas alors indispensable pour affirmer l’égalité de ces quantités ?

« 11 y a des cas, dit Leibniz, où l’évidence ne se remarque pas dans l’exemple même et où l’affirmation de l’exemple est une conséquence et non pas seulement une subsomption de la proposition universelle ; comme il peut arriver à l’égard des axiomes. » ( Erd ., p. 203.)

1. Dugald Stewart se sépare de Locke sur ce point. Il affirme comme Locke que les axiomes ne sont pas les principes féconds du raisonnement, mais il reconnaît que les axiomes sont au moins les conditions ou les « éléments » du raisonnement. Voy. Elèm.> tr. fr., t. II, p.*28 et 34. rabier. — Logique.

Par conséquent, les axiomes communs, loin d’être inutiles au raisonnement, sont les conditions nécessaires et peuvent être les éléments intégrants des raisonnements mathématiques.

Résumé. — Donc en résumé ; 1° Les axiomes propres à la géométrie, mais ceux-là seulement, peuvent être les principes ou sources du raisonnement mathématique;

2° Tous les axiomes, quels qu’ils soient, sont les conditions , soit sous-entendues, soit exprimées, du raisonnement mathématique.