VI
Caractère du raisonnement mathématique. — Reste à considérer le raisonnement mathématique lui-même 1 * * 4.
Outre les raisonnements communs, qui tiennent une grande place, principalement dans la mise en équation des problèmes, on peut distinguer en mathématiques deux sortes de raisonnements ou deux applications du raisonnement : 1° la déduction géométrique; 2° la déduction analytique (arithmétique ou algébrique).
Déduction géométrique. — En quoi consiste d’abord la déduction géométrique?
a Ce qui fait le fond d’une exposition géométrique, dit M. Renouvier (Logique, t. II, p. 172), c’est un mode d’argumenter qui revient et se continue sans cesse : Telle figure a telle propriété (antérieurement c émontrée); or cette figure est telle figure; donc cette figure a telle propriété. C’est bien là un syllogisme, mais qui r\ / tout d’abord semble puéril comme une identité pure, a / \ c / tant on a l’air de dire ainsi que les attributs d’une
/ \ / chose sont les attributs de cette chose. Et cependant
^ — c V d on avance. d
/ Pour le montrer, M. Renouvier analyse la démons-
/ tration du théorème concernant la somme des angles
d’un triangle.
Il y distingue : 1° une construction ; 2° un appel à l’intuition pour remarquer la position du triangle par rapport à la droite construite (d) et l’agencement des trois angles formés par ce triangle et par cette droite à celui des sommets où elle est menée ; 3° six syllogismes, pas moins,
1. « La Logique des géomètres, ou les manières d’argumenter qu’Euclide a
expliquées et établies sont une extension ou promotion de la Logique générale »
(Leibniz, Êrd., p. 342, col. 2). Telle est aussi l’opinion de Wallis et de Huygens.
Voy. dans Y Encyclopédie l’art. Démonstration. Cf. Cournot, Essai, t. II, p. 81. M. Lachelier (De nat. syll.) a pourtant signalé de profondes différences entre le raisonnement ordinaire et le raisonnement mathématique.
pour dégager de l’intuition ce qu’elle contient de démonstratif, savoir : que la droite construite ne peut avoir avec le périmètre du triangle aucun point commun outre le sommet indiqué (Nous passons pour abréger ces six syllogismes). — Après ces préliminaires liés à la construction, et qui amèneraient d’intolérables longueurs si le géomètre devait les détailler, fùt-ce sans syllogisme en forme, vient la démonstration proprement dite, qui se compose des cinq syllogismes suivants :
1° Deux angles alternes internes formés par deux parallèles et une transversale sont deux angles égaux; deux angles formés par a et ô, d’une part, et b et d , de l’autre, sont alternes internes de cette façon, donc ces deux angles sont égaux ;
2° Il est pareil au précédent en remplaçant le côté b par le côté c ;
3° Les sommes faites de quantités égales sont égales ; le triangle proposé a ses trois angles égaux respectivement aux trois angles formés d’un côté de la droite d , au sommet du triangle (l’un desquels angles est un des angles mêmes de ce triangle, et les deux autres sont égaux aux siens en vertu des deux syllogismes précédents) ; donc la somme des angles du triangle est égale à la somme des angles énumérés sur d ;
4° La somme des angles consécutifs formés en un même point, du même côté d’une droite, est égale à deux angles droits ; or la somme des angles énumérés sur d est une somme d’angles consécutifs formés au même point, du même côté d’une droite ; donc la somme des angles énumérés sur d est égale à deux angles droits ;
5° La somme des angles énumérés sur d est égale à deux angles droits ; or la somme des angles du triangle est égale à la somme des angles énumérés sur d ; donc la somme des angles du triangle est égale à deux
angles droits.
Déductions analytiques. — Dans le raisonnement analytique on peut distinguer deux parties : 1° la mise en équation du problème; 2° les transformations successives de l’équation primitive. Or, d’une part, la traduction de l’énoncé sous forme d’équation est le résultat de raisonnements qui ne diffèrent pas des raisonnements ordinaires. D’autre part, la transformation d’une équation en équations équivalentes s’opère constamment par le procédé de la substitution de quantités égales à des quantités égales, en vertu de l’axiome : si l’on substitue des choses égales, l’égalité demeure. Toute transformation d’une équation en une autre équation se fait, donc en vertu d’un syllogisme dont cet axiome est la majeure exprimée, ou la condition sous-entendue.
Par exemple, si, d’une part, je suppose y = x -f- 8, et si, d’autre part, j’ai l’équation x -f- y = 80, cette dernière équation peut se transformer, en raisonnant comme il suit :
Majeure : En substituant des choses égales, l’égalité demeure;
Mineure : Or en substituant à y, dans le premier membre de cette
équation, sa valeur x -f- 8, on substitue des choses égales (par hypothèse);
Conclusion : Donc, en substituant x + 8 à y, l’égalité demeure, et l’on peut écrire x -f- x -f- 8 = 80.
Théorie de Condillac : part de vérité. — Par où l’on voit ce qu’il y a tout à la fois de vrai et d’excessif dans la théorie célèbre de Condillac, d’après laquelle le raisonnement algébrique va du même au même, de l’identique à l’identique. Il y a du faux dans cette thèse, car évidemment ces deux équations, par exemple : 2 x -f- 8 = 80 et 2 x = 80 — 8, dont la seconde se déduit de la première, ne sont point identiques, puisqu’elles enferment des idées et indiquent des opérations différentes. — Mais d’autre part il y a du vrai et, quoi qu’on en ait dit, beaucoup plus de vrai que de faux dans cette thèse, puisque ce qui permet de substituer une équation à une autre équation, c’est la persistance ou Yidentité du rapport exprimé dans les deux équations, à savoir : le rapport d’égalité entre les membres de chacune d’elles. Tout l’art ou le secret du maniement des équations consiste à maintenir toujours le même rapport, en faisant subir aux membres de l’équation toutes les modifications jugées nécessaires. Les modifications opérées sur les termes sont des éclaircissements et font Yutililé de la transformation des équations; la persistance ou l’identité d’un même rapport en font la légitimité .
C’est donc bien une identité latente qui constitue le lien des équations entre elles; et ceux mêmes qui ont prétendu réfuter la thèse de Condillac n’ont fait après tout que la modifier dans la forme, en substituant, comme l’a fait M. Duhamel, le mot équivalence au mot identité. Qu’est-ce que l’équivalence sinon l’identité sous un certain rapport?
Ajoutons seulement que cette identité ou équivalence n’est pas, comme Condillac est trop porté à le croire, immédiatement évidente, et que le raisonnement mathématique a précisément pour objet de la démontrer. Ce raisonnement toujours le même se sousentend sans inconvénient dans la pratique. Mais la théorie des opérations mathématiques est obligée de le rétablir et d’en définir la nature1.
1. Sur l’analyse et la synthèse mathématiques, voy. le chap. xvi.
