PARTIE MATHÉMATIQUE

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D'autres avaient eu l’idée heureuse, et trop longtemps négligée, de faire sortir les règles du raisonnement de l’arithmétique et de l'algèbre ; Condillac a osé se proposer le problème inverse : il veut faire sortir de sa logique la science des mathématiques tout entière.

Deux observations, longtemps éprouvées, longuement méditées, lui inspirent cette confiance, lui donnent ce courage. Il a remarqué, dans tous les genres de connaissances, que la nature elle-même nous donne les premières leçons, et que toutes les autres sont dues à l’analogie. C’est assez pour lui. Il commence un traité dans lequel il nous enseignera l'algèbre, et il n’a aucune connaissance de l'algèbre; il commence sans se tracer de plan, et il est assuré que l’analogie lui fournira le meilleur de tous les plans, il est assuré que, dans les développements successifs des différentes par— ties de son ouvrage, il inventera, ou, pour parler avec son exquise justesse , il trouvera l'algèbre et toutes ses méthodes.

Son premier soin est de donner à son ouvrage un nom, un titre ; et ce titre, que d’abord il faut détermi-

ner comine un but fixe, il le saït d'avance. Il avait déjà démontré qu’une science se réduit à une langue bien faite ; c'est donc la langue des calculs qu’il va faire ou refaire. Tout ce qu'il en fera ou refera, il l’'apprendra de la nature ou de l’analogie.

La langue des calculs admet cinq dialectes : celui des doigts, celui du langage ordinaire, celui des chiffres, et les deux qui sont compris dans les lettres de l'alphabet.

Aux doigts se rapportent les calculs qu’on pourrait effectuer avec des arbres, des hommes, etc.; au /angage ordinaire, les noms des noïnbres dans les idiomes des divers peuples; aux chiffres, la méthode des Grecs, des Romains , des Arabes; aux lettres de l’alphabet, à l'algèbre, se rapportent enfin les méthodes qui apprennent à calculer ce qu’on appelle improprement l'infini, méthodes qui forment le cinquième dialecte.

Le dialecte des doigts, quand il est seul, est un calcul d'action; et dans ce calcul avec les doigts Condillac voit le premier calcul, comme dans le langage d'action il avait vu le premier langage; mais on conçoit aisé— ment que ce premier de tous les calculs ne peut guère s'étendre, les collections d'unités se confondant bientôt si elles ne sont pas distinguées par des noms. Il associe donc les noms aux doigts : ceux-ci exécutent le calcul, et les mots le notent, le traduisent.

Après avoir observé combien cette traduction est vicieuse dans notre langue, combien il y a peu de justesse à dire onze, par exemple, quand les doigts disent dix et un; vingt, quand les doigts disent deux dix, etc.; il fait, avec les doigts, les six premières opérations.

En ouvrant successivement , l’un après l’autre, les doigts des deux mains, nous nous représentons une suite d'unités, depuis un jusqu’à dix ; c'est la numération. Si, après avoir compté jusqu'à dix, nous fermons successivement les doigts, les nombres décroîtront successivement d’une unité. Cette opération étant l'inverse de la numération , l’auteur l'appelle dénumération.

Afin de porter au delà de dix la numération par les doigts, il observe qu’il n’a qu’à prendre dix pour unité; et alors, en rouvrant successivement les doigts, il forme une suite qui s'étend jusqu’à dix fois dix, ou cent. De la même manière, il formera des suites qui s’étendront jusqu’à dix fois cent, ou mille, etc.

L'habitude rend la numération plus facile et plus rapide. Pour compter jusqu’à cing, par exemple , au lieu d'ouvrir successivement, l’un après l’autre, tous les doigts d’une main, on en ouvrira, je le suppose, deux tout d’un coup, puis deux encore, et puis un. Cette manière de numérer prend un nom particulier ; c’est l'addition , qui a son opération inverse comme la numération ; cette opération inverse est la souséraction.

On ne saurait faire beaucoup d’additions qu'on ne rencontre des nombres égaux à ajouter. Cette espèce d'addition est encore susceptible de s’abréger ; et alors elle prend le nom de multiplication, dont l'inverse est la division.

On voit sensiblement, d'après l'exposé de ces premiers progrès, que c’est la nature qui nous donne les premières leçons, et que le germe de la science du caleul est dans les doigts de nos mains. La multiplication, en

SUR LE RAISONNEMENT. 365 effet, n’est qu'une addition; l'addition n’est qu’une numération, et la numération est le premier calcul donné par la nature, le calcul des doigts.

Le dialecte des doigts est resserré dans des bornes extrêmement étroites, alors même que les nombres sont distingués par des noms. Comme il ne peut montrer que successivement toutes les parties d'une opération, il éxige une mémoire au-dessus de tous nos efforts.

Les doigts ne pouvant donc pas suffire à exécuter des opérations compliquées , dont le besoin se fait sentir, Condillac les abandonne pour ne conserver que les noms des nombres. Ici se fait un changement considérable, et dans la manière d'opérer qui s'étend beaucoup plus loin , et dans les idées des nombres qui, ne se rapportant plus aux doigts ni à aucune variation de ce dialecte, ne représentent plus d'objet réel, et deviennent générales.

Il traite avec ces signes de la formation des puissances et de l'extraction des racines, des fractions, des raisons, des proportions et des progressions. Il fait voir que toutes ces opérations ne sont, au fond, que celles qu'il a exécutées avec les doigts, et que toutes peuvent être comprises sous l'expression générale d’évaluation.

Mais bientôt les noms, à leur tour, commencent à manifester leur impuissance. Ils expriment mal les connaissances acquises ; ils ne font qu'avec peine, et longuement, les opérations nécessaires pour arriver à de nouvelles connaissances. Ce besoin de signes plus

si.

simples donne naissance aux chiffres et à l'algèbre.

À peine entrevus dans la nature ou dans l’anslogie, ces nouveaux dialectes deviennent les dépositaires des connaissances acquises avec le dialecte des doigts et avec le dialecte des noms. Pour apprendre une langue nouvelle, il faut d'abord ne lui faire dire que des choses que l’on sait. Condillac commence donc par traduire, dans les dialectes qu'il veut étudier, ce qu'il a appris avec les deux premiers dialectes. À l'instant, on sent avec évidence combien le raisonnement dépend du choix des signes, et l’on ne peut se défendre de la plus vive admiralion, en voyant avec quelle facilité des opérations qui demandaient la plus grande contention d'esprit se font, pour ainsi dire, d'elles-mêmes. Aussi ces nouveaux dialectes sont-ils proprement la langue des calculs.

Voilà tout ce que nous avons du travail immense que -Gondillac avait réservé pour occuper et pour remplir la fin de sa vie. Mais ce petit nombre de pages suffit pour attester à jamais le génie de leur auteur et la puissance de sa méthode, ;

Il n’est pas une seule de ces pages où l’on ne trouve quelque instruction, et, surtout, où l'on n'apprenne à s’instruire soi-même. L'esprit d'analogie qui en a tracé le plan, qui a trouvé les dialectes et leurs diverses mé-

.thodes, se montre jusque dans les moindres élémens de ces dialectes. 11 les corrige souvent, les refait quelquefois et lorsque , dans sa circonspection , il n'ose pas combattre des habitudes trop invétérées, il signale ces

habitudes comme causes d'erreur, ou comme obstacles à de nouveaux progrès,

Calcule-t-il avec des noms, il fait sentir les vices d'un dialectg où l’analogie des opérations disparaît sous des expressions qui elles-mêmes manquent d’analogie. ” Par ce défaut d'analogie'entre les noms, on est porté à voir dans les diverses opérations autant de méthodes différentes, et à perdre de vue l'opération fondamentale dont elles no sont que des perfectionnemens; on peut croire, par exemple, que la multiplication est tout à fait différente de l'addition, et que l'addition est autre chose que la numération. Aussi, voyez de quelle manière des mathématiciens , d’ailleurs très-habiles, ont défini la multiplication. C'est, disent-ils, wne opération par laquelle on trouve un troisième nombre, qui contient autant de fois le nombre à multiplier que le nombre multipliant contient de fois l'unité. Cette manière d'envisager la multiplication a sans doute son utilité; on-coaviendra cependant qu'elle pourrait être mieux placée qu'à. l'entrée d’un traité élémentaire de mathématiques.

Nous n'ignorons pas que cette définition est celle de Descartes et de Newton : mais qui pense que l’Arithmétique universelle de Newton et la Géométrie de Deseartes sont des ouvrages élémentaires?

. Si les noms des premières opérations du calcul avajent plus d’analogie: entre eux et :avec le calcul des doigts, on n’aurait pas besoin de chercher des définitions. On n’a pas besoin de demander ce que c’est que la dénuméralion, quand on sait en quoi consiste la

numération; et nous osons croire que, si la division avait reçu le nom de démuliiplication, ce nom seul aurait prévenu beaucoup de mauvais raisonnemens. Il aurait fait plus ; il nous aurait avertis que, faire une division, c’est défaire une multiplication ; et il aurait ainsi diminué les difticultés d’une opération qui em barrasse beaucoup les commençans.

Les expressions xombre, multiplier, diviser, quotient, puissance, renfermaient une espèce de contradiction avec les idées ou les résultats des opérations qu’elles désignent. Condillac fait voir que l’analogie nous commande de prendre ces mots dans deux acceptions différentes, et il dissipe les obscurités dont une mauvaise métaphysique les avait enveloppés.

Il parle des fractions comme d’une chose connue de tout le monde. Il ne voit dans les raisons, les proportions et les progressions, qu’une manière nouvelle de considérer les opérations les plus simples.

Il bannit du dialecte des chiffres ce qu’on appelle quantités eoncrèles, complexes et incomplexes. Ces mots, à peine français, sont tout à fait étrangers à un dialecte qui ne connaît que des termes abstraits.

Il dénonce au bon goût les parties aliquotes et les parties aliquantes, rejette les fractions exponentielles pour ne conserver que les exposans fractionnaires, et préfère raison carrée, cube, etc., à raison doublée, triplée, etc., parce que cette dernière manière de s’exprimer a besoin d’être expliquée, et que, lorsqu’on a déjà une dénomination, il n'en faut pas une nouvelle pour rendre la même idée.

Les signes du dialecte algébrique étant indéterminés, les résultats des opérations algébriques doivent aussi l'être nécessairement ; et l’on est conduit par l’analogie à des expressions qu'on ne trouve pas dans les autres

dialectes. Les mathématiciens avaient toujours confondu en une seule idée deux idées très-différentes, qui sont cachées sous ces expressions, savoir ; l'opération qu’on fait sur les quantités, et les quantités mêmes sur lesquelles on opère. Condillac s’étonne de trouver en algèbre des quantités qu'on ne retrouve dans aucune aulre langue, et bientôt il démêle ce qui jusqu'alors avait été confus. Il sépare les quantités de l'opération qui les ajoute ou qui les soustrait ; et cette distinction est un trait de lumière qui éclaire tout à coup une théorie jusque-là inexplicable, Il rejette l'expression quantité négative, la remplace par celle de quantilé en moins, de quanlité à soustraire ou de soustraction; et l'on voit tout de suite, non pas seulement que moins a retranché de plus a égale plus deux a; mais on voit encore avec évidence comment cela doit être, parce que soustraire une soustraction c’est ajouter, comme nier une négation c’est affirmer.

Cette explication, il est vrai, laisse quelque chose à désirer, elle laisse quelques points dans l'obscurité ; mais la constante méthode de Condillac est de ne répandre la lumière que graduellement, et ce n’est qu'en traitant des équations des degrés supérieurs qu'il devait compléter l'explication de la théorie des signes.

Une guantilé en moins ne pouvant jamais être une puissance d'un degré pair, il s'ensuit que moins a?

n'est pas un cârré, que moins a° n'esl pas une qua-— trième puissance. Par conséquent, racine carrée de moins a?, racine quatrième de moins a“ ne sont pas des racines, ni même des quantités. Cependant on avait donné à ces expressions le nom de quantiles imaginaires ; Condillac les réduit à n’êlre que des etpressions imaginaires. Il les appelle expressions, parce qu’elles ressemblent aux expressions qui signifient quelque chose, et ëmaginaires, parce que, dans le vrai, elles ne signifient rien.

S'agit-il d'exprimer les fractions décimales, ïl observe qu’un dixième, un centième, étant l'inverse ‘de dix, de cent , leurs expressions doivent être égale- .met inverses , et, puisque dix s'écrit 40, cent 160, un dixième doit s'écrire 04, un centième 001.

Mais pourquoi dix s'écrit-il par l'unité suivie d’un zéro,. en cette manière 10? Pour vons répondre, il va lui-même interroger l’analogie, et il s'adresse aux doigts. Dans ce dialecte, pour exprimer dix, il faut fermer le petit doigt et tenir ouvert le doigt suivant. Pour exprimer le même nombre avec des caractères, il suflit de copier ceux que la main nous offre: 1 représentera un doigt ouvert; 0 , que nous appelons zéro, représentera un doigt fermé ; et ces deux caractères, employés comme on le voit ici, 40, signifieront dix.

Toujours ses explications, ses réponses les plus inattendues, sont frappantes de simplicité et de lumière,

demandez-vous de fixer vos idées sur quelqu'une de ces expressions algébriques, qui semblent nous échapper par leur indétermination de, par exemple, c’est, vous dit-il, la traduction algébrique du mot fraction, c'est son synonyme.

Mais qu'est-ce que l'algèbre ? C'esé une langue dont les signes sont indéterminés : et cette définition, aussi belle que neuve, renferme celle de Newlon, qui, en appelant l'algèbre une arithmetique universelle, a plutôt énoncé une conséquence de la vraie définition qu'il n’a donné la définition elle-même.

La nature lui montre l’idée de l'unité dans chaque chose individuelle ; la première mesure de l'espace, dans nos pas, dans nos pieds, dans nos pouces; le modèle de la balance, dans nos bras, dont nos mains sont comme les deux bassins. L’analogie, fidèle aux leçons de la nature qui la devance toujours, et qui a déterminé les doigts à être les signes des unités simples jusqu’à dix, leur fait exprimer des wnitrs de différens ordres, trouve la progression décuple, les diverses méthodes qui en découlent, et découvre l’origine des chiffres.

La distinction des différens ordres d’unités doit remonlier aux temps les plus anciens. Les peuples guerriers, les peuples pasteurs, sentirent de bonne heure le besoin de faire le dénombrement de leurs troupeaux, ou des hommes de guerre. On dut par conséquent em- * ployer les doigts, ou quelqu’une des variations de leur dialecte, à compter par dizaines, par centaines, par

mille, etc., comme on s'en était servi naturellement pour compter des unités simples.

Or, de ces deux idées, dont l'une est donnée par la nature et l’autre par l’analogie, doit naître, plus tôt ou plus tard, l’idée de faire exprimer aux doigts différens des unités de différens ordres, d’exprimer, avec le petit doigt, des unités simples, avec le suivant des unités de dizaines, etc. C'est ainsi, du moins, qu’on a pu arriver à cette idée heureuse, et cela suffit, dit Condillac ; car il importe bien moins de connaître le plus long chemin qu'ont suivi les inventeurs, que le plus court qu'ils auraient pu suivre.

Mais cette découverte qui nous est suggérée par les leçons réunies de la nature et de l’analogie, on peut la voir encore immédiatement dans la nature, soit qu’on la cherche dans le dialecte des doigts ou des cailloux, à une époque antérieure à l'invention de l'écriture, soit qu’elle n'ait été faite qu'après l'introduction des caractères.

On conçoit, en effet, qu'après avoir distribué les unités en différens ordres il était naturel, pour se souvenir des grands nombres qu'on avait calculés, d’appeler les doigts au secours de la mémoire. Pour se souvenir, par exemple, du nombre cinquante-trois mille quatre cent trente-deux, on aura dit en cinq fois, cinq dizaines de mille, trois mille, quatre centaines, trois dizaines, deux unilés simples. Jusque-là on ne voit, à la vérité, que la distinction des ordres ; mais je suppose, ce qui n'aura pu manquer d'arriver, qu'on ait eu besoin des nombres onze, ou cent onse,

ou mille cent onze, ou onze mille cent onze : pour exprimer onze mille cent onze, on aura dit, une dizainé de mille, un mille, une centaine, une dizaine, une unilé simple ; et alors , au lieu de n’employer qu’un seul doigt qu’il aurait fallu ouvrir et fermer cinq fois de suite, ce qui aurait pu tout confondre, ou aura dit, #ne dizaine de mille en ouvrant le pouce ou le petit doigt, un mille en ouvrant le doigt suivant, et ainsi de suite. Or, les cinq doigts étant ouverts, et, le premier représentant une unité simple, le suivant une dizaine, et les autres successivement les ordres suivans, lexpression de la progression décuple était sous les yeux : il ne fallait que regarder. C’est donc sans projet, et uniquement par l’inspiration de la nature, que cette expression a été, ou du moins qu’elle a pu étre trouvée.

Cette découverte sort encore du calcul avec les cailloux, et elle s’y montre plus sensiblement que dans le calcul avec les doigts. Car, ayant placé les unités simples dans un tas, les dizaines dans un autre, etc., il est naturel de disposer ces tas sur une même ligne pour en faire plus facilement le compte ; et, dès lors, on ne tarde pas à lier les centaines avec le troisième rang , les dizaines avec le second, et les unités simples avec le premier.

On la voit aussi se présenter d’elle-même après l’invention des caractères : car, ayant exprimé, par exemple, quatre centaines, trois dizaines, cinq unîlés simples, ou 4 centaines, 5 dizaines, 5 unités simples, on aura dû, pour abréger, écrire 4 c.,

L sa

3 d., 5 1, ou bien, pour saisir plus facilement la valeur, 4° 5° 5'; et l’on conçoit-que l'habitude de rapporter les centaines au troisième rang, les dizaines au second , et les unités simples au premier, aura bientôt rendu inutile l’annotation de l'ordre.

Ce n’est point assez d’avoir fait disparaître les taches qui gâtaient la belle langue des calculs, et d'avoir montré. l'origine de ses diverses méthodes. Il faut trouver l’origine de la langue elle-même.

Si les chiffres arabes, dont l’origine indienne se perd dans la nuit des temps, sont trop défigurés pour qu'on puisse reconnaître leur forme primitive, les chiffres romains sont une preuve évidente que c'est l'analogie qui les a dictés. Un, deux, trois, quatre, sont représentés par L, Il, 11, INT, images visibles d’un, de deux, de trois, de quatre doigls levés. Cinq est représenté par le caractère V, copie du pouce et de l'index levés : et l'on ne voit pas seulement une copie du langage des doigts dans la forme de ces caractères ; ils nous apprennent encore qu'aneiennement les Romains, ou les peuples dont ils avaient emprunté ces caractères, et qu’on croit être les premiers Grecs, les Pélasges, avaient adopté la progression quintuple, puisque, après avoir compté jusqu'à cing, ils recommençaient en disant cing et un, cinq et deux, VA, Nil, jusqu’à dix, dont la forme X exprime deux cinq.

L'origine de l'algèbre pouvait être comparée aux sources du Nil. Condillac la trouve dans le ealcul avec les cailloux, lorsque Fusage de quelques caractères, tels que ceux de l'alphabet, se fut introduit. Alors, on

se servit probablement de cès earactères pour distinguer les cailloux ; et, en conséquence, ou en grava sur chacun. On dit donc le eaillou a, le caillou b, le caillou ce; bientôt, pour abréger, on dit simplement «a, b,c:et, de la sorte, ayant substitué naturellement, et sans l’avoir projeté, des lettres aux cailloux, on eut le commencement d’un nouveau dialecte ; et l'algèbre prit naissance.

Ainsi, tout se découvre, tout s'explique, lorsqu'on est docile aux leçons de la nature et de l’analogie. On n'explique rien, ou, ce qui est pire, on explique tout mal, quand on s'y refuse ou qu'on les dédaigne. Ne commencez donc pas vos traités par le dialecte des chiffres : commencez comme les inventeurs, qui ont compté d'abord avec les doigts, et avec les noms ; et vous trouverez dans ces deux premiers dialectes, et les chiffres, et l'algèbre, et toutes leurs méthodes.

Ce n’est qu'après avoir rétrogradé vers les idées fondamentales, point de départ de la science, qu’on peut la parcourir tout entière. Ici, les pas en arrière, lorsqu'ils sont bien réglés, sont les vraies quantités posilives : si vous les négligez, les pas en avant seront bientôt réduits à zéro.

« Si les inventeurs observaient comment ils font des

découvertes, ils sauraient comment ils peuvent en faire

encore. Alors ils verraient que, lorsque l’analogie les conduit, elle les conduit bien, et que, par conséquent, c'est à elle seule à les conduire ; mais lorsqu'ils n'ont pas assez étudié cette analogie, s'ils la suivent, c’est

souvent à leur insu; et dès lors, il est naturel qu'ils ne la suivent pas toujours. Voilà pourquoi, après avoir avancé à pas de géant, on les voit s’arrêter tout à coup, laisser échapper des découvertes faciles, ou s’égarer dans des détours longs et fatigans!. »