CHAPITRE XVI

Observations sur les méthodes que nous avons trouvées.

Je l’ai déjà répété, et je le répéterai encore, c’est la nature qui est notre premier maître. D'où je conclurai que l'unique moyen d'inventer est de faire comme elle nous apprend à faire.

La première méthode du calcul est dans les doigts de nos mains: toutes les autres méthodes viennent de celle-là , ou plutôt elles ne sont que cette première méthode, qui se transforme pour devenir successivement chacune d’elles. Car, si les signes changent, l’analyse est toujours la même, et elle se fait avec des chiffres et avec des lettres, comme elle se fait avec les doigts. Mais, parce que les signes différens ont été trouvés dans des temps différens, on traite les méthodes qui se font avec différens signes, comme si elles étaient autant de méthodes tout-à-fait différentes. On ne voit donc plus d’analogic entre elles, et voilà pourquoi nos livres élémentaires paraissent si souvent faits de pièces et de morceaux.

En effet, quand on ne voit pas cette transformation dont je parle, chaque méthode nouvelle paraît plus nouvelle qu’elle ne l’est, O1 la traite donc avec de nou-

veaux principes : on nous force à faire des études qui ont à peine quelques rapports avec celles que nous avons faites ; et nous ne trouvons tant de difficultés à nous instruire, que parce que les maîtres en trouvent beaucoup à se faire entendre.

Alors jugeant des méthodes par les efforts que nous faisons pour les comprendre, nous nous imaginons que les inventeurs ont fait de grands efforts eux-mêmes, et qu’ils ont eu une métaphysique fine, subtile, à laquelle il est bien difficile d'atteindre. Nous nous trompons : ils en avaient une meilleure. Elle était simple, aussi simple que celle que nous avons employée; et elle ne demandait point d'efforts, parce que la bonne métaphysique n’en demande pas. Elle ne vous apprend que ce que vous faites naturellement, et vous la sauriez mieux que Locke, si vous saviez vous observer.

Si, pour découvrir la métaphysique du calcul, j'ai commencé par observer coffiment nous calculons avec les doigts, c’est que j'ai pensé que le germe de la métaphysique des inventeurs, est là, ne peut être que à; et c’est avec la confiance que me donne celte vérité, que j’ai osé entreprendre de les suivre dans leurs découvertes, et de les refaire d’après eux. Cette entreprise, dans laquelle je me suis engagé, lorsque je n'avais encore aucune connaissance de l'algèbre, paraîtra sans doute téméraire de ma part : mais je prie le lecteur de suspendre son jugement, et d'observer la marche que je tiendrai.

Parce que nous avons dix doigts, nous comptons par dizaines. Un peuple qui en aurait six à chaque main,

LA LANGUE DES CALCULS. 433 compterait par douzaines; et il compterait par vingtaines, si à chaque main il avait dix doigts. On peut faire à ce sujet tout autant de suppositions qu’on voudra.

Mais quelques suppositions qu’on fasse, les méthodes du calcul, toujours les mêmes au fond, ne paraîtront différentes qu’à ceux qui les observeront superficiellement. Qu'importe en effet de compter par dizaines, par douzaines, par vingtaines ; si toujours, d'après les mêmes règles, on fait les mêmes opérations ? Tout l’art consiste à ouvrir et à fermer les doigts dans différens ordres, ce qui s'exécute de la même manière, quel qu'en soit le nombre.

Aux doigts on substitue d’autres signes, qui tant plus simples les uns que les autres, portent la méthode à différens degrés de simplicité. Or, en considérant la méthode par rapport à ces degrés, on en distingue d’autant d'espèces, qu’on imagine de moyens propres à la simplilier de plus en plus : mais il faut toujours se souvenir que ces espèces ne sont, dans le principe, qu’une seule et même méthode.

L'invention de ces moyens, voilà donc ce qui fait toute la perfection des méthodes. Or comment les inventer ? Je réponds que nous irons du connu à l'inconnu, comme noûs allons dans toutes les découvertes que nous sommes capables de faire. C'est aïnsi que se sont conduits les inventeurs. Ils peuvent nous cacher le chemin qu'ils ont tenu ; il se peut aussi qu’ils l’aient quelquefois suivi à leur insu ; mais il n’y en a pas deux :

ainsi, soit qu’ils le cachent, soit qu’ils ne sachent pas le montrer, ils ont tous suivi le même.

Donc si nous savons observer, nous apprendrons, comme eux, à simplifier ; et, en simplifiant, nous ar— riverons de proche en proche aux découvertes les plus éloignées. Car, et je l’ai déjà dit, l’analogie qui fait les langues, fait les méthodes, et la méthode d’invention ne peut être que l’analogie même. Il est donc évident que les moyens que la nature nous a donnés, étant les premiers connus, doivent nécessairement conduire à tous ceux qu’on a inventés, si nous raisonnons pour trouver ceux que nous ne connaissons pas encore, comme nous avons fait pour trouver ceux que nous connaissons. Mais ce qui est bien capable de nous arrêter, c’est que nous summes assez ignorans, ou assez vains pour nous flatter, et surtout pour vouloir faire penser, que nous arrivons aux découvertes en franchissant de grands intervalles; et: cependant il faudrait, avec plus de jugement, avoir l’humilité de croire et de laisser croire que notre esprit ne franchit jamais rien.

Toutes les méthodes ont donc été trouvées de la même manière, La dernière qu’on découvre, nous approche d’une autre qui est à découvrir; et par l’analogie qui est entre elles, il semble qu'on ne voie dans toutes qu’une main, dont les doigts s'ouvrent et se ferment.

On n’aura de la peine à saisir cette vérilé, que parce que en général nous ne connaissons pas assez notre esprit. Nous n’en savons pas apprécier les forces, et nous ne nous doutons pas des moyens qui peuvent les ac-

croître. Ce dout nous aurions surtout besvin, c'est une méthode qui nous apprit à le régler. Alors il me semble que tout ce qui nous serait possible, nous deviendrait facile. Faut-il s'étonner, qu'avec des télescopes on ait découvert les satellites de Jupiter ? Or une bonne méthode est un télescope, avec lequel on voit ce qui échappait à l'œil nu. Voilà à quoi les inventeurs doivent tout; et c’est proprement la méthode qui inveate, comme ce sont les télescopes qui découvrent.

Les géomètres penseroni sans doute que j'ai fait commencer beaucoup trop lôt l'analyse et l'algèbre ; mais il est certain qu’ils les font commencer eux-mêmes beaucoup trop tard. Ils regardent communément comme inventeurs de ces méthodes, ceux qui les premiers en ont donné des traités. 1l serait tout aussi raisonnable de penser que les premiers grammairiens ont été les inventeurs des langues.

Quoique les hommes raisonnent communément assez mal , il faut convenir que, dans le temps même de la plus grande ignorance, ils faisaient quelquefois de bons raisonnemens ; et, à l’origine des premières sociélés, ils ont mieux raisonné que nous ne faisons aujourd'hui. Premièrement ils avaient le plus grand intérêt à ne pas se tromper, parce que les connaissances, dont ils avaient besoin, étaient pour eux de la première nécessité. En second lieu, tout, jusqu’à leur ignorance, leur faisait sentir que l’observation pouvait seule leur donner ces connaissances ; et s’il leur arrivait d’avoir observé superficiellement, lexpérience, qui les averlissait bicntôt de leurs erreurs, les ramenait à de,

nouvelles observations, et les formait peu à peu dans l’art de raisonner. Ils apprenaient donc à résoudre des questions, et par conséquent ils apprenaient l'analyse.

Mais, dira-t-on, cela peut être vrai d'une analyse métaphysique, et il s’agit ici d’une analyse mathéma-— tique. Je réponds que je ne connais qu’une seule analyse ; et que je ne sais pas ce qu'on veut dire, quand on en distingue de plusieurs espèces.

À la vérité le mélaphysicien et le mathématicien ne tiennent pas le même langage, lorsqu'ils analysent; et, parce qu’ils ne tiennent pas le même langage, on a cru qu'ils ne font pas la même chose.

Il ya, comme nous-lavons vu, deux procédés dans l'analyse mathématique : par le premier on raisonne sur les conditions d’un problème, on n’en oublie aucune, et on le traduit dans l'expression la plus simple ; par le second, on va d'équation en équation jusqu’à la solution qu'on cherche.

- Il y a également deux procédés dans l’analyse métaphysique : par le premier on établit l’état de la question, c’est à dire, en d’autres termes, qu’on raisonne sur les conditions, qu’on n’en oublie aucune, et qu’on les traduit dans l'expression la plus simple; par le second, on va de proposition identique en proposition identique jusqu’à la conclusion qui résout la question, cé qui est encore, en d’autres termes, aller d’équation identique en équation identique jusqu’à l’équation finale.

L'analyse métaphysique et l’analyse mathématique ‘sont donc précisément la même chose, et par con-

séquent elles ne sont qu’une seule et même analyse, Seulement il faut remarquer que par la nature des idées, ou plutôt par la nature de nos langues qui, sur toute autre chose que les nombres, ne nous donnent que des notions mal déterminées, l’analyse est infiniment plus difûcile en métaphysique qu'en mathéma-— tiques. Mais enfin, dans l’une et l’autre science, on fait la même chose toutes les fois qu’on analyse, si l’on analyse bien.

L'analyse est donc aussi ancienne que les commencemens de l’art de raisonner : elle remonte à nos pre mières connaissances ; et, à proprement parler, elle n’a point eu d’inventeur, paroe que c’est la nature qui nous en a donné les premières leçons.

Nous ne pouvons pas même douter qu’on ne l'ait appliquée de bonne heure à des questions purement mathématiques : car de pareilles questions s’offraient d'elles-mèmes parmi des citoyens qui avaient des intérêts à régler. Maïs, parce qu’alors elle ne se faisait pas encore avec des signes algébriques, et qu’en ma-— thématiques, comme en métaphysique , elle ne pouvait se faire qu’avec des phrases de mots, les géomètres ne voient point d'analyse dans ces temps reculés, où ils ne voient point d’algebre ; et l’on n’en sera pas étonné, si l’on considère qu’ils confondent volontiers ces deux choses. | |

Il est donc démontré que je n’ai pu faire commencer l'analyse trop tôt. L’algèbre est sans doute postérieure : cependant je la crois plus ancienne qu’on ne pense, On a dû la chercher, aussitôt que des questions trop

compliquées ont fait sentir le besoin de substituer, à de longues phrases, des signes simples, et propres par leur indétermination à exprimer des quantités de toute espèce. Si l'analyse n’a point eu d’inventeurs, l'algèbre en a eu plusieurs à la fois, ou en différens temps : mais, parce que chacun d’eux faisait un mystère de sa méthode ; il est arrivé que l'algèbre a paru récente, quoique les algébristes fussent anciens. Il ne faut done pas croire qu’elle n'ait commencé que lorsque des traités l'ont rendue publique. | ,

Il est vrai que c’est ainsi que nous l’avons connue, parce que nous l'avons apprise des Arabes, et que, si nous lavons perfectionnée, nous ne l’avons pas inventée. Il paraît que parmi les philosophes grecs, quelques-uns ne l’ignoraient pas. Ils pouvaient l'avoir trouvée, comme il est vraisemblable qu'on l'avait trouvée avant eux : mais ils ne l'ont pas enseignée publiquement. | |

Au reste l'algèbre a été dans tous les temps ce qu’elle est aujourd’hui, je veux dire l’art de substituer, dans le calcul, des signes indéterminés à de longues phrases : il ne peut pas y en avoir deux. Il est vrai que les opérations peuvent se faire avec des signes différens : mais la différence des caractères ne fait rien à la chose, c'est leur indétermination qui constitue Pal gèébre. :

J'ai supposé qu’on a tout à coup désigné, par de pareils caractères, les connues comme les inconnues, et cependant cet usage est tout à fait nouveau parmi nous. Mais il faut remarquer que la méthode d’inven-

tion a une marche plus rapide que les inventeurs. Pour en juger, il ne faut pas observer comment on a fait une découverte, it faut plutôt observer comment où la pu faire. Or dès qu’on a vu qu’on se débarrassait de longues phrases, en désiguant les inconnues par des signes simples, on a pu remarquer aussitôt, quoique peut-être on l'ait fait plus tard, qu'on se débarrasserait d'autres phrases encore, si l’on désignait toutes les connues par de pareils signes ; et je le suppose parce que analogie conduisait naturellement de lun à l'autre. On trouvait même dans ce nouvel usage, un avantage qu'on pouvait n'avoir pas prévu : c'est qu’un seul problème résolu donnait la solution de tous les problèmes semblables.

J'ai supposé encore qu’on a su de bonne heure exprimer avec les doigts des unités de différens ordres, et je l'ai supposé, parce que l’analogie y conduit d’ellemême. Car dès que nos dix doigts nous font contracter l'habitude de compter par dizaines, tout aussitôt, ils nous font remarquer des unités de différens ordres. Or puisque nous n’avons compté jusqu’à dix, que parce que chaque doigt a été le signe d’une unité simple ; pourquoi, lorsque nous connaissons des unités de différens ordres, chaque doigt ne deviendrait-il pas le signe d’une unité différente ? pourquoi n’imaginerais-je pas d’exprimer avec le petit doigt des unités simples, avec le suivant des unités de dizaines, et ainsi de suite? L'une de ces inventions ne mène-t-elle pas à l’autre ? Au moins ne niera-t-on pas qu’on att -pu commencer ainsi, Cela me suffit, et je suis en droit de le supposer :

car il m'importe bien moins de connaître le plus long chemin qu'ont pris les inventeurs, que le plus court qu ils auraient pu prendre.

Si les inventeurs observaient comment ils ont fait des découvertes, ils sauraient comment ils en peuvent faire encore. Alors ils verraient que, lorsque l'analogie les conduit, elle les conduit bien, et que par conséquent c’est à elle seule à les conduire. Mais lorsqu'ils n’ont pas assez étudié cette analogie, s'ils la suivent, c’est souvent à leur insu, et dès lors il est naturel qu'ils ne la suivent pas toujours. Voilà pourquoi, après avoir avancé comme à pas de géant, on les voit s'arrêter tout à coup, laisser échapper des découvertes faciles, ou s’égarer dans des détours longs et fatigans.

C'est à l’analogie à nous découvrir toutes les mé-— thodes qu'il est possible d’inventer ; et c'est à quoi nous ne réussirons, qu'autant que nous passerons d’une méthode analogue à une méthode analogue, sans nous piquer jamais d'en franchir aucune.

Or si les opérations, quand on calcule, se font sur les idées, ce sera dans l'analogie des idées mêmes qu’il faudra chercher les méthodes : au contraire, il faudra chercher les méthodes dans l’analogie des signes, si c’est sur les signes que se font les opérations.

Mais j'ai fait voir que les opérations ne se font que sur les signes ; et l’algèbre en est une preuve bien évidente. En effet qu’on nous donne une équation, telle que x+a—b=—=c, nous la transformerons, sans avoir besoin de savoir ce que signifient les lettres dont elle est formée. Si nous le savons, nous n’y penserons pas ;

et ce ne sera qu’après l’opération faite, que nous sub— stituerons aux lettres leurs valeurs. Voilà pourquoi j'ai dit que toutes ces opérations sont purement méca— niques. |

Il en est de même, lorsque le calcul se fait avec des chiffres. Il est vrai qu’alors nous croyons, avec fondement, opérer sur autre chose que les chiffres, parce qu’en effet nous opérons en même temps sur les noms que nous avons donnés aux nombres, et auxquels nous sommes dans l'habitude de penser : mais ces noms, comme les chiffres, ne sont que des signes.

Sans doute que, lorsque nous avons opéré sur les signes, nous avons les mêmes résullats que si nous avions opéré sur les idées mêmes, et voilà ce qui nous fait illusion. Mais en arithmétique comme en algèbre, nous ne pensons aux idées qu'après que le calcul est achevé. Qu'on me propose, par exemple, de partager cent livres entre dix ouvriers. Que diviserai-je? Cent livres par dix ouvriers ? Que signifierait ce langage : Diviser des livres par des ouvriers ? Cependant je ne me repré— sente ici l’idée de cent que dans cent livres, et l’idée de dix que dans dix ouvriers ; el par conséquent, lorsque pour diviser, je laisse les ouvriers et les livres, il ne me reste plus que les mots cent'et dix. Il est vrai que, parce que ces mols sont des signes généraux, nous les appelons par extension idées génèrales, et cela prouve que ce ne sont proprement que des signes. Il est donc démontré qu'avec quelques signes que se fas— sent les calculs, les opérations en sont toujours mécaniques.

On conclura peut-être, et on croira me faire une vbjection, que les idées générales de la métaphysique ne sont pas proprement des idées, qu’elles ne sont que des signes, et que par conséquent les raisonnemens d’un métaphysicien sont des opérations mécaniques, comme les calculs d’un mathématicien, Cela est vrai : personne n’est plus convaincu de cette vérité, que mon expérience me confirme tous les jours. Je sens que, lorsque je raisonne, les mots sont pour moi ce qüe sont les chiffres ou les lettres pour un mathématicien qui calcule ; et que je suis assujetti à suivre mécaniquement des règles pour parler et pour raisonner, comme il l’est lui-même à faire l'équation x—6 -a, quand il a fait l'équation x + a — b. Quant aux métaphysiciens qui croient raisonner autrement, je leur accorderai volontiers que leurs opérations ne sont pas mécaniques : mais il faudra qu'ils conviennent avec moi, qu’ils raisonnent sans règles.

Qu'on emploie à la solution d’un problème mathématique des signes algébriques, ou des mots, l’opération est toujours la même. Or si l'opération est méca— nique daus un cas, pourquoi ue le serait-elle pas dans l’autre ? et pourquoi ne le serait-elle pas encore, lorsqu’on résout une question mélaphysique.

Certainement calculer c’est raisonner, et raisonner c'est calculer : si ce sont là deux noms, ce ne sont pas deux opérations. Avec des signes algébriques, le calcul et le raisonnement ne demandent presque point de mémoire : les signes sont sous les veux, l'esprit conduit la plume, et la solution se trouve mécaniquement.

Lorsque les raisonnemens et les calculs se font avec des mots, c’est alors surtout que la mémoire devient nécessaire, et souvent nous n’en avons pas assez. Elle ne peut offrir à la fois et distinctement tous les signes sur lesquels nous avons à opérer : elle ne les retrace que lun après l'autre, avec plus ou moins d'efforts, suivant que les raisonnemens ou les calculs sont plus ou moins compliqués ; et, parce que nous faisons nousmêmes ces efforts, nous croyons sentir que notre esprit se conduit comme il lui plaît, et nous ne sentons pas qu’il est conduit. Cependant il ne fait bien, qu'autant qu’il obéit aux lois que la nature lui prescrit.

En effet que la mémoire retrace une longue suite d'idées, ou que l'algèbre les mette à la fois sous les yeux, raisonner, comme calculer, c'est toujours conduire son esprit d’après des méthodes données, d’après des méthodes qu'il n’est pas arbitraire de suivre ou de ne pas suivre , et par conséquent d’après des méthodes mécaniques. Voilà ce que nous ignorons : on dirait que nous voulons avoir la liberté de juger, à notre cho, qu’une chose est ou n’est pas ; el nous n'abusons jamais plus de notre libre arbitre, que lorsque nous croyons raisonner. Nous n’en abuserions jamais, si nous raisonnions toujours bien.

J'ai traité ce premier livre en grammairien, parce que l’algèbre n’est qu’une langue ;-et les bons géomètres m’approuveront sans doute. Je pense encore qu'on recounaftra que les langues ne sont. que des méthodes analytiques plus ou moins parfaites; et que, si elles étaient portées à la plus grande perfection , les sciences parfaitement analysées, seraient parfaitement connues

de ceux qui en parleraient bien les langues. Créer une. science, n'est donc autre chose que faire une langue, et étudier une science n’est autre chose qu’apprendre une langue bien faite. La lecture de cet ouvrage convaincra sensiblement de cette vérité : car on verra les mathématiques se former, à mesure que la langue se formera elle-même. Ce premier livre, où elle com— mence, suffirait pour en convaincre, |

En effet, ayant considéré une main dont les doigts s'ouvrent et se ferment successivement, nous avons substitué à ce langage les noms de nwmération et de dénumération.

À ceux-ci nous avons substitué ceux d’addition et de soustraction, de multiplication et de division : opérations qui sont, au fond, les mêmes que les deux premières, qui n’en diffèrent que par les différentes vues de l'esprit.

Lorsque nous avons expliqué .la formation des puissances , l'extraction des racines, le calcul des fractions, les propriétés des proportions et des progressions , les évaluations, nous n’avons fait que changer de langage pour traiter, sous de nouvelles vues, de l’addition et de la soustraction, de la multiplication et de la division.

Les noms de produit, multiplicande, multiplicateur, que nous avions employés dans les multiplica— tions, ont été changés, dans la division, en ceux de dividende, diviseur et quotient.

Dans les fractions, le dividende est devenu un numérateur, et le diviseur un dénominateur.

Enfin, dans les proportions et progressions géométriques, le numérateur et le dénominateur sont devenus

eux-mêmes l’antécédent et le conséquent, et le quotient est devenu la raison. C’est ainsi que l’art du calcul commence à se former, et on juge qu'il doit s’achever avec la langue.

Ce que nous avons observé jusqu’à présent, suffit pour faire comprendre que la perfection de cette langue consiste dans la plus grande simplicité. C’est l’analogie qui nous conduit d’un langage à un autre, et elle ne pous y conduit que parce que le nouveau que nous adoptons dit au fond la même chose que l’ancien auquel nous le substituons. De même elle ne nous conduit de méthode en méthode, que parce que chacune est dans celle qui la précède, et qu’elles sont toutes dans le calcul avec les doigts. Pour en découvrir de nouvelles, nous n’aurons donc qu’à observer celles que nous avons déjà trouvées.

Ainsi le commencement de toutes les connaissances que nous pouvons acquérir, est dans les notions les plus communes. C’est là que se trouve tout ce que les métaphysiciens et les mathématiciens ont découvert, et tout ce qu'ils découvriront, Ils commencent avec l’ignorance de tout le monde : mais ils ne parlent pas comme tout le monde, et, par cetle raison, ils voient ce que tout le monde ne voit pas. Voilà toute la différence entre l’ignorant et l’homme instruit ; et un philosophe serait bien savant, s’il voyait tout ce qui est dans les notions communes. -