CALCUL DE L'ACTION RÉCIPROQUE DE DEUX FEUILLETS
Cherchons pour faire ce calcul l'action d'un élément ds du premier feuillet sur un élément ds' du second.
Portons l'origine en ds' {fig- 184) et prenons la direction de
Fig. 184.
ds' pour axe des x : faction /' résultant de ds est dans le plan zoy ^ sa composante d^ sera donc nulle, et nous aurons
dr{ = S'F ds' sin çp' cosô, c/;'= tF ds' sin o' sin 6
ou
di' = o,
dr^'r^tZds',
dli'=-fYds';
remplaçant Y et Z par leurs valeurs Urées des formules (4), il vient
en remarquant que l'on a
y dx — X dy
ces formules (5) représentent raclion de tout le feuillet M sur un élément ds^ du feuillet M'.
On peut donc, d'après cela, représenter l'action d'un élément ds du feuillet M sur un élément ds! du feuillet M' par une force/ dont les trois composantes auront pour valeurs respectives
I/r=0, f^=.-§tds'^^dU\ •'^ r» \x J
f,^-^g'ds'^d(±Y •' r» \x/
Remarque, — Nous pouvons ajouter à ces composantes des diiTérentielles exactes des coordonnées ^, JK> -3, puisque leurs intégrales, étendues au contour entier du feuillet M, seront nulles.
Soient 0, S, W des fonctions de x^y^ z : nous pouvons ajouter ^/x,/xj fz respectivement les différentielles rfS, rf0, d"^ et nous aurons ainsi
/ f:c=:^fds'{d^),
Cas où la force est dirigée suivant la droite OM. — Nous pouvons profiter de l'indétermination des fonctions S, 0, W pour imposer à la force/une condition, par exemple celle d'être dirigée suivant la droite qui joint les deux éléments ds et 6^/.
294 ÉLECTRICITÉ DTNAHIQCE.
Celte condition géométrique se traduit analjtiquement par les équations
nous portons ces conditions dans les équations (8) : il vient
ou
M^y^dE-\-—d(
ii)
et, par suite,
Il faut, pour que l'opération que nous avons faite soit légitime, que les seconds membres de ces deux dernières équations soient des dîfTérentielles exactes d'une fonction des coordonnées j:,^', z\ il faudra donc que l'on ait
(a) rfS=d(2l),
ce qui nous donne, par suite, en remplaçant e/S par sa valeur et en se rappelant la formule de la différentiation d'un produit,
w "*"l''(S)-f''(f)-''(|xS)-'(?:).
<«> *-HS)*S''(î)-<;><S)-^(ï)-
Remplaçons, dans les formules (8), rfS, rf0, ûWpar leurs valeurs (a), (6), (c), et il vient
pour déterminer la force / elle-même, nous remarquerons que l'on a
ce qui donne, en remplaçant/^ par sa valeur (9),
effectuons la différentiatîon et les opérations indiquées, il vient
(dx dr\ x r I
f^-J^id..
et, en prenant les dérivées par rapport à ds^
^ 1^:^' ds' /dx 3 ^ dr\.
Remarquons maintenant que, si nous appelons X et )/ les angles des éléments ds et ds! avec OM, et e l'angle de ds avec c/^, nous aurons
dx = ds co^Zy
et = /• cosX',
dr = ds cos\,
ce qui nous donne, en déOnitive, pour expression de la force élémentaire /, exercée entre deux éléments de contour de deux feuillets M et M', en remarquant que, si nous admettons que cette force soit répulsive, il faut en changer le signe.
7,Tf:^' d^ds'
l cose cosX cosX' 1.
Transformation de l'expression précédente. — L'expression (10) que nous venons de trouver p. ^gpour valeur de l'action élémentaire de deux éléments de contour se prête mal à l'évaluation du travail : nous allons la transformer en conséquence.
Soient {fig' i85) S, S' les contours des deux feuillets, sur chacun desquels nous considérons des éléments ds^ ds' .
Soient O et (y les points fixes des deux contours qui seront des points origines des arcs. Nous avons
296 ÉLECTRICITÉ DYNAKIQUB.
d'après la figure, en appelant r la distance PP',
^ dr ^, dr
ds ds
Soient P' et V" les extrémités de l'élément ds. Abaissons de ces points des perpendiculaires P'Q', P"Q" sur la tangente en P, nous avons
FQ'=rcosX,
PQ' = r cosX H —j-, — ^ ds';
as
d'où, en retranchant,
mais, d'autre part, e étant l'angle de deux éléments, nous avons
Q'q'^ds'cost;
donc
c?(rcosX) ,, ,,
ds = ds co
ds'
d*où nous tirons
d(rcos\)
COSE = ri
ds
Remplaçant cos)^ par sa valeur,
''('•£) dr
dr d^ r
ds' ds ds' ds ds"
en substituant cette valeur dans l'expression de/, il vient
i§tdsds' /dr dr^ d^r ^ dr dr\
/•2 \ds ds' ds ds' 2 ds ds'/
f— "i^^' dsds' / d^r __ 1 dr dr\ ^ ~~ ~ r* V dsds' 2 ds ds'/'
Pour trouver une forme plus commode de cette expression, remarquons que l'on a
ds ds' 'xJ~r ds ds' ^ ;. J~j^ ds ds'
d'*'\fr \ / <5?* r \ dr dr\ ds ds' ^^ ^P J^\ ds ds' 2 ds ds ) *
FEUILLETS nAGNfiTlQUES. 297
remplaçons et nous aurons, en définitive.
•^"" ^r dsds''
