AU
A étant une constante qui dépend du moment magnétique de Taiguille.
On la fait ensuite osciller sous l'action simultanée de la Terre et des courants, successivement à deux distances /et P. On a deux nombres d'oscillations différents, n, n, pendant le même temps que pour la première expérience. Soit o l'action du courant : nous
aurons donc
71* =^ A(H -h 9), /i'« = A(H -h cp');
302 ÉLEGTRIGITfi DYNAMIQUE.
d'où nous lirons
çp __ /i' — p*
et Texpérience montre qu'on a toujours ? __ '^^ — P^ ^ il résulte de là
D'ailleurs, on peut vénfier que l'action d'un courant est proportionnelle à son intensité; on a donc, pour l'action d'un courant sur une niasse magnétique m placée à la distance /,
kim
k étant un coefficient constant.
Donc V action d^un courant rectiligne indéfini sur un pôle magnétique varie en raison inverse de la distance du pôle au courant: elle est normale au plan passant par le courant et le pôle, et dirigée vers la gauche du courant.
En substituant au courant rectiligne un courant angulaire 1 {fig* 187 bis)^ placé de façon que son plan soit perpendiculaire au méridien magnétique et que sa bissectrice passe par le milieu de l'aiguille aimantée aè, Biot et Savart ont reconnu que la force électromagnétique était proportionnelle directement à l'intensité du courant, inversement à la distance de l'aiguille au courant, et variait avec l'angle A d'après la formule
F= Klang-.
175. - POTENTIEL ËLEGTR0HA6NËTIQUE. Nous allons maintenant démontrer le théorème suivant : Le potentiel produit par un courant fermé, en un point P oit se trouve placée V unité de magnétisme positif , est proportionnel à V angle solide sous lequel on voit, du point P, le contour du courant considéré.
Pour cela, nous allons démontrer le théorème, d'abord pour un courant rectiligne indéfini, puis pour un courant angulaire, enfin pour un courant fermé triangulaire : nous étendrons alors le résultat au cas d'un circuit de forme quelconque, plan ou gauche.
élbctromàgnétismb.
1° Courant rectiligne indéfini. — Dans ce cas, les lignes de force sont des circonférences concentriques.
Prenons {Jig. 188) le courant pour axe des z et pour plan des
Fig. i83.
xy un plan perpendiculaire passant par le point P où se trouve située Puni lé de magnétisme positif. D'après les lois que nous venons de voir, le courant tendrait à faire tourner le point P autour de o. Soit P' une nouvelle position de P : le travail élémentaire serait
cm --- © X PP',
o étant Faction du courant. Appelons / la distance Po : la variation de l'angle a étant rfa, on a
PP'=/û?a, donc d(B = ^ldoL, Or, d'après la loi de Biot et Savart (174), on a ^l = kîf donc d^ = kîda
ou, comme a 4- p := -, on a
exprimons que ce travail est égal et de signe contraire à la variation
de potentiel,
dS^kid^ et, en intégrant,
Or p est l'angle plan du dièdre formé par le plan Voz et par
3o4 ÉLECTRICITÉ DYNAMIQUE. .
un plan passant par P et parallèle au plan zox. Si nous imaginons, du point P comme centre, une sphère de rayon i , ce dièdre découpera sur sa surface un certain fuseau dont la surface co est mesurée
par 2 p ; donc p = - , et nous avons
V = " tw '1
C étant la constante d'intégration. Par conséquent:
Le potentiel produit en V par un courant rectiligne indéfini est proportionnel à rang le solide sous lequel, du point P, on voit un plan indéfini dans un sens et limité, dans l'autre, par le courant.
Cet angle sera pris avec le signe (+) ou le signe ( — ) suivant que du point P on verra la face positive ou la face négative du courant.
2° Courant angulaire. — U semble qu'il soit possible de déduire la valeur du potentiel d'un courant angulaire de celle que nous venons de trouver pour un courant rectiligne indéfini : il n'en est rien, et l'on conçoit même que ce ne soit pas une déduction logiquement réalisable, car le courant rectiligne est indéfini dans les deux sens tandis que le courant angulaire a ses deux branches terminées à leur commun sommet.
Mais l'expérience de Biot et Savart relative aux courants angulaires va nous montrer que, même dans ce cas, l'angle solide sous lequel on voit, en un point, le courant considéré mesure, multiplié par l'intensité, le potentiel produit en ce point par le courant.
Considérons {fig> 189) un courant angulaire AOB et prenons un point P.
Si le potentiel produit au point P par le courant est égal à l'angle solide sous lequel on voit du point P l'angle indéfini AOB, il faudra, pour avoir l'expression de ce potentiel, résoudre le triangle sphérique formé par l'intersection de la sphère de rayon i avec le irièdre (PO, PA', PB'). Si x^ y^ z désignent
ÉLBCTROMÀGNÉTISME.
les coordonnées du point P, Faire de ce triangle sera
o) = a arc sin -
v/(i — X cosa)* — -5* sin*a
les trois composantes de la force exercée au point P seront les trois dérivées déco par rapport à x^y^ z, prises en signe contraire, et mullipliées par i. Si, dans ces dérivées, nous faisons j^ = o, :; = o, X ^= — /, nous trouverons ainsi pour les trois composantes de la force
F.r = o, F^. = o, F- = y tang ? ,
conséquences vérifiées, comme nous l'avons vu, par l'expérience de Biot et Savart relative aux courants angulaires. Nous pouvons donc énoncer que :
Le potentiel produit par un courant angulaire en un point P est proportionnel à l'angle solide sous lequel on voit, de ce point, l'angle formé par ce courant.
*H^ Courant fermé triangulaire. — Reprenons (/ig, 190) le système des deux courants angulaires de la figure précédente, AB, A'B', et ajoutons-v un troisième courant rectiligne A"B".
Le potentiel produit en un point P par le sj'Stème des deux C. cl B. — II. jo
3o6 ËLBCTRICITÉ DTNÀVIQUE.
premiers est proportionnel à Tangle solide sous lequel on voit de ce point Fangle ByB', moins celui sous lequel on voit l'angle A v A'.
Le potentiel produit par A"B", considéré comme courant rectiligne indéfini, est proportionnel à Tangle solide sous lequel on voit la portion indéfinie A"B"M, prise négativement.
Prenons reflet résultant de l'action simultanée des trois courants. Il y a une partie commune, la portion M, qui dis])araît, el il reste la surface du triangle, plus les trois angles extérieurs (i), (2), (3); ces trois derniers devront être pris négativement dans Texpression du potentiel.
Ajoutons maintenant au système trois courants angulaires de sens contraires à ceux qui circuleraient dans les angles extérieurs: ces courants auxiliaires sont représentés sur la figure par des flèches recourbées. Ils introduisent de nouveau, dans l'expression du potentiel, les angles (1), (2), (3), mais pris positivement; il ne reste donc plus, d'une part, que l'angle solide sous lequel on voit le triangle a^y, et, d'autre part, que le courant triangulaire fermé qui circule dans son périmélre, puisque les courants des angles extérieurs sont détruits par les courants auxiliaires. Donc :
Le potentiel produit par un courant triangulaire fermtK en un point P oit se trouve l'unité de magnétisme positif, est proportionnel à U angle solide sous lequel on voit, du poinll^, le triangle considéré.
4" Courant fermé de forme quelconque. — Ce résultat est vrai pour tout polygone rectiligne, puisqu'on peut le diviser en triangles.
Prenons alors un circuit fermé quelcontjue S {fig* 191) parcouru
par un courant d'intensité f, et décomposons sa surface en carrés,
ÉLEGTROMAU.NÉTISMË. 807
trapèzes et triangles par deux systèmes de droites parallèles. Supposons ces droites parcourues par des courants d'intensité /parallèles et de sens tels que chaque petit quadrilatère ou triangle ait son périmètre parcouru par le courant dans le même sens que le circuit total S; Tensemble revient à n'avoir que le circuit extérieur, car dans chacun des côtés rectiiignes, ab par exemple, il y a deux courants égaux et contraires. Donc on peut prendre à volonté le circuit S ou la somme de tous les circuits élémentaires; mais le potentiel produit par chacun d'eux, au point P, est proportionnel n l'angle solide dio sous lequel on le voit; donc le potentiel de leur somme, c'est-à-dire celui du circuit total, sera proportionnel à X dtù ou à (o, angle solide sous lequel on voit le contour du circuit S.
De là l'énoncé suivant :
T^e pote miel produit par un courant fermée en un point V oii l'on suppose placée r unité de magnétisme positif, est proportionnel à r angle solide sous lequel on voit, du point P, le contour du courant considéré.
D'après ce que nous avons vu dans le cas du courant rectiligne indéfini, le coefficient de proportionnalité est -/; on a donc
\ — - i X W -J CODSt.
i est l'intensité du courant définie, comme nous V aK'ons fait en Electrostatique, parla quantité d'électricité qui traverse pendant l'unité de temps Tunilé de section du conducteur qui forme le circuit.
